Представление чисел с помощью позиционных систем счисления

Десятичная система счисления

Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. Разряды имеют названия и номера: разряд единиц, или нулевой разряд; разряд десятков, или первый разряд; разряд сотен, или второй разряд, и т. д. Количественный эквивалент цифры в записи числа равен произведению значения цифры на вес разряда, где она записана.

Для записи первых девяти натуральных чисел используются одноразрядные числа, т. е. числа, состоящие из одной цифры от 0 до 9. Для записи числа, большего на единицу старшей цифры 9 десятичной системы счисления, т. е. числа десять, уже нет цифры, поэтому число десять записывается в виде комбинации из двух цифр – 10, т. е. одного десятка и нуля единиц. Десять десятков образуют одну сотню, десять сотен – одну тысячу. В общем, десять единиц любого разряда образуют единицу следующего (более старшего) разряда.

Число 222₁₀ записано в свернутой форме. В развернутой форме (явной, где указывается вес отдельных разрядов) запись этого числа имеет вид:

222₁₀= 2·10²+ 2·10¹+ 2·10⁰,

Эту запись называют еще разложением числа по степеням основания. Очевидно, что такая запись числа является полиномом от основания p, т. е. суммой числового ряда степеней основания (в данном случае – 10).

Для записи десятичных дробей используются отрицательные значения степеней основания. Например, число 222, 22₁₀в развернутой форме выглядит так:

222, 22₁₀ = 2·10²+ 2·10¹+ 2·10⁰+ 2·10^–1+ 2·10^–2.

Следует отметить, что номера разрядов числа совпадают с показателями степени основания.

В общем случае краткая (свернутая) запись смешанной десятичной дроби, имеющей n разрядов в целой части числа и m разрядов в дробной части числа, имеет вид:

A₁₀= a_n_–₁a_n_–₂…a₀, a_–₁a_–₂…a_–_m. (1)

Формула разложения числа, представленного выражением (1), по степеням основания 10 (развернутая форма записи числа) имеет вид:

A₁₀= a_n_–₁·10ⁿ^–¹+ a_n_–₂·10ⁿ^–²+ …a₀·10⁰+ a_–₁·10^–¹+ a_–₂·10^–²+…+ a_–_m·10^–^m. (2)

Основание 10 системы обозначено подстрочным индексом к числу.

Системы счисления с произвольным основанием

Основанием позиционной системы счисления может быть любое натуральное число p, большее единицы. Для записи чисел в такой системе счисления необходимо иметь алфавит из р цифр от 0 до (р – 1) включительно. При р ≤ 10 используются р первых арабских цифр, а при р > 10 к десяти арабским цифрам добавляют латинские буквы.

Примеры алфавитов некоторых систем приведены в табл. 1.

Т а б л и ц а 1

Алфавиты некоторых систем счисления

Основание	Система	Алфавит
р = 2	Двоичная	0, 1
р = 3	Троичная	0, 1, 2
Р = 4	Четверичная	0, 1, 2, 3
Р = 8	Восьмеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
р = 16	Шестнадцатеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15)

Для записи первых (р – 1) натуральных чисел используются одноразрядные числа, т. е. числа, состоящие из одной цифры от 0 до (р – 1). Для записи числа, большего на единицу старшей цифры (р – 1) системы счисления с основанием р уже нет цифры, поэтому число р записывается в виде комбинации из двух цифр – 10, т. е. одной единицы старшего разряда (с весом р¹) и нуля единиц младшего разряда (с весом р⁰, т. е. 1). Всегда р единиц любого разряда образуют единицу следующего (более старшего) разряда.

В общем случае краткая (свернутая) запись смешанной дроби в системе с основанием р, содержащей n разрядов в целой части числа и m разрядов в дробной части числа, имеет вид:

A_р = a_n_–₁a_n_–₂…a₀, a_–₁a_–₂…a_–_m. (3)

Формула разложения числа, представленного выражением (3), по степеням основания р имеет вид:

A_р= a_n_–₁·рⁿ^–¹+ a_n_–₂·рⁿ^–²+…+ a₀·р⁰+ a_–₁·р^–¹+ a_–₂·р^–²+…+ a_–_m·р^–^m. (4)

Основание р системы обозначено подстрочным индексом к числу.

Например:

222, 22₃= 2·3²+ 2·3¹+ 2·3⁰+ 2·3^-1+ 2·3^-2;

222, 22₄= 2·4²+ 2·4¹+ 2·4⁰+ 2·4^-1+ 2·4^-2;

222, 22₈= 2·8²+ 2·8¹+ 2·8⁰+ 2·8^{- 1}+ 2·8^-2;

222, 22₁₆= 2·16²+ 2·16¹+ 2·16⁰+ 2·16^-1+ 2·16^-2.

Системы счисления, применяемые в компьютере

Представление информации может осуществляться с помощью языков. Каждый язык имеет свой алфавит, т. е. набор используемых символов.Любую систему счисления можно рассматривать как язык для записи чисел, а ее цифры – как алфавит этого языка.

