ГЛАВА 1. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Стр 1 из 5Следующая ⇒

П.Б. Болдыревский

ЭКОНОМЕТРИКА

Учебное пособие

для экономических специальностей всех форм обучения

Нижний Новгород

УДК 330.4

ББК 65в6

Б 79

Б 79 Бодыревский П.Б. Эконометрика: Учебное пособие / П.Б. Бодыревский. - Н. Новгород: НКИ, 2006. - 164 с.

Рекомендовано к изданию редакционным советом НКИ.

Обсуждено и рекомендовано к изданию на заседании кафедры высшей математики 17 мая 2006 г. Протокол № 11.

Рецензенты: профессор кафедры бухгалтерского учета, экономического анализа и аудита Нижегородского Государственного университета им. Н.И. Лобачевского, докт. экон. наук, профессор Н.П. Любушин;

зав. кафедрой высшей математики НКИ, докт. техн. наук, профессор Б.И. Вайсблат.

Отв. редактор: докт. экон. наук, профессор, академик РАЕН В.Н. Едронова

ББК 65в6

Ó Нижегородский коммерческий

институт, 2006

Ó П.Б. Болдыревский, 2006

ПРЕДИСЛОВИЕ

«Эконометрика» как учебная дисциплина введена Государственным образовательным стандартом 2000 г. в цикл экономико-математических дисциплин и на современном этапе, благодаря своей универсальности и возможности практического использования для анализа реальных экономических объектов, является одним из базовых курсов в системе высшего экономического образования.

В последние годы появились интересные учебники и учебные пособия по эконометрике. Однако, как показывают контакты автора со студентами, аспирантами, преподавателями и специалистами, занимающимися экономическим анализом, ощущается нехватка доступных учебных пособий по данной дисциплине.

В представленном учебном пособии автором лаконично и на доступном уровне изложены основные вопросы эконометрического анализа, достаточно глубоко и полно рассмотрены базовые понятия эконометрики и регрессионного анализа.

Учебное пособие ориентировано на начальный курс эконометрики, полностью соответствует Государственным образовательным стандартам, и, в первую очередь, предназначено для студентов всех форм обучения экономических специальностей вузов. Книга также может быть полезна специалистам и руководителям, интересующимся статистическими методами анализа экономических процессов и прикладными исследованиями в области экономики. Изложение учебного материала предполагает, что читатель владеет основами теории вероятностей, математической статистики и линейной алгебры в объеме курса математики экономического или технического вуза.

Пособие состоит из введения, основного учебного материала (главы 1–7) и приложения, содержащего математико-статистические таблицы. В конце книги приведен развернутый предметный указатель основных понятий курса.

Во введении рассмотрены основные цели и задачи эконометрики как науки, а также сформулированы основные понятия и этапы эконометрического моделирования.

Поскольку основой методов и математического инструментария эконометрики являются теория вероятностей и математическая статистика, в первой главе приведены основные положения этих дисциплин, без которых невозможно понимание материала последующих глав. При этом особое внимание уделяется экономическим приложениям теории вероятностей и математической статистики.

В главах 2–7 рассматриваются линейные и сводящиеся к линейным эконометрические модели, как наиболее применимые на практике для анализа и прогнозирования экономических процессов.

Для большей наглядности при изложении материала приводятся примеры с решениями. Применение компьютерных пакетов для оценивания эконометрических моделей рассмотрено авторами учебников [2–4]. Многие задачи начального курса эконометрики, включая имитационное моделирование методом Монте-Карло, могут быть решены с использованием пакета прикладных программ Excel. Решение приводимых в данной книге задач проводится «вручную» с целью отработки соответствующих методов и детального рассмотрения экономического смысла получаемых результатов и выводов. Каждая глава заканчивается вопросами и упражнениями для самопроверки.

Знания и навыки, полученные при изучении данного учебного пособия, позволят читателю проводить самостоятельные эконометрические исследования и приступить к освоению компьютерного моделирования.

Автор выражает благодарность проф. Б.И. Вайсблату и проф. Н.П. Любушину за рецензирование рукописи и сделанные ими замечания, а также своим коллегам по кафедре высшей математики Нижегородского коммерческого института за проявленный интерес к работе над книгой и полезные дискуссии.

