Понятие о системах счисления

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Омский государственный университет путей сообщения

–––––––––––––––––––––––––––––––––––

Н. Н. Соколовская

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний к выполнению лабораторных работ и

самостоятельной работы для студентов первого курса всех специальностей

Омск 2008

УДК 511.11(075.8)

ББК 22.131я73

С59

Системы счисления: Методические указания к выполнению лабораторных работ и самостоятельной работы / Н. Н. Соколовская; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2008. 31 с.

Рассмотрены основные теоретические положения, связанные с системами счисления, правила перевода чисел из одной системы счисления в другую, приведены примеры решения задач различной сложности на системы счисления.

Методические указания предназначены для студентов первого курса всех специальностей очной и заочной форм обучения при выполнении лабораторных работ по дисциплине «Информатика».

Библиогр.: 3 назв. Табл. 3.

Рецензенты: доктор техн. наук, профессор В. А. Нехаев;

канд. физ.-мат. наук, профессор Г. Н. Бояркин.

–––––––––––––––––––––––––

путей сообщения, 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………………………………………………………………..…….
1. Теоретические сведения……………………………………………………..
1.1. Понятие о системах счисления………………………………….……..
1.2. Представление чисел с помощью позиционных систем счисления..
1.3. Системы счисления, применяемые в компьютере……………….…..
1.4. Перевод чисел из систем с произвольным основанием в десятичную систему счисления………………………………..…………………...
1.5. Быстрый способ перевода чисел с помощью устного счета………...
1.6. Перевод чисел из десятичной системы счисления в систему с произвольным основанием………………………………………………..…....
1.7. Перевод чисел из системы с основанием р в систему с основанием q………………………………………………………………………...
2. Примеры решения задач……………………..………………………….…...
3. Задания……………………………………………………………………..…
4. Контрольные вопросы……………………………………………………….
Библиографический список……………………………………………………

ВВЕДЕНИЕ

Методические указания содержат теоретические сведения и практические рекомендации по работе с различными системами счисления, применяемыми в информатике.

Информатика – это наука, изучающая структуру и общие свойства информации, все аспекты ее получения, хранения, поиска, преобразования, передачи и применения в различных областях человеческой деятельности.

Компьютер – это универсальное техническое средство для работы с информацией. Современную информатику можно назвать компьютерной информатикой, в ней компьютер выступает одновременно как инструмент для работы с информацией и как объект для изучения и совершенствования.

Известный специалист в области создания программного обеспечения для персональных компьютеров и автор книг о них Питер Нортон утверждает: «Знать, как он работает, не менее важно, чем уметь работать с ПК. Вы можете вполне успешно пользоваться услугами компьютера, не понимая того, что в нем происходит. Однако, чем глубже вы будете представлять процессы, происходящие в ПК, тем лучше будете использовать его возможности…. Если что-нибудь случится в процессе работы с компьютером, вероятность того, что вы примите правильное решение, а не наделаете глупостей и не испортите все окончательно, будет выше» [5].

Программа – это указание на последовательность действий (команд), которую должен выполнить компьютер, чтобы решить поставленную задачу обработки информации. Информация, обрабатываемая компьютером программным путем, называется данными и может быть различных видов: числовой, текстовой, графической, звуковой, видео.

Все команды и данные в компьютере кодируются одинаково – двоичным кодом. Любую комбинацию двоичных цифр компьютер может воспринять как символ, число или команду, это зависит от выполняемых компьютером действий.

Применение двоичного кодирования, т. е. применение двоичной системы счисления, обусловлено рядом причин.

Во-первых, проще технологически создать технические устройства, которые могут со стопроцентной надежностью сохранять и распознавать два различных состояния (цифры):

электромагнитные реле (замкнуто / разомкнуто), широко применялись в конструкциях первых ЭВМ;

участок поверхности магнитного носителя информации (намагничен / размагничен);

участок поверхности лазерного диска (отражает / не отражает);

триггер (электронное устройство), который может устойчиво находиться в одном из двух состояний, широко применяется в оперативной памяти компьютера.

