Оценка устойчивости системы по критерию Гурвица

Дана передаточная функция разомкнутой системы:

Для получения характеристического уравнения замкнутой системы необходимо сложить числитель и знаменатель передаточной функции разомкнутой системы.

Составим определитель Гурвица из коэффициентов характеристического уравнения:

Вывод: по критерию Гурвица данная система неустойчива, так как не выполняется требование положительности диагональных миноров (Δ 2 < 0).

Оценка устойчивости системы по критерию Михайлова

Дана передаточная функция разомкнутой системы:

Для получения характеристического уравнения замкнутой системы необходимо сложить числитель и знаменатель передаточной функции разомкнутой системы:

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

180404.ТАУ.КР.11.12.04.ПЗ

От операторной формы перейдём к частотной форме записи характеристического уравнения, для этого вместо p подставляем jω .

где - вещественное число, полученное из слагаемых чётных степеней

j - мнимая часть, полученная из слагаемых с нечётными степенями

Для построения годографа Михайлова необходимо произвести расчёты вещественной и мнимой частей, изменяя ω от 0 до ∞. Расчёты сведём в таблицу 1

Таблица 1- расчет вещественной и мнимой части

ω	U(w)	V(w)
	44, 94
15, 618	7, 62
17, 138		-0, 156
	29, 64	0, 45
	-16, 26	-0, 488
+∞	-∞	-∞

По данным таблицы 1 построим годограф Михайлова (рисунок 5)

Рисунок 5- Годограф Михайлова

Вывод: по критерию Михайлова система неустойчива, так как годограф Михайлова не огибает против часовой стрелки начало координат.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

180404.ТАУ.КР.11.12.04.ПЗ

2.3 Оценка устойчивости системы по логарифмическим критериям

Суть этого критерия сводится к строению ЛАЧХ и ЛФЧХ и на основе этих построений делается вывод об устойчивости системы в замкнутом состоянии.

Результирующая ЛАЧХ и ЛФЧХ представляет собой сумму ЛАЧХ и ЛФЧХ отдельных звеньев системы: 1 апериодического звена первого порядка, 1 апериодического звена второго порядка и 3 усилительных звеньев.

Wоу=7, 30;

Wэу=12; Усилительные звенья.

Wтг=0, 32;

Апериодическое звено первого порядка.
Апериодическое звено второго порядка.

У усилительных звеньев горизонтальный участок ЛАЧХ пройдет вдоль оси

абсцисс на уровне 20log(k). Апериодическое звено первого порядка возьмет начало из точки 20log(k), с одной точкой среза wcр=1/Т под углом 20дБ. Апериодическое звено второго порядка возьмет начало из точки 20log(k), с двумя точками среза wcр=1/Т, первый срез будет под углом 20дБ, а второй под углом 40дБ.

Wоу=20log(7, 3)=17, 26;

Wэу=20log(12)=21, 58;

Wтг=20log(0, 32)=-9, 89;

Wген=20log(2, 34)=7, 38;

Wдв=20log(0, 67)=-3, 47;

Вывод: система неустойчива в замкнутом состоянии, так как при любом значении φ ЛФЧХ будет положительная.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

180404.ТАУ.КР.11.12.04.ПЗ

Рисунок-6. ЛАЧХ и ЛФЧХ системы.

Оценка устойчивости системы по критерию Найквиста

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

180404.ТАУ.КР.11.12.04.ПЗ

Заменяем p на (jw), получаем:

Понижаем степень j, получаем:

Избавляемся от мнимости в знаменателе, получаем:

Находим корни числителя мнимой и действительной части полинома.

Для построения годографа Найквиста необходимо произвести расчёты вещественной и мнимой частей.

Расчёты сведём в таблицу 2

Таблица 2- расчет вещественной и мнимой части.

w	Re	jIm
	43, 94
2, 556		18, 046
	6, 751	4, 434
15, 618	4, 551

По данным таблицы 2 построим годограф Найквиста (рисунок 7)

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

180404.ТАУ.КР.11.12.04.ПЗ

Рисунок-7. Годограф Найквиста

Вывод: Данная система не устойчивая, так как ее АФЧХ охватывает точку с координатами (-1; j0).

Амплитудно-частотная характеристика

Фазовая частотная характеристика

Таблица-3. Таблица расчетов амплитудно-частотная характеристик и фазовая частотная характеристика.

w	A1	A2	A3	A	F1	F2	F3	F
	40, 79727	0, 946773	0, 999736	38, 61553	-21, 8014	-18, 778	-1, 31757	-41, 897
	34, 31138	0, 826927	0, 998944	28, 34301	-38, 6598	-34, 2157	-2, 63375	-75, 5093
	28, 1297	0, 700071	0, 997628	19, 64609	-50, 1944	-45, 5673	-3, 94715	-99, 7088
	23, 28815	0, 59239	0, 995795	13, 73766	-57, 9946	-53, 6732	-5, 25641	-116, 924
	19, 65057	0, 50702	0, 993452	9, 897997	-63, 4349	-59, 5345	-6, 5602	-129, 53
	16, 9	0, 440157	0, 990612	7, 368822	-67, 3801	-63, 8861	-7, 85719	-139, 123
	14, 77862	0, 387364	0, 987286	5, 651926	-70, 3462	-67, 2094	-9, 14613	-146, 702
	13, 1062	0, 345066	0, 98349	4, 447834	-72, 646	-69, 8142	-10, 4258	-152, 886
	11, 76027	0, 310631	0, 97924	3, 577267	-74, 4759	-71, 9027	-11, 6951	-158, 074
	10, 65702	0, 282166	0, 974555	2, 930537	-75, 9638	-73, 6105	-12, 9528	-162, 527
	9, 738031	0, 258306	0, 969454	2, 438555	-77, 1957	-75, 0304	-14, 1979	-166, 424
	8, 96175	0, 238052	0, 963959	2, 056473	-78, 2317	-76, 2284	-15, 4295	-169, 89
	8, 297954	0, 220667	0, 95809	1, 754345	-79, 1145	-77, 2518	-16, 6467	-173, 013
	7, 724241	0, 205596	0, 95187	1, 511639	-79, 8753	-78, 1356	-17, 8486	-175, 859
	7, 223692	0, 192414	0, 945323	1, 313944	-80, 5377	-78, 9063	-19, 0344	-178, 478
	6, 78332	0, 180794	0, 938471	1, 150928	-81, 1193	-79, 584	-20, 2036	-180, 907
	6, 393006	0, 170478	0, 931339	1, 015034	-81, 6341	-80, 1844	-21, 3555	-183, 174
	6, 044754	0, 16126	0, 923949	0, 900645	-82, 0928	-80, 72	-22, 4896	-185, 302
	5, 732171	0, 152977	0, 916325	0, 803516	-82, 5041	-81, 2005	-23, 6053	-187, 31
	5, 450086	0, 145494	0, 90849	0, 720392	-82, 875	-81, 6341	-24, 7024	-189, 212
	3, 649018	0, 097571	0, 82308	0, 293049	-85, 2364	-84, 4007	-34, 6057	-204, 243
	2, 740902	0, 073331	0, 735931	0, 147918	-86, 4237	-85, 7946	-42, 6141	-214, 832
	2, 194259	0, 058722	0, 656179	0, 084549	-87, 1376	-86, 6335	-48, 9909	-222, 762
	43, 94			43, 94

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

180404.ТАУ.КР.11.12.04.ПЗ

По данным таблицы-3 строим АФЧХ (Рисунок 8)

Рисунок-8. АФЧХ системы.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

180404.ТАУ.КР.11.12.00.ПЗ

⇐ Предыдущая 12