ВВЕДЕНИЕ

Понятие «эконометрика» введено в 1926 г. норвежским экономистом и статистиком Рагнаром Фришем и формально означает «измерения в экономике». Область исследований этой науки на современном этапе достаточно широка и продолжает развиваться. Объектами исследований эконометрики являются экономические явления и системы. В отличие от экономической теории, эконометрика делает упор на установление конкретных количественных взаимосвязей между экономическими объектами и показателями. Английский математик и экономист Джеймс Лайтхилл дает короткое и емкое определение: эконометрика – это статистико-математический анализ экономических отношений. Такой подход указывает на естественную связь эконометрики с экономической и математической статистикой. Однако в рамках эконометрики статистические методы являются лишь информационным обеспечением, которое применяется в дальнейшем для анализа экономических взаимосвязей и прогнозирования. Исходя из вышеизложенного, а также опираясь на высказывания признанных авторитетов в области эконометрики (Э. Маленво, Ц. Грилихес, Л. Клейн), можно дать следующее определение, отражающее сущность развития этого научного направления на современном этапе: эконометрика – это наука, в которой на базе реальных статистических данных строятся, анализируются и совершенствуются математические модели экономических явлений.

Сущность эконометрики заключается в модельном описании функционирования конкретной экономической системы (экономики данной страны, «спроса-предложения» в данное время в данном месте и т. д.). Одним из основных этапов эконометрических исследований является анализ устойчивости построенной модели, отражающей взаимосвязи между экономическими показателями, и проверка ее на адекватность реальным экономическим данным и процессам.

Математическая модель – упрощенное, формализованное представление реального объекта. Наиболее распространенной зависимостью между исследуемой величиной Y и влияющими на нее факторами-аргументами X в экономике является аддитивная линейная форма

Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + …+ b_mX_m+ ε _i, (1)

где b₀, b₁, …, b_m – некоторые параметры, которые подлежат определению;

ε _i – остаток, устраняющий разность между модельным (полученным по набору X_j расчетным образом) и наблюдавшимся значениями анализируемой величины Y, обнаруженную в i-м измерении (i = 1, 2 …n; n – общее число измерений).

Основная задача эконометрического анализа заключается в отыскании значений параметров b, обеспечивающих наименьшую величину ε, а следовательно, наилучшую точность прогноза.

Участвующая в соотношении (1) величина ε _i, отражает влияние на результирующий показатель Y всех неучтенных факторов и обусловливает стохастический характер зависимости даже при фиксировании всех переменных X. Таким образом, переходя в своих наблюдениях от одного пространственного (или временного) промежутка к другому, мы увидим случайное варьирование Y около некоторого определенного уровня. Это означает, например, что, зная цену на товар и на конкурирующие с ним или дополняющие товары, а также потребительский доход (факторы), мы не можем сказать однозначно, каким будет спрос на данный товар.

Случайную остаточную составляющую ε _i принято называть случайным отклонением. Случайное отклонение ε _i является также случайной ошибкой Y по заданным значениям X₁, Х₂, …, X_m.

Эконометрические модели (линейные и нелинейные) строятся на основе пространственных данных, которые представляют собой набор экономических переменных, взятых в один и тот же момент времени (пространственный срез), или временных рядов и могут содержать одно или несколько уравнений в зависимости от характера взаимосвязи между экономическими показателями.

Основные проблемы эконометрических исследований можно представить в виде следующих этапов:

1. Постановочный этап. Определение и формулировка основных целей модели. Предмодельный анализ экономической сущности изучаемого явления. Формирование и обработка информации на основе исходных статистических данных, определение набора возможных факторов и показателей, относящихся к исследуемому объекту.

2. Этап спецификации. Выбор наиболее значимых факторов, участвующих в модели, и математической формы модели, удобной для проведения анализа, т. е. построение самой эконометрической модели.

3. Этап параметризации. Оценка параметров построенной модели на основе имеющихся статистических данных. В решении этой задачи, делающей модель работоспособной, одним из ключевых является вопрос точности используемой статистической информации.

4. Этап верификации. Проверка качества найденных параметров модели и самой модели в целом статистическими методами и сопоставлением модельных и реальных данных. На данном этапе в результате проверки модели на надежность и устойчивость могут быть внесены поправки в задачу спецификации, а именно, откорректирована форма модели и уточнен состав факторов-аргументов.

