Перевод правильных простых дробей

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Алгоритм перевода тот же, что и для десятичных дробей: умножение сначала исходной дроби, а затем – получающихся дробных частей на основание новой системы и выписывании цифр результата в порядке их появления.

Пример перевода простой дроби А₁₀ = (с точностью до пяти цифр):

Ответ: А₂ ≈ 0, 10010₂, точнее ответ можно записать так: А₂ ≈ 0, (100), где цифры (100) обозначают период дроби.

Перевод чисел из системы с основанием p в систему с основанием q

Общий случай

В общем случае перевод чисел из системы с основанием p в систему с основанием q легче всего выполнять по схеме:

A_p → A₁₀ → A_q,

т. е. сначала число из системы с основанием р следует перевести в привычную десятичную систему, а затем полученное число необходимо из десятичной системы перевести в систему с основанием q.

Например, переведем число А₈ = 32, 4₈ в двоичную систему счисления.

Десятичное число А₁₀ = 3·8¹ + 2·8⁰ + 4·8^–1= 26, 5₁₀.

Делением получим целую часть числа 26, 5₁₀ в двоичной системе:

_ 26 | 2 0

26 _ 13 | 2 0

0 12 _ 6 | 2 0

1 6 _ 3 | 2 0

0 3 _ 1 | 2 0

1 0 0

Целая часть равна 11010₂, а дробная часть очевидна: 0, 5₁₀ = 2^–¹ = 0, 1₂.

Ответ: А₂ = 11010, 1₂.

Поразрядные способы перевода чисел для систем

С кратными основаниями

Перевод числа из восьмеричной системы счисления в двоичную систему можно выполнить проще, если использовать поразрядные способы перевода для систем с кратными основаниями. Системы счисления называют системами с кратными основаниями, если для оснований систем счисления p и q справедливо соотношение: p = q^k, где k – натуральное число.

Примером систем с кратными основаниями являются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы (2³ = 8; 2⁴ = 16).

Перевод чисел в системах с кратными основаниями прост и не требует выполнения арифметических действий.

Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную систему и обратно основан на замене каждой восьмеричной цифры тремя двоичными разрядами – триадой, и наоборот – замене каждой группы из трех двоичных разрядов одной восьмеричной цифрой.

Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему основан на замене каждой шестнадцатеричной цифры четырьмя двоичными разрядами – тетрадой, и наоборот – замене каждой группы из четырех двоичных разрядов одной шестнадцатеричной цифрой.

При переводе чисел в системах с кратными основаниями, для которых справедливы соотношения p = 2^к и q = 2^m, удобно воспользоваться табл. 2.

Рассмотрим на примерах перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную и обратно.

П р и м е р 1.

Дано: А₈ = 205, 24₈. Найти: А₂.

Для получения результата каждую двоичную цифру заменим триадой:

А₈ = 2 0 5, 2 4;

А₂ = 010 000 101, 010 100.

Ответ: А₂ = 10000101, 0101₂.

П р и м е р 2.

Дано: А₁₆ = 2Е5, 24₁₆. Найти: А₂.

Для получения результата каждую двоичную цифру заменим тетрадой:

А₁₆ = 2 Е 5, 2 4;

А₂ = 0010 1110 0101, 0010 0100.

Ответ: А₂ = 1011100101, 001001₂.

П р и м е р 3.

Дано: А₂ = 1010110, 11001₂. Найти: А₈и А₁₆.

Для перевода необходимо разбить заданное двоичное число влево и вправо от запятой на триады (тетрады). Неполные триады (тетрады) дополняются нулями:

А₂ = 001 010 110, 110 010;

А₈ = 1 2 6, 6 2;

А₂ = 0101 0110, 1100 1000;

А₁₆ = 5 6, С 8.

Ответ: А₈ = 126, 62₈; А₁₆ = 56, С8₁₆.

П р и м е р 4.

Дано: А₁₆ = АВВА, D0C₁₆. Найти: А₈.

Для упрощения перевода из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно в качестве промежуточной системы удобно использовать двоичную систему:

А₁₆ = А В В А, D 0 C;

А₂ = 1010 1011 1011 1010, 1101 0000 1100;

А₂ = 001 010 101 110 111 010, 110 100 001 100;

А₈ = 1 2 5 6 7 2, 6 4 1 4.

Ответ: А₈ = 125672, 6414₈.

