При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из старшего разряда. Эта занимаемая 1 равна двум 1 данного разряда.

Например:

Заданы двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X-Y.

Результат 10010 - 101=1101.

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Например:

1001 101=?

Результат 1001 101=101101.

Таблица умножения в 8-ой системе счисления

2*2=4	3*2=6	4*2=10	5*2=12	6*2=14	7*2=16
2*3=6	3*3=11	4*3=14	5*3=17	6*3=22	7*3=25
2*4=10	3*4=14	4*4=20	5*4=24	6*4=30	7*4=34
2*5=12	3*5=17	4*5=24	5*5=31	6*5=36	7*5=43
2*6=14	3*6=22	4*6=30	5*6=36	6*6=44	7*6=52
2*7=16	3*7=25	4*7=34	5*7=43	6*7=52	7*7=61

Таблица умножения в 16-ой системе счисления

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Например:

1100.011: 10.01=?

Результат 1100.011: 10.01=101.1.

Машинное представление целых чисел

Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака.

Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают в однобайтовом формате значения от 00000000₂ до 11111111₂, а в двубайтовом формате — от 00000000 00000000₂ до 11111111 11111111₂.

Диапазоны значений целых чисел без знака

Формат числа в байтах	Диапазон
Запись с порядком	Обычная запись
	0... 2⁸–1	0... 255
	0... 2¹⁶–1	0... 65535

Примеры:

а) число 72₁₀ = 1001000₂ в однобайтовом формате:

б) это же число в двубайтовом формате: 0000 0000 0100 1000

в) число 65535 в двубайтовом формате: 1111 1111 1111 1111

Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак “плюс” кодируется нулем, а “минус” — единицей.

Диапазоны значений целых чисел со знаком

Формат числа в байтах	Диапазон
Запись с порядком	Обычная запись
	–2⁷... 2⁷–1	–128... 127
	–2¹⁵... 2¹⁵–1	–32768... 32767
	–2³¹... 2³¹–1	–2147483648... 2147483647

Рассмотрим особенности записи целых чисел со знаком на примере однобайтового формата, при котором для знака отводится один разряд, а для цифр абсолютной величины – семь разрядов.

В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.

Задания по лабораторной работе

1. 1. Запишите первые 20 целых чисел в десятичной, двоичной, троичной, пятеричной и восьмеричной системах счисления.

2. 2. Какие целые числа следуют за числами:

а) 1₂;	е) 1₈;	п) F₁₆;
б) 101₂;	ж) 7₈;	м) 1F₁₆;
в) 111₂;	з) 37₈;	н) FF₁₆;
г) 1111₂;	и) 177₈;	о) 9AF9₁₆;
д) 101011₂;	к) 7777₈;	c) CDEF₁₆?

3. 3. Какой цифрой заканчивается четное двоичное число? Какой цифрой заканчивается нечетное двоичное число? Какими цифрами может заканчиваться четное троичное число?

4. 4. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами:

а) в двоичной системе;

б) в восьмеричной системе;

в) в шестнадцатеричной системе?

5. 5. В какой системе счисления справедливо следующее: ?

1) 20 + 25 = 100; 2) 22 + 44 = 110; 3) 34 + 21 = 111; 4) 45 + 54 = 200; 5) 45 + 15 = 100; 6) 30 + 25 = 100; 7) 33 + 44 = 110; 8) 34 + 25 = 111; 9) 50 + 54 = 200; 10) 45 + 25 = 100;

11) 20 + 45 = 200; 12) 22 + 44 = 120; 13) 34 + 21 = 100; 14) 45 + 54 = 200; 15) 45 + 25 = 100; 16) 40 + 25 = 100; 17) 66 + 40 = 220; 18) 34 + 35 = 111; 19) 50 + 54 = 200; 20) 45 + 25 = 120;

Пример: В какой системе счисления 21 + 24 = 100?

Решение. Пусть x — искомое основание системы счисления. Тогда 100_x = 1 · x² + 0 · x¹ + 0 · x⁰, 21_x = 2 · x¹ + 1 · x⁰, 24_x = 2 · x¹ + 4 · x⁰. Таким образом, x² = 2x + 2x + 5 или x² - 4x - 5 = 0. Положительным корнем этого квадратного уравнения является x = 5.
Ответ. Числа записаны в пятеричной системе счисления.

6. 6. Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.