5. Этап внедрения. Использование построенных моделей для объяснения поведения исследуемых экономических показателей и прогнозирования. Уточнение границ применимости модельного анализа.

В последние десятилетия наблюдается стремительное развитие эконометрики как научной дисциплины, в которой используется достаточно тонкий аппарат современной математики. В тоже время, нельзя забывать, что базисом эконометрики является ее экономическая составляющая. Именно экономика определяет постановку задачи и исходные предпосылки, а результат математического моделирования представляет практический интерес лишь в том случае, если удается его экономическая интерпретация. Разработка специальных компьютерных программ, а также совершенствование методов анализа способствуют все более широкому внедрению эконометрического моделирования и делают эконометрику мощнейшим инструментом экономических исследований.

Нормальное распределение

Нормальный закон распределения (распределение Гаусса) является предельным случаем почти всех реальных распределений вероятности. Поэтому он используется в очень большом числе практических приложений.

Непрерывная СВ Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид:

. (1.12)

Нормальное распределение (рис. 1.5) полностью определяется двумя параметрами - математическим ожиданием m = M(X) и средним квадратическим отклонением - σ = σ (Х) - и символически обозначается Х ~ N(m, σ ²) или X ~ N(m, σ ). При изменении числовой характеристики m нормальная кривая перемещается вдоль оси Ох, при изменении σ меняется форма кривой. Нормальный закон распределения с числовыми характеристиками (параметрами) m = 0 и σ ² = 1 называется стандартным распределением.

Рис. 1.5.

Для практических расчетов вероятностей СВ, подчиняющихся нормальному распределению, удобно пользоваться таблицами значений функции Лапласа (Приложение 1). Функция (интеграл вероятностей) Лапласа Ф(u) имеет вид:

(1.13)

где F(u) - функция стандартного нормального распределения СВ U, . Тогда вероятность попадания СВ Х, распределенной по нормальному закону, в интервал [х₁, х₂].

Р(х₁ £ Х £ х₂) = Ф(u₂) – Ф(u₁), (1.14)

где .

Кроме того, справедливы следующие соотношения: Р(|Х - m| < σ ) = 0, 68; P(|Х - m| < 2σ ) = 0, 95; P(|Х - m| < 3σ ) = 0, 9973, где |Х - m| - отклонение СВ Х от математического ожидания. Другими словами, значения нормально распределенной СВ Х на 95 % сосредоточены в области (m - 2σ, m + 2σ ) и на 99, 73 % сосредоточены в области (m - 3σ, m + 3σ ).

Следует также отметить, что линейная комбинация произвольного количества нормальных СВ имеет нормальное распределение.

В том случае, когда логарифм СВ подчинен нормальному закону, говорят, что она имеет логарифмически нормальное (логнормальное) распределение.

1.3.2. Распределение χ ² (хи-квадрат)

При моделировании экономических процессов достаточно часто приходится рассматривать СВ, которые представляют собой алгебраическую комбинацию нескольких СВ. Возможность прогнозирования поведения таких СВ осуществляется при использовании ряда специально разработанных законов распределений. К ним относятся χ ²-распределение, распределения Стьюдента и Фишера.

Пусть имеется n независимых СВ Х_i, i = 1, 2 … n, распределенных по нормальному закону, с математическими ожиданиями m_i и средними квадратическими отклонениями σ _i, соответственно. Тогда СВ U_i = (X_i - m_i)/σ _i имеют стандартное нормальное распределение, U_i ~ N(0, 1).

Распределением χ ² с ν = n степенями свободы называется распределение суммы квадратов n независимых СВ U_i

(1.15)

Число степеней свободы ν исследуемой СВ определяется числом СВ ее составляющих, уменьшенным на число линейных связей между ними. Например, число степеней свободы СВ, являющейся композицией n случайных величин, которые в свою очередь связаны m линейными уравнениями, определяется как ν = n - m.

Распределение χ ² определяется одним параметром - ν : М(χ ²) = ν = n - m, D(χ ²) = 2ν = 2(n - m). График плотности вероятности СВ, имеющей χ ²-распределение, расположен только в первой четверти декартовой системы координат и имеет асимметричный вид с вытянутым правым «хвостом». С увеличением числа степеней свободы распределение χ ² постепенно приближается к нормальному распределению. Таблицы критических точек χ ²-распределения приведены в Приложении 2.

