Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Представление чисел с помощью позиционных систем счисления



Десятичная система счисления

Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. Разряды имеют названия и номера: разряд единиц, или нулевой разряд; разряд десятков, или первый разряд; разряд сотен, или второй разряд, и т. д. Количественный эквивалент цифры в записи числа равен произведению значения цифры на вес разряда, где она записана.

Для записи первых девяти натуральных чисел используются одноразрядные числа, т. е. числа, состоящие из одной цифры от 0 до 9. Для записи числа, большего на единицу старшей цифры 9 десятичной системы счисления, т. е. числа десять, уже нет цифры, поэтому число десять записывается в виде комбинации из двух цифр – 10, т. е. одного десятка и нуля единиц. Десять десятков образуют одну сотню, десять сотен – одну тысячу. В общем, десять единиц любого разряда образуют единицу следующего (более старшего) разряда.

Число 22210 записано в свернутой форме. В развернутой форме (явной, где указывается вес отдельных разрядов) запись этого числа имеет вид:

 

22210 = 2·102 + 2·101 + 2·100,

 

Эту запись называют еще разложением числа по степеням основания. Очевидно, что такая запись числа является полиномом от основания p, т. е. суммой числового ряда степеней основания (в данном случае – 10).

Для записи десятичных дробей используются отрицательные значения степеней основания. Например, число 222, 2210 в развернутой форме выглядит так:

222, 2210 = 2·102 + 2·101 + 2·100 + 2·10–1 + 2·10–2.

 

Следует отметить, что номера разрядов числа совпадают с показателями степени основания.

В общем случае краткая (свернутая) запись смешанной десятичной дроби, имеющей n разрядов в целой части числа и m разрядов в дробной части числа, имеет вид:

 

A10 = an1an2…a0, a1a2…am. (1)

 

Формула разложения числа, представленного выражением (1), по степеням основания 10 (развернутая форма записи числа) имеет вид:

 

A10 = an1·10n1 + an2·10n2 + …a0·100 + a1·101 + a2·102 +…+ am·10m. (2)

 

Основание 10 системы обозначено подстрочным индексом к числу.

Системы счисления с произвольным основанием

Основанием позиционной системы счисления может быть любое натуральное число p, большее единицы. Для записи чисел в такой системе счисления необходимо иметь алфавит из р цифр от 0 до (р – 1) включительно. При р ≤ 10 используются р первых арабских цифр, а при р > 10 к десяти арабским цифрам добавляют латинские буквы.

Примеры алфавитов некоторых систем приведены в табл. 1.

 

Т а б л и ц а 1

Алфавиты некоторых систем счисления

 

Основание Система Алфавит
р = 2 Двоичная 0, 1
р = 3 Троичная 0, 1, 2
Р = 4 Четверичная 0, 1, 2, 3
Р = 8 Восьмеричная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
р = 16 Шестнадцатеричная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15)

 

Для записи первых (р – 1) натуральных чисел используются одноразрядные числа, т. е. числа, состоящие из одной цифры от 0 до (р – 1). Для записи числа, большего на единицу старшей цифры (р – 1) системы счисления с основанием р уже нет цифры, поэтому число р записывается в виде комбинации из двух цифр – 10, т. е. одной единицы старшего разряда (с весом р1) и нуля единиц младшего разряда (с весом р0, т. е. 1). Всегда р единиц любого разряда образуют единицу следующего (более старшего) разряда.

В общем случае краткая (свернутая) запись смешанной дроби в системе с основанием р, содержащей n разрядов в целой части числа и m разрядов в дробной части числа, имеет вид:

Aр = an1an2…a0, a1a2…am. (3)

Формула разложения числа, представленного выражением (3), по степеням основания р имеет вид:

 

Aр = an1·рn1 + an2·рn2 +…+ a0·р0 + a1·р1 + a2·р2 +…+ am·рm. (4)

 

Основание р системы обозначено подстрочным индексом к числу.

Например:

 

222, 223 = 2·32 + 2·31 + 2·30 + 2·3-1 + 2·3-2;

222, 224 = 2·42 + 2·41 + 2·40 + 2·4-1 + 2·4-2;

222, 228 = 2·82 + 2·81 + 2·80 + 2·8- 1+ 2·8-2;

222, 2216 = 2·162 + 2·161+ 2·160 + 2·16-1 + 2·16-2.

Системы счисления, применяемые в компьютере

Представление информации может осуществляться с помощью языков. Каждый язык имеет свой алфавит, т. е. набор используемых символов.Любую систему счисления можно рассматривать как язык для записи чисел, а ее цифры – как алфавит этого языка.