Примеры решения задач

Замечание 2. В разд. 2 и 3 методических указаний приняты следующие обозначения и условия:

одна или две звездочки рядом с номером задачи означают ее сложность;

в условиях задач звездочка заменяет какую-то пропущенную цифру; если в примере используется несколько звездочек, то они могут обозначать разные цифры (например, запись ** означает двузначное число, записанное не обязательно одинаковыми цифрами);

иногда, когда это очевидно, индекс, указывающий на основание системы счисления, не записывается.

П р и м е р 1.

Один преподаватель на вопрос, много ли у него студентов в группе, ответил: «У меня в группе 100 студентов, из них 24 девушки и 21 юноша». В какой системе счисления дал ответ преподаватель?

Решение этой задачи несложное. Пусть р – основание системы счисления, о которой идет речь. Тогда в группе студентов 1·р² + 0·р¹ + 0·р⁰, из них 2·р¹ + 4·р⁰ девушек и 2·р¹ + 1·р⁰ юношей. Таким образом,

р²= 2р + 4 + 2р + 1, (8)

или

р² – 4р – 5 = 0, (9)

отсюда

, (10)

т. е.

р1 = 5; р2 = –1.

Так как –1 не может быть основанием системы счисления, то единственное решение этой задачи – основание системы счисления р = 5. В группе 25 человек, из них 14 девушек и 11 юношей.

Решить эту задачу можно гораздо проще, если записать:

24_р + 21_р = 100_р.

При сложении цифр 4 и 1 в разряде единиц получился ноль, значит, сумма 4 + 1 = 5₁₀ в этой системе счисления дала переполнение и перенос единицы в старший разряд. В любой системе счисления основание записывается как 10_р (см. п. 1.2.2). Значит, р = 5₁₀.

Ответ: основание системы счисления р = 5.

П р и м е р 2*.

Полным квадратом называется число, которое является квадратом натурального числа. Например, полные квадраты числа 1, 4, 9, 16, 25 и т. д. Существует ли система счисления, в которой число 123_р будет полным квадратом?

Развернутая запись числа 123_р имеет вид:

1·р² + 2·р¹ + 3·р⁰. (11)

Запишем выражение (11) иначе:

р² + 2р + 3, (12)

или

р² + 2р + 1 + 2, (13)

или

(р + 1 )² + 2. (14)

Выражение (14) не может быть полным квадратом, так как (р + 1)²– полный квадрат, а из рассмотрения чисел 1, 4, 9, 16, 25, … следует, что не существует полных квадратов, разность между которыми равна двум.

Ответ: такой системы счисления не существует.

П р и м е р 3.

Найти первое слагаемое и сумму, а также основание системы счисления, в которой справедливо соотношение:

***_р + 1_р = ****_р.

Решение задачи очевидно. В любой системе счисления с основанием р прибавление единицы к трехзначному числу дает в результате четырехзначное число только тогда, когда все цифры трехзначного числа одинаковы и равны максимальному значению (р – 1). Если хотя бы одна из цифр трехзначного числа меньше (р – 1), то суммой будет трехзначное число.

Например, 111₂ + 1₂ = 1000₂; 222₃ + 1₃ = 1000₃; 777₈ + 1₈ = 1000₈ и т. д.

Ответ: р – любое натуральное число, большее единицы; первое слагаемое состоит из трех одинаковых цифр, равных (р – 1); сумма двух слагаемых 1000_р = р³₁₀.

П р и м е р 4.

Найти сумму:

10101, 11₂ + 123, 3₈ + А0, 8₁₆.

Результат представить в десятичной системе счисления.

Дать два варианта решения:

1) найти сумму в двоичной системе счисления, перевести ее в шестнадцатеричную систему счисления, а затем – в десятичную;

2) сначала все слагаемые перевести в десятичную систему счисления, а потом уже провести суммирование.

1-й вариант

Переведем слагаемые 123, 3₈ и А0, 8₁₆в двоичную систему счисления, заменив каждую восьмеричную цифру триадой двоичных цифр, а каждую шестнадцатеричную – тетрадой (см. табл. 2):

123, 3₈ = 001 010 011, 011₂;

А0, 8₁₆ = 1010 0000, 1000₂.