Во-вторых, двоичная арифметика весьма проста.

В-третьих, поскольку каждую цифру необходимо представить некоторой физической величиной (например, для триггера – амплитудой напряжения, для магнитного диска – направлением намагниченности), то для десятичной системы счисления градаций этих физических величин должно быть десять, а для двоичной – всего две. В условиях действия помех чем больше градаций, тем больше вероятность перехода от одной градации к другой и появления ошибок. Возможность появления таких ошибок минимальна при использовании двоичной системы.

К недостаткам двоичной системы кодирования относятся необходимость и трудоемкость перевода чисел из десятичной системы при вводе информации в компьютер и в десятичную систему при выводе результатов.

Кроме того, двоичная система счисления неэкономична для записи чисел, она требует больше разрядов, чем запись того же числа в других системах. Для устранения этого недостатка на большинстве современных компьютеров для внешнего представления данных, адресации памяти используются системы с основаниями, кратными двум: восьмеричная и шестнадцатеричная, при этом компьютер хранит информацию в двоичной системе счисления и производит действия над двоичными числами.

Цель данных методических указаний – помочь студентам самостоятельно освоить сложный материал по курсу «Информатика», приобрести навыки практической работы по использованию систем счисления с различными основаниями.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Понятие о системах счисления

Совокупность названий и знаков, позволяющая записать любое число и дать ему имя, называется системой счисления, или нумерацией. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Различают непозиционные и позиционные системы счисления.

До сих пор сохранилась и применяется (при нумерации века, тома в собрании сочинений, главы книги) непозиционная римская система записи чисел. В этой системе в качестве цифр используются заглавные латинские буквы:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Величина числа в римской системе определяется как сумма или разность цифр в числе. Цифры записываются слева направо в порядке убывания, при этом их значения складываются; если слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то из большей цифры вычитается меньшая. Например, VI = 5 + 1 = 6, IV = 5 – 1 = 4, MCMXCVI = 1000 + (–100 + 1000) + (–10 + 100) + 5 + 1= 1996.

Часто, в том числе и в компьютерах, применяются позиционные системы счисления, которые характеризуются наглядностью записи чисел и большей простотой выполнения арифметических операций. (Далее везде будут иметься в виду только такие системы.) В позиционных системах величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции (положения) в числе, т. е. одна и та же цифра имеет различное значение, определяемое ее местом в числе.

Основанием позиционной системы счисления называется количество p различных цифр, применяемых ею для изображения чисел. Например, в привычной для всех десятичной системе счисления основание p = 10, так как используются 10 арабских цифр от 0 до 9 включительно. Вес каждой цифры в числе изменяется в p раз при перемещении ее в числе на соседнее место. Например, в десятичном числе 222 все цифры одинаковые, но правая цифра 2 означает две единицы, вторая справа – два десятка и, наконец, третья справа – две сотни.

Представление чисел с помощью позиционных систем счисления

Двоичная арифметика

Правила выполнения арифметических операций для позиционных систем счисления с любым основанием р одинаковы и задаются таблицами сложения и умножения одноразрядных чисел.

Таблица двоичного сложения имеет вид:

0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 10.

Ранее говорилось, что в любой системе счисления основание системы счисления записывается как 10. К этому же результату можно прийти иначе. Например, для двоичной системы счисления при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной основанию системы счисления или больше его, для двоичной системы счисления – больше двух или равной двум. Для примера сложим в столбик двоичные числа 1001, 01₂ и 11, 11₂:

Вычитание можно выполнять по таблицам сложения. При вычитании из меньшей цифры большей производится заем из старшего разряда, при этом следует учесть, что в двоичной системе счисления одна единица старшего разряда равна двум единицам младшего разряда. Для примера вычтем двоичные числа 1001, 01₂ и 11, 11₂:

Если вычитаемое больше уменьшаемого, то необходимо поменять их местами, а разность записать со знаком минус. Например, разность чисел 11, 11₂и 1001, 01₂ равна –101, 10₂.

