Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Перевод правильных простых дробей



Алгоритм перевода тот же, что и для десятичных дробей: умножение сначала исходной дроби, а затем – получающихся дробных частей на основание новой системы и выписывании цифр результата в порядке их появления.

Пример перевода простой дроби А10 = (с точностью до пяти цифр):

Ответ: А2 ≈ 0, 100102, точнее ответ можно записать так: А2 ≈ 0, (100), где цифры (100) обозначают период дроби.

Перевод чисел из системы с основанием p в систему с основанием q

Общий случай

В общем случае перевод чисел из системы с основанием p в систему с основанием q легче всего выполнять по схеме:

Ap → A10 → Aq,

т. е. сначала число из системы с основанием р следует перевести в привычную десятичную систему, а затем полученное число необходимо из десятичной системы перевести в систему с основанием q.

Например, переведем число А8 = 32, 48 в двоичную систему счисления.

Десятичное число А10 = 3·81 + 2·80 + 4·8–1 = 26, 510.

Делением получим целую часть числа 26, 510 в двоичной системе:

 

_ 26 | 2 0

26 _ 13 | 2 0

0 12 _ 6 | 2 0

1 6 _ 3 | 2 0

0 3 _ 1 | 2 0

1 0 0

Целая часть равна 110102, а дробная часть очевидна: 0, 510 = 21 = 0, 12.

Ответ: А2 = 11010, 12.

Поразрядные способы перевода чисел для систем

С кратными основаниями

Перевод числа из восьмеричной системы счисления в двоичную систему можно выполнить проще, если использовать поразрядные способы перевода для систем с кратными основаниями. Системы счисления называют системами с кратными основаниями, если для оснований систем счисления p и q справедливо соотношение: p = qk, где k – натуральное число.

Примером систем с кратными основаниями являются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы (23 = 8; 24 = 16).

Перевод чисел в системах с кратными основаниями прост и не требует выполнения арифметических действий.

Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную систему и обратно основан на замене каждой восьмеричной цифры тремя двоичными разрядами – триадой, и наоборот – замене каждой группы из трех двоичных разрядов одной восьмеричной цифрой.

Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему основан на замене каждой шестнадцатеричной цифры четырьмя двоичными разрядами – тетрадой, и наоборот – замене каждой группы из четырех двоичных разрядов одной шестнадцатеричной цифрой.

При переводе чисел в системах с кратными основаниями, для которых справедливы соотношения p = 2к и q = 2m, удобно воспользоваться табл. 2.

Рассмотрим на примерах перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную и обратно.

П р и м е р 1.

Дано: А8 = 205, 248. Найти: А2.

Для получения результата каждую двоичную цифру заменим триадой:

 

А8 = 2 0 5, 2 4;

А2 = 010 000 101, 010 100.

 

Ответ: А2 = 10000101, 01012.

 

П р и м е р 2.

Дано: А16 = 2Е5, 2416. Найти: А2.

Для получения результата каждую двоичную цифру заменим тетрадой:

 

А16 = 2 Е 5, 2 4;

А2 = 0010 1110 0101, 0010 0100.

 

Ответ: А2 = 1011100101, 0010012.

П р и м е р 3.

Дано: А2 = 1010110, 110012. Найти: А8 и А16.

Для перевода необходимо разбить заданное двоичное число влево и вправо от запятой на триады (тетрады). Неполные триады (тетрады) дополняются нулями:

 

А2 = 001 010 110, 110 010;

А8 = 1 2 6, 6 2;

А2 = 0101 0110, 1100 1000;

А16 = 5 6, С 8.

 

Ответ: А8 = 126, 628; А16 = 56, С816.

 

П р и м е р 4.

Дано: А16 = АВВА, D0C16. Найти: А8.

Для упрощения перевода из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно в качестве промежуточной системы удобно использовать двоичную систему:

 

А16 = А В В А, D 0 C;

А2 = 1010 1011 1011 1010, 1101 0000 1100;

А2 = 001 010 101 110 111 010, 110 100 001 100;

А8 = 1 2 5 6 7 2, 6 4 1 4.

 

Ответ: А8 = 125672, 64148.