Проще сложить сначала первые два слагаемых, а потом к результату прибавить третье:

Переведем окончательный результат в десятичную систему счисления:

109, А₁₆ = 1·16² + 0·16¹ +9·16⁰ + 10·16^–1 = 265, 625₁₀.

2-й вариант

Переведем все три слагаемых в десятичную систему счисления:

10101, 11₂ = 1·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ + 1·2^-1 + 1·2^-2 = 21, 75₁₀;

123, 3₈ = 1·8² + 2·8¹ + 3·8⁰ + 3·8^–1= 83, 375₁₀;

А0, 8₁₆ = 10·16¹ + 0·16⁰ + 8·16^–1 = 160, 5₁₀;

21, 75 + 83, 375 + 160, 5 = 265, 625.

Результаты вычислений в обоих вариантах совпали, что подтверждает правильность решения.

Ответ: 265, 625₁₀.

П р и м е р 5*.

Найти алгебраическую сумму:

120₃ – 322, 2₄.

Дать два варианта решения (см. пример 4).

1-й вариант

Переведем уменьшаемое 120₃ и вычитаемое 322, 2₄в двоичную систему счисления.

Перевод уменьшаемого выполним по схеме (см п. 1.7.1):

A₃ → A₁₀ → A₂.

120₃ = 1·3² + 2·3¹ + 0·3⁰ = 15₁₀, т. е. А₁₀ = 15.

Для перевода числа 15₁₀ в двоичную систему счисления необходимо выполнить последовательное деление на 2 и выписывание остатков в порядке, обратном их получению (см. п. 1.6.1):

_ 15 | 2 0

10 _ 7 | 2 0

1 4 _ 3 | 2 0

1 2 _ 1 | 2 0

1 0 00

Получили запись уменьшаемого в двоичной системе счисления: 1111₂.

Вычитаемое 322, 2₄ записано в четверичной системе счисления, для перевода его в двоичную систему следует воспользоваться схемой

A₄ → A₁₀ → A

и учесть, что 2² = 4. Двоичная и четверичная системы являются системами с кратными основаниями. При переводе числа из шестнадцатеричной системы в двоичную каждую шестнадцатеричную цифру заменим группой из четырех двоичных цифр (тетрадой). При переводе числа из восьмеричной системы в двоичную каждую восьмеричную цифру заменим группой из трех двоичных цифр (триадой). По аналогии при переводе числа из четверичной системы в двоичную каждую четверичную цифру заменим группой из двух двоичных цифр (диадой):

А₄ = 3 2 2, 2₄

А₂ = 11 10 10, 10₂.

Получили запись вычитаемого в двоичной системе счисления: 111010, 10₂.

Вычитаемое больше уменьшаемого, поэтому (см. п. 1.3.2) вычтем из большего числа меньшее, полученному результату присвоим знак «минус»:

и переведем результат в десятичную систему счисления:

А₂ = 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ + 1·2^-1 = 43, 5₁₀.

Добавим знак «минус» и получим: – 43, 5₁₀.

2-й вариант

Число 120₃равно 15₁₀. Переведем число 322, 2₄ в десятичную систему счисления:

322, 2₄ = 3·4² + 2·4¹ + 2·4⁰ + 2·4^-1 = 58, 5₁₀.

15₁₀ – 58, 5₁₀ = – 43, 5₁₀.

Ответ: – 43, 5₁₀.

П р и м е р 6.

Вычислить:

110111, 101₂: 54, 4₈ · 2В, 8₁₆.

Вычисления провести в двоичной системе счисления, а результат за-писать в десятичной.

Переведем числа 54, 4₈ и 2В, 8₁₆ в двоичную систему счисления (см. табл. 2):

54, 4₈ = 101 100, 100₂ = 101100, 1₂;

2В, 8₁₆ = 0010 1011, 1000₂ = 101011, 1₂.

Выполним деление, при этом перенесем запятую в делимом и делителе на один разряд вправо, чтобы делимое стало натуральным числом (см. п. 1.3.2):

_– 1101111, 01₂ | 1011001₂

101100100 1, 01₂

_– 1011001

10110010

Выполним умножение, предварительно переставив сомножители для упрощения записи (в числе 1, 01₂ меньше цифр, чем в числе 101011, 1₂, поэтому частичных произведений при умножении столбиком будет меньше):

Выполним перевод по схеме:

А₂ → А₈ → А₁₀.