Двоичная система счисления и двоичное кодирование информации

В информатике и вычислительной технике используется двоичный алфавит, имеющий два знака (две цифры): 0 и 1. Базовая единица компьютерных данных (наименьшая и основная) – бит. Слово «бит» является сокращением английского выражения «binary digit», т. е. «двоичная цифра».

Двоичные цифры, или биты, имеют очевидные числовые значения: ноль и единица. Кроме того, биты 0 и 1 могут обозначать «выключено» и «включено», «ложь» и «истина», «нет» и «да». Бит – это наименьшая единица измерения количества информации. Чаще используют более крупную единицу – байт, один байт равен восьми битам.

Каждая цифра двоичного машинного кода несет информацию в один бит. С помощью одной двоичной цифры можно закодировать одну из двух возможных альтернатив. Для кодирования трех альтернатив надо уже не менее двух битов. Например, для кодирования трех сигналов светофора (зеленого, желтого и красного) можно выбрать коды 00, 01 и 10. Еще один вариант двухбитового кода (11) в этом случае не используется.

Для кодирования от пяти до восьми состояний, объектов, альтернатив, сообщений, событий требуется уже трехбитовый код, который имеет следующие наборы битов: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111, которые называют машинными словами.

С помощью машинных слов из n битов можно закодировать 2ⁿ альтернатив.

В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр, следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1. Например, двоичное число A₂= 110, 101₂в развернутой записи имеет вид:

А₂ = 1·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ + 1·2^–¹ + 0·2^–² + 1·2^–³.

В общем случае запись двоичного числа, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа,

A₂= a_n_–₁a_n_–₂…a₀, a_–₁a_–₂…a_–_m (5)

в развернутой записи имеет вид:

A₂= a_n_–₁·2ⁿ^–¹+ a_n_–₂·2ⁿ^–²+…+ a₀·2⁰+ a_–₁·2^–¹+ a_–₂·2^–²+…+ a_–_m·2^–^m. (6)

Двоичная арифметика

Правила выполнения арифметических операций для позиционных систем счисления с любым основанием р одинаковы и задаются таблицами сложения и умножения одноразрядных чисел.

Таблица двоичного сложения имеет вид:

0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 10.

Ранее говорилось, что в любой системе счисления основание системы счисления записывается как 10. К этому же результату можно прийти иначе. Например, для двоичной системы счисления при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной основанию системы счисления или больше его, для двоичной системы счисления – больше двух или равной двум. Для примера сложим в столбик двоичные числа 1001, 01₂ и 11, 11₂:

Вычитание можно выполнять по таблицам сложения. При вычитании из меньшей цифры большей производится заем из старшего разряда, при этом следует учесть, что в двоичной системе счисления одна единица старшего разряда равна двум единицам младшего разряда. Для примера вычтем двоичные числа 1001, 01₂ и 11, 11₂:

Если вычитаемое больше уменьшаемого, то необходимо поменять их местами, а разность записать со знаком минус. Например, разность чисел 11, 11₂и 1001, 01₂ равна –101, 10₂.

Таблица двоичного умножения имеет вид:

0 · 0 = 0; 0 · 1 = 0; 1 · 0 = 0; 1 × 1 = 1.

Умножение многоразрядных двоичных чисел производится столбиком, т. е. путем образования частичных произведений и последующего их суммирования. При умножении, как обычно, не следует обращать внимание на запятые. Затем в полученном результате справа отделить запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно. Для примера умножим двоичные числа 11, 01₂ и 1, 01₂:

Следует отметить, что умножение любого целого двоичного числа на 10₂ (т. е. на 2) эквивалентно добавлению нуля справа, а дробного – переносу запятой вправо на один разряд. Например, 1101 · 10 = 11010; 11, 01 · 10 = 110, 1.

Деление многоразрядных чисел производится уголком, аналогично делению десятичных чисел. Например, разделим натуральное число 1001₂на натуральное число 11₂:

_ 1001₂| 11₂

11 11₂

_ 11

Деление двоичной дроби на натуральное число выполняется так же, как деление натурального числа на натуральное, а запятую в частное ставят после того, как закончено деление целой части. Например, разделим дробное число 110, 1₂на натуральное число 11₂:

_ 100, 1₂| 11₂

11 1, 1₂

_ 11

Перед делением двоичной дроби на двоичную дробь необходимо запятую в делимом и делителе перенести вправо на столько разрядов (цифр), сколько их имеется после запятой в делителе – от этого частное не изменится. Иными словами, нужно умножить делимое и делитель на такую степень числа 2 (на такое число 10...0₂), чтобы делитель стал натуральным числом. Например, разделим дробное число 10, 01₂на дробное число 1, 1₂. После умножения делимого и делителя на 10₂получим предыдущий пример.

Следует отметить, что деление любого двоичного числа на 10₂ (т. е. на 2) эквивалентно переносу запятой влево на один разряд. Например, 1101₂: 10₂ = = 110, 1₂; 11, 01₂: 10₂ = 1, 101₂.

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