7. 7. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы (по вариантам):

вариант	2 с.с.	8 с.с.	16 с.с.
	10110.11₂;	51.7₈;	A1.F₁₆;
	101101.11₂;	10.10₈;	AB.C₁₆;
	011100.001₂;	12.34₈;	1010.A₁₆;
	10001.10₂;	13.4₈;	А4.D₁₆;
	110.100₂;	12.3₈;	1DE.C8₁₆.
	11011111.1₂	56.7₈	8F.6₁₆;
	101110.11₂;	54.7₈;	A1B.C₁₆;
	101110.111₂;	11.10₈;	1910.A₁₆;
	01011000.01₂;	56.34₈;	А74₁₆;
	100001.10₂;	1.77₈;	9DEC.8₁₆.
	1101.100₂;	17.3₈;	1АА.4₁₆;
	11000111.1₂	23.7₈	ABC.6₁₆;
	10110.101₂;	54.5₈;	1090.6₁₆;
	10110100.11₂;	12.40₈;	2А3.4₁₆;
	10101100.001₂;	6.34₈;	3А7.4₁₆;
	1100001.10₂;	7.8₈;	91EC.8₁₆.
	101011.100₂;	117.3₈;	АCА.4₁₆;
	11100011.11₂	213.7₈	AB9.C₁₆;

8. 8. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы (по вариантам):

1) 12.5₁₀; 2) 22.9₁₀; 3) 88₁₀; 4) 372.5₁₀; 5) 20612.5₁₀;

6) 22.5₁₀; 7) 82.9₁₀; 8) 89₁₀; 8) 712.5₁₀; 10) 20812.8₁₀;

11) 79.5₁₀; 12) 97.9₁₀; 13) 88.8₁₀; 14) 392.5₁₀; 15) 9092.5₁₀;

16) 79.45₁₀; 17) 947.9₁₀; 18) 188.8₁₀; 19) 1392.5₁₀; 20) 9092.5₁₀;

9. 9. Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы (по вариантам):

	100111111011.10111₂;	101111001110.011₂;
	111010101110.11101₂;	10111111110.1111₂;
	101110011011.00111₂;	11000101011.001₂.
	100111111011.111₂;	1111001110.011₂;
	111010101111.101₂;	111111110111.1₂;
	10111001101.0111₂;	110001010001.1001₂.
	10011111101.10111₂;	10110011100.11₂;
	100111111011.10111₂;	10111100111.0011₂;
	11101010111011.101₂;	10111111110.1111₂;
	1011100011001.11₂;	11000101011.001₂.
	100110011011.111₂;	101001110.011₂;
	10101001.111101₂;	1001111101.111₂;
	1000100110.10111₂;	11000100011.001₂.
	10011110.110111₂;	101011100.11₂;
	101110.011010111₂;	1100010100011.001₂.
	1001111110.110111₂;	1011001110.011₂;
	10011111101110.111₂;	101111001110.011₂;
	1110101011101.1101₂;	101111111101.111₂;

10. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа (N- номер варианта Например 2N34= 21134 для N=11 ):

1) 2СE.N₁₆; 2) 9FN4.10₁₆; 3) ABCND.E₁₆; 4) 1010N1.01₁₆; 5) 1ABCN.9D₁₆;

11. 11. Для десятичных чисел 47 и 79 выполните цепочку переводов из одной системы счисления в другую.

12. 12. Сложите числа, а затем вычтите и проверьте результаты (по вариантам):

10111.01₂ и 1110.111₂;	3227₈ и 2275₈;	34A₁₆ и 234F₁₆;
10111.01₂ и 1010.11₂;	1665₈ и 337₈;	87619₁₆ и 654.C₁₆;
1011.11₂ и 11.11₂;	675₈ и 31.46₈;	A54.B₁₆ и E16.F₁₆;
1011111₂ и 111₂;	17₈ и 17.7₈;	E21.9₁₆ и F65.2₁₆.
1010.1101₂ и 1110.0111₂;	7447₈ и 334.5₈;	13455.A₁₆ и F23.2₁₆;
101011.01₂ и 10010.11₂;	2345₈ и 4537₈;	154.A9₁₆ и 355.4C₁₆;
101100.11₂ и 11.011₂;	175₈ и 23.66₈;	A11.B₁₆ и E1F₁₆;
101101.11₂ и 1001.1₂;	1137₈ и 127.2₈;	E13.9₁₆ и 236.F₁₆.
1011010.1₂ и 111001.11₂;	231.7₈ и 3125₈;	A9₁₆ и D4F.A₁₆;
1010110.1₂ и 11.011₂;	55.5₈ и 323.47₈;	14A.9₁₆ и 9C₁₆;
10110.11₂ и 110.011₂;	4556.5₈ и 11.126₈;	A1B.5₁₆ и E1F.1₁₆;
10110.11₂ и 10.11₂;	134.17₈ и 5.57₈;	E19.1₁₆ и F11.1₁₆.
1010101.1₂ и 1011₂;	523.5₈ и 334.7₈;	AF1.B₁₆ и E11.F₁₆;
101001.011₂ и 10.11₂;	3226.5₈ и 1441.6₈;	E21.9₁₆ и F3.1₁₆.
10100110.1₂ и 111.011₂;	5555.5₈ и 3247₈;	1A.9₁₆ и 239.C₁₆;
101110.11₂ и 1110.011₂;	2565.5₈ и 1451.6₈;	A12.B₁₆ и E1F.34₁₆;
1011110.11₂ и 100.11₂;	11127₈ и 5125.7₈;	E19.2₁₆ и F43.1₁₆.
101011101.1₂ и 10011₂;	51235₈ и 3124.7₈;	AF1.B₁₆ и E1.F₁₆;

13. 13. Выполните перемножение чисел (сделайте проверку, выполнив десятичные преобразования) (по вариантам):

1) 111₂ и 10100₂;	15₈ и 210₈;	1А₁₆ и D31₁₆;
2) 10, 11₂ и 1100, 1₂;	47₈ и 102₈;	F9E₁₆ и 2А30₁₆;
3) 111, 1₂ и 110010₂;	56, 7₈ и 101₈;	D, 1₁₆ и FFB, 92₁₆;
4)10001₂ и 111110, 11₂;	16, 54₈ и 30, 01₈;	ABC₁₆ и A5678₁₆.
5) 111₂ и 101100₂;	15₈ и 120₈;	1А₁₆ и D31₁₆;
6) 10, 11₂ и 11100, 1₂;	47₈ и 72₈;	F9E₁₆ и 2А30₁₆;
7) 111, 1₂ и 110010₂;	56, 7₈ и 1101₈;	D, 1₁₆ и FFB, 92₁₆;
8)10001₂ и 111110, 11₂;	16, 54₈ и 130, 01₈;	ABC₁₆ и A5678₁₆.
9)111, 1₂ и 1001110₂;	56, 7₈ и 101₈;	D, 1₁₆ и FFB, 92₁₆;
10)10001₂ и 11110, 11₂;	16, 54₈ и 30, 01₈;	ABC₁₆ и A5678₁₆.
11) 111₂ и 101010₂;	15₈ и 210₈;	1А₁₆ и D31₁₆;
12) 10, 11₂ и 1010, 1₂;	47₈ и 72₈;	F9E₁₆ и 2AА30₁₆;
13)111, 1₂ и 1001110₂;	56, 7₈ и 71₈;	D, 1₁₆ и 1FFB, 92₁₆;
14)10001₂ и 1110110, 11₂;	16, 54₈ и 1130, 01₈;	ABC₁₆ и 6A5678₁₆.
15) 111₂ и 1010110₂;	15₈ и 1210₈;	1А₁₆ и 5D31₁₆;
16) 10, 11₂ и 10010, 1₂;	47₈ и 172₈;	F9E₁₆ и 42AА30₁₆;
17)111, 1₂ и 1001110₂;	56, 7₈ и 471₈;	D, 1₁₆ и 4FFB, 92₁₆;
18)10001₂ и 1111010, 11₂;	16, 54₈ и 4130, 01₈;	ABC₁₆ и 4A5678₁₆.

14. 14. Расположите следующие числа в порядке возрастания (по вариантам):

v 1) 74₈, 110010₂, 70₁₀, 38₁₆;

v 2) 6E₁₆, 142₈, 1101001₂, 100₁₀;

v 3) 77.7₈, 101111111₂, 2FF₁₆, 500₁₀;

v 4) 100₁₀, 1100000₂, 60₁₆, 141₈;

v 5) 741₈, 1100010₂, 700₁₀, 308₁₆;

v 6) 61E₁₆, 1142₈, 11011001₂, 1010₁₀;

v 7) 7717₈, 101111111₂, F.F₁₆, 55.20₁₀;

v 8) 1200₁₀, 1111100000₂, 610₁₆, 141₈.

v 9) 234₈, 11001110₂, 170₁₀, 23.8₁₆;

v 10) 61E₁₆, 1412₈, 1111101001₂, 1010₁₀;

v 11) 717₈, 101111111₂, 2F₁₆, 300₁₀;

v 12) 300₁₀, 1101110000₂, 51₁₆, 101₈;

v 13) 150₁₀, 110011000₂, 610₁₆, 641₈;

v 14) 341₈, 110110010₂, 701₁₀, 89A₁₆;

v 15) 217₈, 101111111₂, 2F₁₆, 300₁₀;

v 16) 330₁₀, 11110000₂, 51₁₆, 3101₈;

v 17) 15.8₁₀, 110011011100₂, 610₁₆, 3641₈;

v 18) 34.1₈, 1101100.10₂, 70.1₁₀, 89.A₁₆;

Контрольные вопросы

1. 1. Дать определение системы счисления.

2. 2. Дать определение непозиционной системы счисления.

3. 3. Дать определение позиционной системы счисления.

4. 4. Какие символы используются для записи чисел в двоичной системе счисления, восьмеричной, шестнадцатеричной?

5. 5. Чему равны веса разрядов слева от точки, разделяющей целую и дробную часть, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)?

6. 6. Чему равны веса разрядов справа от точки, разделяющей целую и дробную часть, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)?

7. 7. Каковы правила перевода из 10 в любую другую позиционную систему счисления и обратно?

8. 8. Каковы правила перевода из 8 (16) в 2-ую систему счисления и обратно?

9. 9. Каковы правила перевода из 16-ой в 8-ую систему счисления и обратно?

10. 10. Каковы правила основных арифметических операций в 2-ой системе счисления?

⇐ Предыдущая 1 23