 

Примеры решения задач

Замечание 2. В разд. 2 и 3 методических указаний приняты следующие обозначения и условия:

одна или две звездочки рядом с номером задачи означают ее сложность;

в условиях задач звездочка заменяет какую-то пропущенную цифру; если в примере используется несколько звездочек, то они могут обозначать разные цифры (например, запись ** означает двузначное число, записанное не обязательно одинаковыми цифрами);

иногда, когда это очевидно, индекс, указывающий на основание системы счисления, не записывается.

П р и м е р 1.

Один преподаватель на вопрос, много ли у него студентов в группе, ответил: «У меня в группе 100 студентов, из них 24 девушки и 21 юноша». В какой системе счисления дал ответ преподаватель?

Решение этой задачи несложное. Пусть р – основание системы счисления, о которой идет речь. Тогда в группе студентов 1·р2 + 0·р1 + 0·р0, из них 2·р1 + 4·р0 девушек и 2·р1 + 1·р0 юношей. Таким образом,

 

р2 = 2р + 4 + 2р + 1, (8)

или

р2 – 4р – 5 = 0, (9)

отсюда

, (10)

т. е.

р1 = 5; р2 = –1.

 

Так как –1 не может быть основанием системы счисления, то единственное решение этой задачи – основание системы счисления р = 5. В группе 25 человек, из них 14 девушек и 11 юношей.

Решить эту задачу можно гораздо проще, если записать:

 

24р + 21р = 100р.

 

При сложении цифр 4 и 1 в разряде единиц получился ноль, значит, сумма 4 + 1 = 510 в этой системе счисления дала переполнение и перенос единицы в старший разряд. В любой системе счисления основание записывается как 10р (см. п. 1.2.2). Значит, р = 510.

Ответ: основание системы счисления р = 5.

П р и м е р 2*.

Полным квадратом называется число, которое является квадратом натурального числа. Например, полные квадраты числа 1, 4, 9, 16, 25 и т. д. Существует ли система счисления, в которой число 123р будет полным квадратом?

Развернутая запись числа 123р имеет вид:

 

1·р2 + 2·р1 + 3·р0. (11)

 

Запишем выражение (11) иначе:

 

р2 + 2р + 3, (12)

или

р2 + 2р + 1 + 2, (13)

или

(р + 1 )2 + 2. (14)

 

Выражение (14) не может быть полным квадратом, так как (р + 1)2 – полный квадрат, а из рассмотрения чисел 1, 4, 9, 16, 25, … следует, что не существует полных квадратов, разность между которыми равна двум.

Ответ: такой системы счисления не существует.

П р и м е р 3.

Найти первое слагаемое и сумму, а также основание системы счисления, в которой справедливо соотношение:

 

***р + 1р = ****р.

 

Решение задачи очевидно. В любой системе счисления с основанием р прибавление единицы к трехзначному числу дает в результате четырехзначное число только тогда, когда все цифры трехзначного числа одинаковы и равны максимальному значению (р – 1). Если хотя бы одна из цифр трехзначного числа меньше (р – 1), то суммой будет трехзначное число.

Например, 1112 + 12 = 10002; 2223 + 13 = 10003; 7778 + 18 = 10008 и т. д.

Ответ: р – любое натуральное число, большее единицы; первое слагаемое состоит из трех одинаковых цифр, равных (р – 1); сумма двух слагаемых 1000р = р310.

П р и м е р 4.

Найти сумму:

10101, 112 + 123, 38 + А0, 816.

Результат представить в десятичной системе счисления.

Дать два варианта решения:

1) найти сумму в двоичной системе счисления, перевести ее в шестнадцатеричную систему счисления, а затем – в десятичную;

2) сначала все слагаемые перевести в десятичную систему счисления, а потом уже провести суммирование.

1-й вариант

Переведем слагаемые 123, 38 и А0, 816 в двоичную систему счисления, заменив каждую восьмеричную цифру триадой двоичных цифр, а каждую шестнадцатеричную – тетрадой (см. табл. 2):

 

123, 38 = 001 010 011, 0112;

А0, 816 = 1010 0000, 10002.