Двоичная система счисления и двоичное кодирование информации

В информатике и вычислительной технике используется двоичный алфавит, имеющий два знака (две цифры): 0 и 1. Базовая единица компьютерных данных (наименьшая и основная) – бит. Слово «бит» является сокращением английского выражения «binary digit», т. е. «двоичная цифра».

Двоичные цифры, или биты, имеют очевидные числовые значения: ноль и единица. Кроме того, биты 0 и 1 могут обозначать «выключено» и «включено», «ложь» и «истина», «нет» и «да». Бит – это наименьшая единица измерения количества информации. Чаще используют более крупную единицу – байт, один байт равен восьми битам.

Каждая цифра двоичного машинного кода несет информацию в один бит. С помощью одной двоичной цифры можно закодировать одну из двух возможных альтернатив. Для кодирования трех альтернатив надо уже не менее двух битов. Например, для кодирования трех сигналов светофора (зеленого, желтого и красного) можно выбрать коды 00, 01 и 10. Еще один вариант двухбитового кода (11) в этом случае не используется.

Для кодирования от пяти до восьми состояний, объектов, альтернатив, сообщений, событий требуется уже трехбитовый код, который имеет следующие наборы битов: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111, которые называют машинными словами.

С помощью машинных слов из n битов можно закодировать 2n альтернатив.

В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр, следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1. Например, двоичное число A2 = 110, 1012 в развернутой записи имеет вид:

 

А2 = 1·22 + 1·21 + 0·20 + 1·21 + 0·22 + 1·23.

 

В общем случае запись двоичного числа, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа,

 

A2 = an1an2…a0, a1a2…am (5)

 

в развернутой записи имеет вид:

 

A2 = an1·2n1 + an2·2n2 +…+ a0·20 + a1·21 + a2·22 +…+ am·2m. (6)

Двоичная арифметика

Правила выполнения арифметических операций для позиционных систем счисления с любым основанием р одинаковы и задаются таблицами сложения и умножения одноразрядных чисел.

Таблица двоичного сложения имеет вид:

0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 10.

Ранее говорилось, что в любой системе счисления основание системы счисления записывается как 10. К этому же результату можно прийти иначе. Например, для двоичной системы счисления при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной основанию системы счисления или больше его, для двоичной системы счисления – больше двух или равной двум. Для примера сложим в столбик двоичные числа 1001, 012 и 11, 112:

       
   

Вычитание можно выполнять по таблицам сложения. При вычитании из меньшей цифры большей производится заем из старшего разряда, при этом следует учесть, что в двоичной системе счисления одна единица старшего разряда равна двум единицам младшего разряда. Для примера вычтем двоичные числа 1001, 012 и 11, 112:

Если вычитаемое больше уменьшаемого, то необходимо поменять их местами, а разность записать со знаком минус. Например, разность чисел 11, 112 и 1001, 012 равна –101, 102.

Таблица двоичного умножения имеет вид:

0 · 0 = 0; 0 · 1 = 0; 1 · 0 = 0; 1 × 1 = 1.

 
 

Умножение многоразрядных двоичных чисел производится столбиком, т. е. путем образования частичных произведений и последующего их суммирования. При умножении, как обычно, не следует обращать внимание на запятые. Затем в полученном результате справа отделить запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно. Для примера умножим двоичные числа 11, 012 и 1, 012:

Следует отметить, что умножение любого целого двоичного числа на 102 (т. е. на 2) эквивалентно добавлению нуля справа, а дробного – переносу запятой вправо на один разряд. Например, 1101 · 10 = 11010; 11, 01 · 10 = 110, 1.

Деление многоразрядных чисел производится уголком, аналогично делению десятичных чисел. Например, разделим натуральное число 10012 на натуральное число 112:

 

 

_ 10012 | 112

11 112

_ 11

11

Деление двоичной дроби на натуральное число выполняется так же, как деление натурального числа на натуральное, а запятую в частное ставят после того, как закончено деление целой части. Например, разделим дробное число 110, 12 на натуральное число 112:

 

_ 100, 12 | 112

11 1, 12

_ 11

11

 

Перед делением двоичной дроби на двоичную дробь необходимо запятую в делимом и делителе перенести вправо на столько разрядов (цифр), сколько их имеется после запятой в делителе – от этого частное не изменится. Иными словами, нужно умножить делимое и делитель на такую степень числа 2 (на такое число 10...02), чтобы делитель стал натуральным числом. Например, разделим дробное число 10, 012 на дробное число 1, 12. После умножения делимого и делителя на 102 получим предыдущий пример.

Следует отметить, что деление любого двоичного числа на 102 (т. е. на 2) эквивалентно переносу запятой влево на один разряд. Например, 11012: 102 = = 110, 12; 11, 012: 102 = 1, 1012.


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-12; Просмотров: 467; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.032 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь