Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Из 16 или 8 в 2

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр) (см. таблицу).
Двоичная (Основание 2)	Восьмеричная (Основание 8)	Десятичная (Основание 10)	Шестнадцатиричная (Основание 16)
	триады		тетрады
0 1	0 1 2 3 4 5 6 7	000 001 010 011 100 101 110 111	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Например:

а) Перевести 305.4₈ " 2" с.с.

б) Перевести 7B2.E₁₆" 2" с.с.

16А₁₆=1 0110 1010₂ 345₈=11 100 101₂

Из 2 в 16 или 8

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Например:

а) Перевести 1101111001.1101₂ " 8" с.с.

б) Перевести 11111111011.100111₂ " 16" с.с.

1000101010010101₂=1000 1010 1001 0101=8A95₁₆= 1 000 101 010 010 101=105225₈

Из 16 в 8 и обратно

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.

Например:

Перевести 175.24₈ " 16" с.с.

Результат: 175.24₈ = 7D.5₁₆.

Из 10 в любую с.с.

При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q–1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

Например:

а) Перевести 181₁₀ " 8" с.с.

Результат: 181₁₀ = 265₈

б) Перевести 622₁₀ " 16" с.с.

Результат: 622₁₀ = 26E₁₆

Перевод правильных дробей
Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Например:

Перевести 0.3125₁₀ " 8" с.с.

Результат: 0.3125₁₀ = 0.24₈

Замечание. Конечной десятичной дроби в другой системе счисления может соответствовать бесконечная (иногда периодическая) дробь. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности.

Например:

Перевести 0.65₁₀ " 2" с.с. Точность 6 знаков.

Результат: 0.65₁₀ 0.10(1001)₂

Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.

Например:

Перевести 23.125₁₀ " 2" с.с.

1) Переведем целую часть:	2) Переведем дробную часть:

Таким образом: 23₁₀ = 10111₂; 0.125₁₀ = 0.001₂.
Результат: 23.125₁₀ = 10111.001₂.

Необходимо отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби - дробями в любой системе счисления.

Из 2, 8 или 16 в 10

При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

Например:

a)10101101.101₂ = 1 2⁷+ 0 2⁶+ 1 2⁵+ 0 2⁴+ 1 2³+ 1 2²+ 0 2¹+ 1 2⁰+ 1 2^-1+ 0 2^-2+ 1 2^-3 = 173.625₁₀

б) Перевести 703.04₈ " 10" с.с.

703.04₈ = 7 8²+ 0 8¹+ 3 8⁰+ 0 8^-1+ 4 8^-2 = 451.0625₁₀

в) Перевести B2E.4₁₆ " 10" с.с.

B2E.4₁₆ = 11 16²+ 2 16¹+ 14 16⁰+ 4 16^-1 = 2862.25₁₀

Схема перевода чисел из одной системы счисления в другую

Aрифметические операции в позиционных системах счисления

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

Сложение

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево

Таблица двоичного сложения	Таблица двоичного вычитания	Таблица двоичного умножения
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10	0-0=0 1-0=1 1-1=0 10-1=1	0 0=0 0 1=0 1 0=0 1 1=1

При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и переноса из соседнего младшего разряда, если он имеется. При этом необходимо учитывать, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий.

Например:

Выполнить сложение двоичных чисел:
а) X=1101, Y=101;

Результат 1101+101=10010.

б) X=1101, Y=101, Z=111;

Результат 1101+101+111=11001.

Таблица сложения в 8-ой системе счисления

2+2=4	3+2=5	4+2=6	5+2=7	6+2=10	7+2=11
2+3=5	3+3=6	4+3=7	5+3=10	6+3=11	7+3=12
2+4=6	3+4=7	4+4=10	5+4=11	6+4=12	7+4=13
2+5=7	3+5=10	4+5=11	5+5=12	6+5=13	7+5=14
2+6=10	3+6=11	4+6=12	5+6=13	6+6=14	7+6=15
2+7=11	3+7=12	4+7=13	5+7=14	6+7=15	7+7=16

Таблица сложения в 16-ой системе счисления

Вычитание

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