 

Проще сложить сначала первые два слагаемых, а потом к результату прибавить третье:

 

Переведем окончательный результат в десятичную систему счисления:

 

109, А16 = 1·162 + 0·161 +9·160 + 10·16–1 = 265, 62510.

 

2-й вариант

Переведем все три слагаемых в десятичную систему счисления:

 

10101, 112 = 1·24 + 0·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 + 1·2-1 + 1·2-2 = 21, 7510;

123, 38 = 1·82 + 2·81 + 3·80 + 3·8–1= 83, 37510;

А0, 816 = 10·161 + 0·160 + 8·16–1 = 160, 510;

21, 75 + 83, 375 + 160, 5 = 265, 625.

 

Результаты вычислений в обоих вариантах совпали, что подтверждает правильность решения.

Ответ: 265, 62510.

П р и м е р 5*.

Найти алгебраическую сумму:

 

1203 – 322, 24.

 

Дать два варианта решения (см. пример 4).

1-й вариант

Переведем уменьшаемое 1203 и вычитаемое 322, 24 в двоичную систему счисления.

Перевод уменьшаемого выполним по схеме (см п. 1.7.1):

 

A3 → A10 → A2.

1203 = 1·32 + 2·31 + 0·30 = 1510, т. е. А10 = 15.

 

Для перевода числа 1510 в двоичную систему счисления необходимо выполнить последовательное деление на 2 и выписывание остатков в порядке, обратном их получению (см. п. 1.6.1):

 

_ 15 | 2 0

10 _ 7 | 2 0

1 4 _ 3 | 2 0

1 2 _ 1 | 2 0

1 0 00

 

Получили запись уменьшаемого в двоичной системе счисления: 11112.

Вычитаемое 322, 24 записано в четверичной системе счисления, для перевода его в двоичную систему следует воспользоваться схемой

 

A4 → A10 → A

 

и учесть, что 22 = 4. Двоичная и четверичная системы являются системами с кратными основаниями. При переводе числа из шестнадцатеричной системы в двоичную каждую шестнадцатеричную цифру заменим группой из четырех двоичных цифр (тетрадой). При переводе числа из восьмеричной системы в двоичную каждую восьмеричную цифру заменим группой из трех двоичных цифр (триадой). По аналогии при переводе числа из четверичной системы в двоичную каждую четверичную цифру заменим группой из двух двоичных цифр (диадой):

 

А4 = 3 2 2, 24

А2 = 11 10 10, 102.

 

Получили запись вычитаемого в двоичной системе счисления: 111010, 102.

 
 

Вычитаемое больше уменьшаемого, поэтому (см. п. 1.3.2) вычтем из большего числа меньшее, полученному результату присвоим знак «минус»:

и переведем результат в десятичную систему счисления:

 

А2 = 1·25 + 0·24 + 1·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20 + 1·2-1 = 43, 510.

 

Добавим знак «минус» и получим: – 43, 510.

2-й вариант

Число 1203 равно 1510. Переведем число 322, 24 в десятичную систему счисления:

 

322, 24 = 3·42 + 2·41 + 2·40 + 2·4-1 = 58, 510.

1510 – 58, 510 = – 43, 510.

Ответ: – 43, 510.

П р и м е р 6.

Вычислить:

 

110111, 1012: 54, 48 · 2В, 816.

 

Вычисления провести в двоичной системе счисления, а результат за-писать в десятичной.

Переведем числа 54, 48 и 2В, 816 в двоичную систему счисления (см. табл. 2):

 

54, 48 = 101 100, 1002 = 101100, 12;

2В, 816 = 0010 1011, 10002 = 101011, 12.

 

Выполним деление, при этом перенесем запятую в делимом и делителе на один разряд вправо, чтобы делимое стало натуральным числом (см. п. 1.3.2):

 

 

1101111, 012 | 10110012

101100100 1, 012

1011001

10110010

 

Выполним умножение, предварительно переставив сомножители для упрощения записи (в числе 1, 012 меньше цифр, чем в числе 101011, 12, поэтому частичных произведений при умножении столбиком будет меньше):


Выполним перевод по схеме:

 

А2 → А8 → А10.