110110, 011₂= 110 110, 011₂= 66, 3₈ = 6·8¹ + 6·8⁰ + 3·8^-1 = 54, 375₁₀.

Ответ: 54, 375₁₀.

П р и м е р 7*.

Значения длин сторон треугольника заданы числами: 11110₂, 50₈, 32₁₆. Определить радиус описанной окружности.

Переведем длину каждой стороны в десятичную систему счисления:

11110₂ = 30₁₀; 50₈ = 40_10; 32₁₆ = 50₁₀.

Заметив, что 30² + 40² = 50², делаем вывод о том, что треугольник с такими сторонами является прямоугольным с катетами 30, 40 и гипотенузой 50. Тогда диаметр описанной окружности равен гипотенузе прямоугольного треугольника (по школьному курсу математики), а радиус – половине диаметра.

Ответ: радиус описанной окружности равен 25.

3. Задания

З а д а н и е 1. Записать год, месяц, число своего рождения с помощью римских цифр.

З а д а н и е 2. Выписать алфавиты в пятеричной, семеричной и двенадцатеричной системах счисления.

З а д а н и е 3. Записать первые 20 чисел натурального числового ряда в четверичной (табл. 1), пятеричной, семеричной системах счисления.

При выполнении задания следует для получения очередного числа прибавлять единицу к предыдущему числу.

З а д а н и е 4. Записать наименьшее и наибольшее трехзначное в двоичной, троичной, четверичной, пятеричной, семеричной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

З а д а н и е 5. Выписать целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым отрезкам:

[110₂; 1001₂], [10₃; 22₃], [12₄; 21₄], [12₅; 20₅], [67₈; 71₈], [AFF₁₆; B02₁₆].

З а д а н и е 6. Определить, существуют ли системы счисления, в которых выполняются соотношения:

1) *00 + ** = ****;

2) 7**3 + **4 = 7**0.

З а д а н и е 7. Составить небольшие примеры, подтверждающие, что умножение двоичного числа на 2^к – переносу запятой в этом числе на к разрядов вправо, а деление двоичного числа на 2^к эквивалентно переносу запятой в этом числе на к разрядов влево (см. п. 1.3.2).

З а д а н и е 8. Даны два десятичных числа: 0, 2₁₀ и 0, 3₁₀. Выполнить сложение этих чисел дважды:

а) сложением в десятичной системе счисления;

б) переводом каждого из них в двоичную систему счисления с точностью до пяти цифр после запятой, сложением в двоичной системе счисления и переводом результата в десятичную систему счисления.

Результаты вычислений объяснить.

З а д а н и е 9. Перевести смешанную простую дробь в двоичную

систему счисления с точностью до четырех цифр после запятой. Результат перевести в десятичную систему и сравнить с исходным числом.

З а д а н и е 10. Данные для выполнения этого задания приведены по вариантам в табл. 3.

1. Выбрать десятичное число и выполнить преобразования по схеме:

а) А₁₀ → А₂ → А₈ → А₁₀;

б) А₁₀ → А₂ → А₁₆ → А₁₀.

2.* Выбрать двоичное число и выполнить преобразования по схеме:

А ₂→ А₄ → А₁₆ → А₁₀ → А₂.

3.* Выбрать шестнадцатеричное число и выполнить преобразования по схеме:

А₁₆→ А₄ → А₁₀ → А₂ → А₁₆.

4.** Выбрать восьмеричное число и выполнить преобразования по схеме:

А₈→ А₄ → А₁₀ → А₂ → А₈.

5. Сложить в двоичной системе счисления двоичное и восьмеричное числа. Результат проверить сложением этих чисел в десятичной системе счисления и переводом его в двоичную систему.

6. Вычесть в двоичной системе счисления из восьмеричного числа шестнадцатеричное число. Полученное число перевести в десятичную систему. Результат проверить вычитанием этих чисел в десятичной системе счисления.

7. Умножить восьмеричное число на шестнадцатеричное число А, 8₁₆. Умножение выполнить в двоичной системе счисления. Результат проверить переводом обоих сомножителей в десятичную систему счисления и выполнением умножения в этой системе.

8. Разделить шестнадцатеричное число на 10, 1₂. Деление выполнить в двоичной системе счисления. Результат проверить переводом делимого и делителя в десятичную систему счисления и выполнением деления в этой системе.

Т а б л и ц а 3

Исходные данные к заданию 10

Номер варианта	Ч и с л о в системе счисления
двоичная	восьмеричная	десятичная	шестнадцатеричная
	101010, 011	172, 2	31, 750	АВ, 4
	100000, 101	213, 4	29, 250	АF, 8
	110000, 111	123, 4	32, 500	BB, C
	101010, 001	200, 4	41, 250	BA, 4
	100100, 100	161, 1	36, 125	AF, 8
	101000, 100	211, 1	42, 750	B4, 4
	111100, 100	150, 4	39, 625	BB, C
	110011, 010	231, 4	33, 375	AC, C
	111111, 100	177, 2	27, 500	BA, 8
	100000, 110	165, 4	32, 375	BB, 8
	101111, 100	201, 4	27, 750	1F, 2
	101000, 001	202, 4	30, 750	97, 8
	111100, 010	166, 2	35, 500	9F, 4
	111110, 001	136, 4	44, 500	AE, C
	101011, 100	232, 2	40, 375	BE, 4
	111001, 010	155, 4	33, 250	AA, 8

4. Контрольные вопросы

1. В римской системе счисления записаны два числа: MXM и MMX. Какое число больше?

2. Какое количество обозначает цифра 2 в числах 202₃, 2021₃, 202₄, 2021₄, 202₅, 2021₅, 202₇, 2021₇, 202₈, 2021₈, 202₁₀, 2021₁₀, 202₁₂, 2021₁₂, 202₁₆, 2021₁₆?

3. Какое число предшествует и какое число следует за каждым из данных: 101101₂, 120₃, 130₄, 210₅, 300₇, 200₈, 30₁₂, 20₁₆? Ответ дать в заданной и десятичной системах счисления.

4. Существует ли система счисления, в которой десятичное число 15 будет оканчиваться цифрой 7?

5. В какой системе счисления с основанием р десятичное число 16 записывается как 17_р, а в какой как 20_р?

6. Какое число больше: 123₄ или 123₅; 777₈ или FF₁₆?

7. Каково соотношение между р и q, если известно, что 400_р= 100_q?

8. Существуют ли системы счисления, в которых выполняются соотношения: а) 16_р+ 12_р= 40_р; б) 16_р+ 12_р= 31_р; в) 2_р^.2_р = 3_р; г) 12_р – 6_р = 5_р;

д) 100_р: 2_р = 20_р?

9. В какой системе счисления с выполнено вычитание: ***_р – 1 = **_р?

10^*. Существует ли система счисления, в которой десятичное число 15 будет оканчиваться цифрой 0, двумя нулями?

11^*. Какое число больше: ааа_р или ааа_q, если известно, что а – какая-то арабская цифра, а натуральное число р меньше натурального числа q?

12^*. Существует ли система счисления, в которой число 17_р будет полным квадратом?

13^*. Каково минимальное основание системы счисления, в которой число 13_р будет полным квадратом?

14^**. Существует ли система счисления, в которой десятичное число 50 будет оканчиваться двумя нулями?

15^**. Существует ли система счисления, в которой двузначное число, записанное с помощью двух одинаковых цифр, будет полным квадратом?

16^**. Существует ли система счисления с основанием отличным от 10, в которой число 144_р будет полным квадратом?

Библиографический список

1. Информатика. Базовый курс / С. В. С и м о н о в и ч, Г. А. Е в с е е в
и др. СПб: Питер, 2005. 640 с.

2. Информатика / Под. ред. проф. Н. В. Макаровой. М.: Финансы и статистика, 2001.768 с.

3. В е р е т е н н и к о в а Е. Г. Информатика / Серия «Учебный курс». /
Е. Г. В е р е т е н н и к о в а, С. М. П а т р у ш и н а, Н. Г. С а в е л ь е в а.
Ростов-на-Дону: МарТ, 2002. 416 с.

Учебное издание

СОКОЛОВСКАЯ Нина Николаевна

Системы счисления

–––––––––––––––

Редактор Т. С. Паршикова

***

Подписано в печать 02.2008. Формат 60 × 84 ¹/₁₆.

Плоская печать. Бумага офсетная. Усл. печ. л.. Уч.-изд. л..

Тираж 600 экз. Заказ.

Редакционно-издательский отдел ОмГУПСа

Типография ОмГУПСа

644046, г. Омск, пр. Маркса, 35

⇐ Предыдущая 1 23