Таблица двоичного умножения имеет вид:

0 · 0 = 0; 0 · 1 = 0; 1 · 0 = 0; 1 × 1 = 1.

Умножение многоразрядных двоичных чисел производится столбиком, т. е. путем образования частичных произведений и последующего их суммирования. При умножении, как обычно, не следует обращать внимание на запятые. Затем в полученном результате справа отделить запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно. Для примера умножим двоичные числа 11, 01₂ и 1, 01₂:

Следует отметить, что умножение любого целого двоичного числа на 10₂ (т. е. на 2) эквивалентно добавлению нуля справа, а дробного – переносу запятой вправо на один разряд. Например, 1101 · 10 = 11010; 11, 01 · 10 = 110, 1.

Деление многоразрядных чисел производится уголком, аналогично делению десятичных чисел. Например, разделим натуральное число 1001₂на натуральное число 11₂:

_ 1001₂| 11₂

11 11₂

_ 11

Деление двоичной дроби на натуральное число выполняется так же, как деление натурального числа на натуральное, а запятую в частное ставят после того, как закончено деление целой части. Например, разделим дробное число 110, 1₂на натуральное число 11₂:

_ 100, 1₂| 11₂

11 1, 1₂

_ 11

Перед делением двоичной дроби на двоичную дробь необходимо запятую в делимом и делителе перенести вправо на столько разрядов (цифр), сколько их имеется после запятой в делителе – от этого частное не изменится. Иными словами, нужно умножить делимое и делитель на такую степень числа 2 (на такое число 10...0₂), чтобы делитель стал натуральным числом. Например, разделим дробное число 10, 01₂на дробное число 1, 1₂. После умножения делимого и делителя на 10₂получим предыдущий пример.

Следует отметить, что деление любого двоичного числа на 10₂ (т. е. на 2) эквивалентно переносу запятой влево на один разряд. Например, 1101₂: 10₂ = = 110, 1₂; 11, 01₂: 10₂ = 1, 101₂.

Общий случай

В общем случае перевод чисел из системы с основанием p в систему с основанием q легче всего выполнять по схеме:

A_p → A₁₀ → A_q,

т. е. сначала число из системы с основанием р следует перевести в привычную десятичную систему, а затем полученное число необходимо из десятичной системы перевести в систему с основанием q.

Например, переведем число А₈ = 32, 4₈ в двоичную систему счисления.

Десятичное число А₁₀ = 3·8¹ + 2·8⁰ + 4·8^–1= 26, 5₁₀.

Делением получим целую часть числа 26, 5₁₀ в двоичной системе:

_ 26 | 2 0

26 _ 13 | 2 0

0 12 _ 6 | 2 0

1 6 _ 3 | 2 0

0 3 _ 1 | 2 0

1 0 0

Целая часть равна 11010₂, а дробная часть очевидна: 0, 5₁₀ = 2^–¹ = 0, 1₂.

Ответ: А₂ = 11010, 1₂.

С кратными основаниями

Перевод числа из восьмеричной системы счисления в двоичную систему можно выполнить проще, если использовать поразрядные способы перевода для систем с кратными основаниями. Системы счисления называют системами с кратными основаниями, если для оснований систем счисления p и q справедливо соотношение: p = q^k, где k – натуральное число.

Примером систем с кратными основаниями являются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы (2³ = 8; 2⁴ = 16).

Перевод чисел в системах с кратными основаниями прост и не требует выполнения арифметических действий.

Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную систему и обратно основан на замене каждой восьмеричной цифры тремя двоичными разрядами – триадой, и наоборот – замене каждой группы из трех двоичных разрядов одной восьмеричной цифрой.

Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему основан на замене каждой шестнадцатеричной цифры четырьмя двоичными разрядами – тетрадой, и наоборот – замене каждой группы из четырех двоичных разрядов одной шестнадцатеричной цифрой.

При переводе чисел в системах с кратными основаниями, для которых справедливы соотношения p = 2^к и q = 2^m, удобно воспользоваться табл. 2.

Рассмотрим на примерах перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную и обратно.

П р и м е р 1.

Дано: А₈ = 205, 24₈. Найти: А₂.

Для получения результата каждую двоичную цифру заменим триадой:

А₈ = 2 0 5, 2 4;

А₂ = 010 000 101, 010 100.

Ответ: А₂ = 10000101, 0101₂.

П р и м е р 2.

Дано: А₁₆ = 2Е5, 24₁₆. Найти: А₂.

Для получения результата каждую двоичную цифру заменим тетрадой:

А₁₆ = 2 Е 5, 2 4;

А₂ = 0010 1110 0101, 0010 0100.

Ответ: А₂ = 1011100101, 001001₂.

П р и м е р 3.

Дано: А₂ = 1010110, 11001₂. Найти: А₈и А₁₆.

Для перевода необходимо разбить заданное двоичное число влево и вправо от запятой на триады (тетрады). Неполные триады (тетрады) дополняются нулями:

А₂ = 001 010 110, 110 010;

А₈ = 1 2 6, 6 2;

А₂ = 0101 0110, 1100 1000;

А₁₆ = 5 6, С 8.

Ответ: А₈ = 126, 62₈; А₁₆ = 56, С8₁₆.

П р и м е р 4.

Дано: А₁₆ = АВВА, D0C₁₆. Найти: А₈.

Для упрощения перевода из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно в качестве промежуточной системы удобно использовать двоичную систему:

А₁₆ = А В В А, D 0 C;

А₂ = 1010 1011 1011 1010, 1101 0000 1100;

А₂ = 001 010 101 110 111 010, 110 100 001 100;

А₈ = 1 2 5 6 7 2, 6 4 1 4.

Ответ: А₈ = 125672, 6414₈.

Примеры решения задач

Замечание 2. В разд. 2 и 3 методических указаний приняты следующие обозначения и условия:

одна или две звездочки рядом с номером задачи означают ее сложность;

в условиях задач звездочка заменяет какую-то пропущенную цифру; если в примере используется несколько звездочек, то они могут обозначать разные цифры (например, запись ** означает двузначное число, записанное не обязательно одинаковыми цифрами);

иногда, когда это очевидно, индекс, указывающий на основание системы счисления, не записывается.

П р и м е р 1.

Один преподаватель на вопрос, много ли у него студентов в группе, ответил: «У меня в группе 100 студентов, из них 24 девушки и 21 юноша». В какой системе счисления дал ответ преподаватель?

Решение этой задачи несложное. Пусть р – основание системы счисления, о которой идет речь. Тогда в группе студентов 1·р² + 0·р¹ + 0·р⁰, из них 2·р¹ + 4·р⁰ девушек и 2·р¹ + 1·р⁰ юношей. Таким образом,

р²= 2р + 4 + 2р + 1, (8)

или

р² – 4р – 5 = 0, (9)

отсюда

, (10)

т. е.

р1 = 5; р2 = –1.

Так как –1 не может быть основанием системы счисления, то единственное решение этой задачи – основание системы счисления р = 5. В группе 25 человек, из них 14 девушек и 11 юношей.

Решить эту задачу можно гораздо проще, если записать:

24_р + 21_р = 100_р.

При сложении цифр 4 и 1 в разряде единиц получился ноль, значит, сумма 4 + 1 = 5₁₀ в этой системе счисления дала переполнение и перенос единицы в старший разряд. В любой системе счисления основание записывается как 10_р (см. п. 1.2.2). Значит, р = 5₁₀.

Ответ: основание системы счисления р = 5.

П р и м е р 2*.

Полным квадратом называется число, которое является квадратом натурального числа. Например, полные квадраты числа 1, 4, 9, 16, 25 и т. д. Существует ли система счисления, в которой число 123_р будет полным квадратом?

Развернутая запись числа 123_р имеет вид:

1·р² + 2·р¹ + 3·р⁰. (11)

Запишем выражение (11) иначе:

р² + 2р + 3, (12)

или

р² + 2р + 1 + 2, (13)

или

(р + 1 )² + 2. (14)

Выражение (14) не может быть полным квадратом, так как (р + 1)²– полный квадрат, а из рассмотрения чисел 1, 4, 9, 16, 25, … следует, что не существует полных квадратов, разность между которыми равна двум.

Ответ: такой системы счисления не существует.

П р и м е р 3.

Найти первое слагаемое и сумму, а также основание системы счисления, в которой справедливо соотношение:

***_р + 1_р = ****_р.

Решение задачи очевидно. В любой системе счисления с основанием р прибавление единицы к трехзначному числу дает в результате четырехзначное число только тогда, когда все цифры трехзначного числа одинаковы и равны максимальному значению (р – 1). Если хотя бы одна из цифр трехзначного числа меньше (р – 1), то суммой будет трехзначное число.

Например, 111₂ + 1₂ = 1000₂; 222₃ + 1₃ = 1000₃; 777₈ + 1₈ = 1000₈ и т. д.

Ответ: р – любое натуральное число, большее единицы; первое слагаемое состоит из трех одинаковых цифр, равных (р – 1); сумма двух слагаемых 1000_р = р³₁₀.

П р и м е р 4.

Найти сумму:

10101, 11₂ + 123, 3₈ + А0, 8₁₆.

Результат представить в десятичной системе счисления.

Дать два варианта решения:

1) найти сумму в двоичной системе счисления, перевести ее в шестнадцатеричную систему счисления, а затем – в десятичную;

2) сначала все слагаемые перевести в десятичную систему счисления, а потом уже провести суммирование.

1-й вариант

Переведем слагаемые 123, 3₈ и А0, 8₁₆в двоичную систему счисления, заменив каждую восьмеричную цифру триадой двоичных цифр, а каждую шестнадцатеричную – тетрадой (см. табл. 2):

123, 3₈ = 001 010 011, 011₂;

А0, 8₁₆ = 1010 0000, 1000₂.

Проще сложить сначала первые два слагаемых, а потом к результату прибавить третье:

Переведем окончательный результат в десятичную систему счисления:

109, А₁₆ = 1·16² + 0·16¹ +9·16⁰ + 10·16^–1 = 265, 625₁₀.

2-й вариант

Переведем все три слагаемых в десятичную систему счисления:

10101, 11₂ = 1·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ + 1·2^-1 + 1·2^-2 = 21, 75₁₀;

123, 3₈ = 1·8² + 2·8¹ + 3·8⁰ + 3·8^–1= 83, 375₁₀;

А0, 8₁₆ = 10·16¹ + 0·16⁰ + 8·16^–1 = 160, 5₁₀;

21, 75 + 83, 375 + 160, 5 = 265, 625.

Результаты вычислений в обоих вариантах совпали, что подтверждает правильность решения.

Ответ: 265, 625₁₀.

П р и м е р 5*.

Найти алгебраическую сумму:

120₃ – 322, 2₄.

Дать два варианта решения (см. пример 4).

1-й вариант

Переведем уменьшаемое 120₃ и вычитаемое 322, 2₄в двоичную систему счисления.

Перевод уменьшаемого выполним по схеме (см п. 1.7.1):

A₃ → A₁₀ → A₂.

120₃ = 1·3² + 2·3¹ + 0·3⁰ = 15₁₀, т. е. А₁₀ = 15.