110110, 0112 = 110 110, 0112 = 66, 38 = 6·81 + 6·80 + 3·8-1 = 54, 37510.

 

Ответ: 54, 37510.

П р и м е р 7*.

Значения длин сторон треугольника заданы числами: 111102, 508, 3216. Определить радиус описанной окружности.

Переведем длину каждой стороны в десятичную систему счисления:

 

111102 = 3010; 508 = 4010; 3216 = 5010.

 

Заметив, что 302 + 402 = 502, делаем вывод о том, что треугольник с такими сторонами является прямоугольным с катетами 30, 40 и гипотенузой 50. Тогда диаметр описанной окружности равен гипотенузе прямоугольного треугольника (по школьному курсу математики), а радиус – половине диаметра.

Ответ: радиус описанной окружности равен 25.


3. Задания

З а д а н и е 1. Записать год, месяц, число своего рождения с помощью римских цифр.

З а д а н и е 2. Выписать алфавиты в пятеричной, семеричной и двенадцатеричной системах счисления.

З а д а н и е 3. Записать первые 20 чисел натурального числового ряда в четверичной (табл. 1), пятеричной, семеричной системах счисления.

При выполнении задания следует для получения очередного числа прибавлять единицу к предыдущему числу.

З а д а н и е 4. Записать наименьшее и наибольшее трехзначное в двоичной, троичной, четверичной, пятеричной, семеричной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

З а д а н и е 5. Выписать целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым отрезкам:

 

[1102; 10012], [103; 223], [124; 214], [125; 205], [678; 718], [AFF16; B0216].

 

З а д а н и е 6. Определить, существуют ли системы счисления, в которых выполняются соотношения:

1) *00 + ** = ****;

2) 7**3 + **4 = 7**0.

З а д а н и е 7. Составить небольшие примеры, подтверждающие, что умножение двоичного числа на 2к – переносу запятой в этом числе на к разрядов вправо, а деление двоичного числа на 2к эквивалентно переносу запятой в этом числе на к разрядов влево (см. п. 1.3.2).

З а д а н и е 8. Даны два десятичных числа: 0, 210 и 0, 310. Выполнить сложение этих чисел дважды:

а) сложением в десятичной системе счисления;

б) переводом каждого из них в двоичную систему счисления с точностью до пяти цифр после запятой, сложением в двоичной системе счисления и переводом результата в десятичную систему счисления.

Результаты вычислений объяснить.

З а д а н и е 9. Перевести смешанную простую дробь в двоичную

систему счисления с точностью до четырех цифр после запятой. Результат перевести в десятичную систему и сравнить с исходным числом.

З а д а н и е 10. Данные для выполнения этого задания приведены по вариантам в табл. 3.

1. Выбрать десятичное число и выполнить преобразования по схеме:

 

а) А10 → А2 → А8 → А10;

 

б) А10 → А2 → А16 → А10.

 

2.* Выбрать двоичное число и выполнить преобразования по схеме:

 

А 2→ А4 → А16 → А10 → А2.

 

3.* Выбрать шестнадцатеричное число и выполнить преобразования по схеме:

 

А16 → А4 → А10 → А2 → А16.

 

4.** Выбрать восьмеричное число и выполнить преобразования по схеме:

А8 → А4 → А10 → А2 → А8.

 

5. Сложить в двоичной системе счисления двоичное и восьмеричное числа. Результат проверить сложением этих чисел в десятичной системе счисления и переводом его в двоичную систему.

6. Вычесть в двоичной системе счисления из восьмеричного числа шестнадцатеричное число. Полученное число перевести в десятичную систему. Результат проверить вычитанием этих чисел в десятичной системе счисления.

7. Умножить восьмеричное число на шестнадцатеричное число А, 816. Умножение выполнить в двоичной системе счисления. Результат проверить переводом обоих сомножителей в десятичную систему счисления и выполнением умножения в этой системе.

8. Разделить шестнадцатеричное число на 10, 12. Деление выполнить в двоичной системе счисления. Результат проверить переводом делимого и делителя в десятичную систему счисления и выполнением деления в этой системе.