Распределение Стьюдента

Рассмотрим стандартную нормальную СВ U ~ N(0, 1) и независимую от нее СВ V, распределенную по закону χ ² с ν = n степенями свободы (обозначается V ~ ). Тогда распределение случайной величины

(1.16)

называется распределением Стьюдента (псевдоним английского химика и статистика Госсета) или t-распределением с n-степенями свободы (t_n).

При n > 2 M(t) = 0 и D(t) = n/n - 2. График функции плотности вероятности СВ, имеющей распределение Стьюдента, является симметричной кривой относительно оси ординат (рис. 1.6).

Рис. 1.6.

С увеличением числа степеней свободы распределение Стьюдента приближается к стандартному нормальному закону и практически при n > 30 можно считать t-распределение приближенно нормальным. Таблица критических точек распределения Стьюдента для различных значений уровня значимости α и числа степеней свободы ν (t_{α , ν}) представлена в Приложении 3.

Распределение Фишера

Пусть V и W - независимые СВ, имеющие χ ²-распределение со степенями свободы ν ₁ = m и ν ₂ = n, соответственно. Тогда составленное с использованием данных СВ отношение

(1.17)

является случайной величиной, подчиняющейся закону распределения, впервые полученному английским статистиком Р. Фишером в 1924 году. Распределение Фишера (F-распределение) определяется двумя параметрами – числами степеней свободы m и n (F ~ F_{m, n}). Числовые характеристики определяются при n > 4 следующим образом:

, .

При достаточно больших m и n это распределение приближается к нормальному. Нетрудно заметить, что , где t_n - CВ, имеющая распределение Фишера с числами степеней свободы ν = n, а – СВ, имеющая распределение Фишера с числами степеней свободы ν ₁ = 1 и ν ₂ = n. Таблицы критических точек F-распределения (F_{a, m, n}) представлены в Приложении 4.

Основные понятия и задачи математической статистики

При исследовании реальных экономических процессов приходится обрабатывать большие объемы статистических данных по самым разнообразным показателям, которые по своей сути являются СВ. Целью таких исследований является получение информации с необходимой степенью достоверности о рассматриваемых объектах, включая установление наличия и степени взаимосвязей между характеризующими их параметрами.

Таким образом, основная задача математической статистики состоит в разработке методов сбора, обработки и анализа статистических данных для получения научных и практических выводов.

Знание методов математической статистики и умение ими оперировать являются необходимой предпосылкой для успешного эконометрического анализа. В данном разделе приведены основные характеристики и методы анализа статистических данных, которые активно используются в эконометрике.

И выборочные характеристики

При анализе какого-либо экономического показателя Х в фиксированный момент времени (либо без учета фактора времени) наблюдаемые его выборочные значения х₁, х₂, …, х_n обычно упорядочивают по возрастанию. Разность между максимальным и минимальным значением СВ Х называется размахом выборки.

Пусть количество различных значений в выборке равно k (k £ n). Значения x_i, i = 1, 2, …, k называются вариантами выборки. При этом х₁ < x₂ < … < x_k. Если значение х_i встретилось в выборке n_i раз, то число n_i называется абсолютной частотой значения х_i, а величина – относительной частотой значения х_i. Тогда наблюдаемые выборочные значения можно представить в виде вариационного ряда (табл. 1.1).

Таблица 1.1

X	x₁ x₂ … x_k
n_i	n₁ n₂ … n_k
	…

При этом , .

По вариационному ряду можно построить эмпирическую функцию распределения для СВ Х.

Эмпирической (выборочной) функцией распределения F_n(x) будем называть относительную частоту (статистическую вероятность) появления события, заключающегося в том, что СВ Х примет значение, меньше указанного х, т. е.:

F_n(x) = ω (X < x). (1.29)

По определению F_n(x) обладает следующими основными свойствами:

1. 0 £ F_n(х) £ 1.

2. F_n(x) = 0 при Х £ х₁; F_n(x) = 1 при X > x_k.

Эмпирическая функция распределения F_n(x) является оценкой функции F(x) = P(X < x), которую в этом случае следует называть теоретической функцией распределения.

Пример 1.2. Анализируется прибыль Х (%) предприятий отрасли. Обследованы n = 100 предприятий, данные по которым занесены в следующий вариационный ряд:

Х
n_i
	0, 05	0, 2	0, 4	0, 25	0, 1

Необходимо определить эмпирическую функцию распределения F_n(x) и построить ее график.

Рис. 1.7.

При большом объеме выборки ее элементы могут быть сгруппированы в интервальный вариационный ряд. Для этого n наблюдаемых значений выборки х₁, х₂, …, х_n разбивают на k непересекающихся интервалов равной ширины h (h – шаг разбиения). Пусть n_i – количество наблюдаемых значений СВ Х, попадающих в i-й интервал; – относительная частота попадания СВ Х в i-й интервал. Тогда интервальный вариационный ряд имеет вид:

Таблица 1.2

[x_i _-₁, x)	[x₀, x₁)	[x₁, x₂)	…	[x_k _- ₁, x_k)
n_i	n₁	n₂	… …	n_k

Интервальный вариационный ряд наглядно может быть представлен в виде гистограммы – графика, где по оси абсцисс откладываются интервалы, на каждом из которых строятся прямоугольники с высотой и площадью, пропорциональной относительной частоте попадания СВ Х в данный интервал. На i-м интервале строится прямоугольник высотой . На основании гистограммы обычно выдвигают предположение о виде закона распределения исследуемой СВ Х.

Поскольку на практике обычно работают с выборкой, нас будут интересовать выборочные числовые характеристики, которые являются оценками соответствующих генеральных характеристик.

Если в формуле для математического ожидания дискретной СВ (1.4) положить равными вероятности каждого исхода p_i = 1/n, то получим выборочное среднее арифметическое наблюдаемых значений выборки для СВ Х:

. (1.30)

При задании выборки в виде вариационного ряда

. (1.31)

Соответственно, для выборочной дисперсии получим формулы:

или (1.32)

Зачастую для вычисления D_в(Х) удобно использовать выражение:

. (1.33)

Выборочное среднее квадратическое отклонение определяется как

. (1.34)

При задании выборки в виде интервального вариационного ряда в формулах (1.31), (1.32) вместо x_i рассматривается среднее значение i-го интервала .

Выборочный коэффициент вариации V_в будет определяться процентным отношением выборочного среднего квадратического отклонения к выборочному среднему:

. (1.35)

Коэффициент вариации – безразмерная характеристика, удобная для сравнения величин рассеивания двух выборок, имеющих различные размерности.

Наиболее распространенными характеристиками взаимосвязи двух СВ являются меры их линейной связи – ковариация и коэффициент корреляции (см. раздел 1.4). Их оценками являются выборочная ковариация Cov_в(X, Y) и выборочный коэффициент корреляции r_xy.

, (1.36)

. (1.37)

Здесь .

Для нахождения выборочных ковариации и коэффициента корреляции необходимо иметь выборку объема n из двумерной генеральной совокупности (Х, Y), где рассматриваются пары значений x_i, y_i(i = 1, 2, …, n) в ряду наблюдений.

Выборочные оценки числовых характеристик генеральной совокупности обладают теми же основными свойствами, что и их теоретические прототипы.

П.Б. Болдыревский

ЭКОНОМЕТРИКА

Учебное пособие

для экономических специальностей всех форм обучения

Нижний Новгород

УДК 330.4

ББК 65в6

Б 79

Б 79 Бодыревский П.Б. Эконометрика: Учебное пособие / П.Б. Бодыревский. - Н. Новгород: НКИ, 2006. - 164 с.

Рекомендовано к изданию редакционным советом НКИ.

Обсуждено и рекомендовано к изданию на заседании кафедры высшей математики 17 мая 2006 г. Протокол № 11.

зав. кафедрой высшей математики НКИ, докт. техн. наук, профессор Б.И. Вайсблат.

Отв. редактор: докт. экон. наук, профессор, академик РАЕН В.Н. Едронова

ББК 65в6

Ó Нижегородский коммерческий

институт, 2006

Ó П.Б. Болдыревский, 2006

ПРЕДИСЛОВИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + …+ b_mX_m+ ε _i, (1)

где b₀, b₁, …, b_m – некоторые параметры, которые подлежат определению;

Основные проблемы эконометрических исследований можно представить в виде следующих этапов:

12 3 4 5 Следующая ⇒