Для перевода числа 15₁₀ в двоичную систему счисления необходимо выполнить последовательное деление на 2 и выписывание остатков в порядке, обратном их получению (см. п. 1.6.1):

_ 15 | 2 0

10 _ 7 | 2 0

1 4 _ 3 | 2 0

1 2 _ 1 | 2 0

1 0 00

Получили запись уменьшаемого в двоичной системе счисления: 1111₂.

Вычитаемое 322, 2₄ записано в четверичной системе счисления, для перевода его в двоичную систему следует воспользоваться схемой

A₄ → A₁₀ → A

и учесть, что 2² = 4. Двоичная и четверичная системы являются системами с кратными основаниями. При переводе числа из шестнадцатеричной системы в двоичную каждую шестнадцатеричную цифру заменим группой из четырех двоичных цифр (тетрадой). При переводе числа из восьмеричной системы в двоичную каждую восьмеричную цифру заменим группой из трех двоичных цифр (триадой). По аналогии при переводе числа из четверичной системы в двоичную каждую четверичную цифру заменим группой из двух двоичных цифр (диадой):

А₄ = 3 2 2, 2₄

А₂ = 11 10 10, 10₂.

Получили запись вычитаемого в двоичной системе счисления: 111010, 10₂.

Вычитаемое больше уменьшаемого, поэтому (см. п. 1.3.2) вычтем из большего числа меньшее, полученному результату присвоим знак «минус»:

и переведем результат в десятичную систему счисления:

А₂ = 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ + 1·2^-1 = 43, 5₁₀.

Добавим знак «минус» и получим: – 43, 5₁₀.

2-й вариант

Число 120₃равно 15₁₀. Переведем число 322, 2₄ в десятичную систему счисления:

322, 2₄ = 3·4² + 2·4¹ + 2·4⁰ + 2·4^-1 = 58, 5₁₀.

15₁₀ – 58, 5₁₀ = – 43, 5₁₀.

Ответ: – 43, 5₁₀.

П р и м е р 6.

Вычислить:

110111, 101₂: 54, 4₈ · 2В, 8₁₆.

Вычисления провести в двоичной системе счисления, а результат за-писать в десятичной.

Переведем числа 54, 4₈ и 2В, 8₁₆ в двоичную систему счисления (см. табл. 2):

54, 4₈ = 101 100, 100₂ = 101100, 1₂;

2В, 8₁₆ = 0010 1011, 1000₂ = 101011, 1₂.

Выполним деление, при этом перенесем запятую в делимом и делителе на один разряд вправо, чтобы делимое стало натуральным числом (см. п. 1.3.2):

_– 1101111, 01₂ | 1011001₂

101100100 1, 01₂

_– 1011001

10110010

Выполним умножение, предварительно переставив сомножители для упрощения записи (в числе 1, 01₂ меньше цифр, чем в числе 101011, 1₂, поэтому частичных произведений при умножении столбиком будет меньше):

Выполним перевод по схеме:

А₂ → А₈ → А₁₀.

110110, 011₂= 110 110, 011₂= 66, 3₈ = 6·8¹ + 6·8⁰ + 3·8^-1 = 54, 375₁₀.

Ответ: 54, 375₁₀.

П р и м е р 7*.

Значения длин сторон треугольника заданы числами: 11110₂, 50₈, 32₁₆. Определить радиус описанной окружности.

Переведем длину каждой стороны в десятичную систему счисления:

11110₂ = 30₁₀; 50₈ = 40_10; 32₁₆ = 50₁₀.

Заметив, что 30² + 40² = 50², делаем вывод о том, что треугольник с такими сторонами является прямоугольным с катетами 30, 40 и гипотенузой 50. Тогда диаметр описанной окружности равен гипотенузе прямоугольного треугольника (по школьному курсу математики), а радиус – половине диаметра.

Ответ: радиус описанной окружности равен 25.

3. Задания

З а д а н и е 1. Записать год, месяц, число своего рождения с помощью римских цифр.

З а д а н и е 2. Выписать алфавиты в пятеричной, семеричной и двенадцатеричной системах счисления.

З а д а н и е 3. Записать первые 20 чисел натурального числового ряда в четверичной (табл. 1), пятеричной, семеричной системах счисления.

При выполнении задания следует для получения очередного числа прибавлять единицу к предыдущему числу.

З а д а н и е 4. Записать наименьшее и наибольшее трехзначное в двоичной, троичной, четверичной, пятеричной, семеричной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

З а д а н и е 5. Выписать целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым отрезкам:

[110₂; 1001₂], [10₃; 22₃], [12₄; 21₄], [12₅; 20₅], [67₈; 71₈], [AFF₁₆; B02₁₆].

З а д а н и е 6. Определить, существуют ли системы счисления, в которых выполняются соотношения:

1) *00 + ** = ****;

2) 7**3 + **4 = 7**0.

З а д а н и е 7. Составить небольшие примеры, подтверждающие, что умножение двоичного числа на 2^к – переносу запятой в этом числе на к разрядов вправо, а деление двоичного числа на 2^к эквивалентно переносу запятой в этом числе на к разрядов влево (см. п. 1.3.2).

З а д а н и е 8. Даны два десятичных числа: 0, 2₁₀ и 0, 3₁₀. Выполнить сложение этих чисел дважды:

а) сложением в десятичной системе счисления;

б) переводом каждого из них в двоичную систему счисления с точностью до пяти цифр после запятой, сложением в двоичной системе счисления и переводом результата в десятичную систему счисления.

Результаты вычислений объяснить.

З а д а н и е 9. Перевести смешанную простую дробь в двоичную

систему счисления с точностью до четырех цифр после запятой. Результат перевести в десятичную систему и сравнить с исходным числом.

З а д а н и е 10. Данные для выполнения этого задания приведены по вариантам в табл. 3.

1. Выбрать десятичное число и выполнить преобразования по схеме:

а) А₁₀ → А₂ → А₈ → А₁₀;

б) А₁₀ → А₂ → А₁₆ → А₁₀.

2.* Выбрать двоичное число и выполнить преобразования по схеме:

А ₂→ А₄ → А₁₆ → А₁₀ → А₂.

3.* Выбрать шестнадцатеричное число и выполнить преобразования по схеме:

А₁₆→ А₄ → А₁₀ → А₂ → А₁₆.

4.** Выбрать восьмеричное число и выполнить преобразования по схеме:

А₈→ А₄ → А₁₀ → А₂ → А₈.

5. Сложить в двоичной системе счисления двоичное и восьмеричное числа. Результат проверить сложением этих чисел в десятичной системе счисления и переводом его в двоичную систему.

6. Вычесть в двоичной системе счисления из восьмеричного числа шестнадцатеричное число. Полученное число перевести в десятичную систему. Результат проверить вычитанием этих чисел в десятичной системе счисления.

7. Умножить восьмеричное число на шестнадцатеричное число А, 8₁₆. Умножение выполнить в двоичной системе счисления. Результат проверить переводом обоих сомножителей в десятичную систему счисления и выполнением умножения в этой системе.

8. Разделить шестнадцатеричное число на 10, 1₂. Деление выполнить в двоичной системе счисления. Результат проверить переводом делимого и делителя в десятичную систему счисления и выполнением деления в этой системе.

Т а б л и ц а 3

Исходные данные к заданию 10

Номер варианта	Ч и с л о в системе счисления
двоичная	восьмеричная	десятичная	шестнадцатеричная
	101010, 011	172, 2	31, 750	АВ, 4
	100000, 101	213, 4	29, 250	АF, 8
	110000, 111	123, 4	32, 500	BB, C
	101010, 001	200, 4	41, 250	BA, 4
	100100, 100	161, 1	36, 125	AF, 8
	101000, 100	211, 1	42, 750	B4, 4
	111100, 100	150, 4	39, 625	BB, C
	110011, 010	231, 4	33, 375	AC, C
	111111, 100	177, 2	27, 500	BA, 8
	100000, 110	165, 4	32, 375	BB, 8
	101111, 100	201, 4	27, 750	1F, 2
	101000, 001	202, 4	30, 750	97, 8
	111100, 010	166, 2	35, 500	9F, 4
	111110, 001	136, 4	44, 500	AE, C
	101011, 100	232, 2	40, 375	BE, 4
	111001, 010	155, 4	33, 250	AA, 8

4. Контрольные вопросы

1. В римской системе счисления записаны два числа: MXM и MMX. Какое число больше?

2. Какое количество обозначает цифра 2 в числах 202₃, 2021₃, 202₄, 2021₄, 202₅, 2021₅, 202₇, 2021₇, 202₈, 2021₈, 202₁₀, 2021₁₀, 202₁₂, 2021₁₂, 202₁₆, 2021₁₆?

3. Какое число предшествует и какое число следует за каждым из данных: 101101₂, 120₃, 130₄, 210₅, 300₇, 200₈, 30₁₂, 20₁₆? Ответ дать в заданной и десятичной системах счисления.

4. Существует ли система счисления, в которой десятичное число 15 будет оканчиваться цифрой 7?

5. В какой системе счисления с основанием р десятичное число 16 записывается как 17_р, а в какой как 20_р?

6. Какое число больше: 123₄ или 123₅; 777₈ или FF₁₆?

7. Каково соотношение между р и q, если известно, что 400_р= 100_q?

8. Существуют ли системы счисления, в которых выполняются соотношения: а) 16_р+ 12_р= 40_р; б) 16_р+ 12_р= 31_р; в) 2_р^.2_р = 3_р; г) 12_р – 6_р = 5_р;

д) 100_р: 2_р = 20_р?

9. В какой системе счисления с выполнено вычитание: ***_р – 1 = **_р?

10^*. Существует ли система счисления, в которой десятичное число 15 будет оканчиваться цифрой 0, двумя нулями?

11^*. Какое число больше: ааа_р или ааа_q, если известно, что а – какая-то арабская цифра, а натуральное число р меньше натурального числа q?

12^*. Существует ли система счисления, в которой число 17_р будет полным квадратом?

13^*. Каково минимальное основание системы счисления, в которой число 13_р будет полным квадратом?

14^**. Существует ли система счисления, в которой десятичное число 50 будет оканчиваться двумя нулями?

15^**. Существует ли система счисления, в которой двузначное число, записанное с помощью двух одинаковых цифр, будет полным квадратом?

16^**. Существует ли система счисления с основанием отличным от 10, в которой число 144_р будет полным квадратом?

Библиографический список

1. Информатика. Базовый курс / С. В. С и м о н о в и ч, Г. А. Е в с е е в
и др. СПб: Питер, 2005. 640 с.

2. Информатика / Под. ред. проф. Н. В. Макаровой. М.: Финансы и статистика, 2001.768 с.

3. В е р е т е н н и к о в а Е. Г. Информатика / Серия «Учебный курс». /
Е. Г. В е р е т е н н и к о в а, С. М. П а т р у ш и н а, Н. Г. С а в е л ь е в а.
Ростов-на-Дону: МарТ, 2002. 416 с.

Учебное издание

СОКОЛОВСКАЯ Нина Николаевна

Системы счисления

–––––––––––––––

Редактор Т. С. Паршикова

***

Подписано в печать 02.2008. Формат 60 × 84 ¹/₁₆.

Плоская печать. Бумага офсетная. Усл. печ. л.. Уч.-изд. л..

Тираж 600 экз. Заказ.

Редакционно-издательский отдел ОмГУПСа

Типография ОмГУПСа

644046, г. Омск, пр. Маркса, 35