 

 

Т а б л и ц а 3

Исходные данные к заданию 10

Номер варианта Ч и с л о в системе счисления
двоичная восьмеричная десятичная шестнадцатеричная
101010, 011 172, 2 31, 750 АВ, 4
100000, 101 213, 4 29, 250 АF, 8
110000, 111 123, 4 32, 500 BB, C
101010, 001 200, 4 41, 250 BA, 4
100100, 100 161, 1 36, 125 AF, 8
101000, 100 211, 1 42, 750 B4, 4
111100, 100 150, 4 39, 625 BB, C
110011, 010 231, 4 33, 375 AC, C
111111, 100 177, 2 27, 500 BA, 8
100000, 110 165, 4 32, 375 BB, 8
101111, 100 201, 4 27, 750 1F, 2
101000, 001 202, 4 30, 750 97, 8
111100, 010 166, 2 35, 500 9F, 4
111110, 001 136, 4 44, 500 AE, C
101011, 100 232, 2 40, 375 BE, 4
111001, 010 155, 4 33, 250 AA, 8

 

4. Контрольные вопросы

1. В римской системе счисления записаны два числа: MXM и MMX. Какое число больше?

2. Какое количество обозначает цифра 2 в числах 2023, 20213, 2024, 20214, 2025, 20215, 2027, 20217, 2028, 20218, 20210, 202110, 20212, 202112, 20216, 202116?

3. Какое число предшествует и какое число следует за каждым из данных: 1011012, 1203, 1304, 2105, 3007, 2008, 3012, 2016? Ответ дать в заданной и десятичной системах счисления.

4. Существует ли система счисления, в которой десятичное число 15 будет оканчиваться цифрой 7?

5. В какой системе счисления с основанием р десятичное число 16 записывается как 17р, а в какой как 20р?

6. Какое число больше: 1234 или 1235; 7778 или FF16?

7. Каково соотношение между р и q, если известно, что 400р = 100q?

8. Существуют ли системы счисления, в которых выполняются соотношения: а) 16р + 12р = 40р; б) 16р + 12р = 31р; в) 2р . 2р = 3р; г) 12р – 6р = 5р;

д) 100р: 2р = 20р?

9. В какой системе счисления с выполнено вычитание: ***р – 1 = **р?

10*. Существует ли система счисления, в которой десятичное число 15 будет оканчиваться цифрой 0, двумя нулями?

11*. Какое число больше: ааар или аааq, если известно, что а – какая-то арабская цифра, а натуральное число р меньше натурального числа q?

12*. Существует ли система счисления, в которой число 17р будет полным квадратом?

13*. Каково минимальное основание системы счисления, в которой число 13р будет полным квадратом?

14**. Существует ли система счисления, в которой десятичное число 50 будет оканчиваться двумя нулями?

15**. Существует ли система счисления, в которой двузначное число, записанное с помощью двух одинаковых цифр, будет полным квадратом?

16**. Существует ли система счисления с основанием отличным от 10, в которой число 144р будет полным квадратом?

 

Библиографический список

1. Информатика. Базовый курс / С. В. С и м о н о в и ч, Г. А. Е в с е е в
и др. СПб: Питер, 2005. 640 с.

2. Информатика / Под. ред. проф. Н. В. Макаровой. М.: Финансы и статистика, 2001.768 с.

3. В е р е т е н н и к о в а Е. Г. Информатика / Серия «Учебный курс». /
Е. Г. В е р е т е н н и к о в а, С. М. П а т р у ш и н а, Н. Г. С а в е л ь е в а.
Ростов-на-Дону: МарТ, 2002. 416 с.


Учебное издание

 

 

СОКОЛОВСКАЯ Нина Николаевна

 

 

Системы счисления

 

–––––––––––––––

 

 

Редактор Т. С. Паршикова

 

***

 

Подписано в печать 02.2008. Формат 60 × 84 1/16.

Плоская печать. Бумага офсетная. Усл. печ. л.. Уч.-изд. л..

Тираж 600 экз. Заказ.

 

**

 

 

Редакционно-издательский отдел ОмГУПСа

Типография ОмГУПСа

 

*

 

644046, г. Омск, пр. Маркса, 35


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-12; Просмотров: 515; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.133 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь