Динамические модели для объектов управления, представленных в виде передаточных матриц

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

Для многомерных систем вместо передаточных функций используются передаточные матрицы, когда вектору входа размерности , соответствует вектор выхода размерности . При этом уравнение в изображениях при нулевых начальных условиях имеет вид:

, (1)

где , , ,

– передаточные функции от -го входа до -го выхода.

Рассмотрим систему в пространстве состояний:

для которой применим преобразование Лапласа с учетом начальных условий, полагая , .

Тогда получим:

или

следовательно,

Теперь, если взять обратное преобразование Лапласа

то получим выражение оригинала вектора :

где по определению решения дифференциального уравнения с помощью матричной экспоненты найдем:

. (2)

Формула (2) устанавливает способ вычисления матричной экспоненты в аналитическом виде. Для этого надо записать

, (3)

где , и найти корни характеристического уравнения . Затем с помощью теоремы разложения упростить элементы матрицы изображений (3) и потом определить (2).

При нулевых начальных условиях найдем изображение вектора выхода:

или

где

С помощью обозначения можно записать систему уравнений

, ,

которой соответствует система дифференциальных уравнений:

, ,

где – символ дифференцирования.

Пример 1.

Учитывая, что , , получим:

Приведение полиноминального матричного уравнения к форме Коши

Пусть задано уравнение:

(1)

Предположим , тогда

где , и, следовательно,

т.е. характеристическим уравнением системы является уравнение:

Пусть в уравнении (1) матричные полиномы имеют вид:

где ( ) – – матрицы, ( ) – – матрицы.

Положим , тогда получим уравнение:

Необходимо перейти к форме:

(2)

Используем схему Горнера представления полинома:

Введем вспомогательные переменные:

Отсюда найдем:

Учитывая, что , получим:

Введем расширенный вектор размерностью . Тогда с учетом обозначений

, , ,

, .

можно записать в виде (2).

Пример 1.

Пусть задана исходная система

1) По схеме Горнера получим модель в пространстве состояний:

2) С помощью пакета MatLab получим:

или

Можно переписать в виде

Таким образом, получили различные системы, которые имеют одну передаточную функцию, но имеют разные свойства:

1) , - неуправляема

, - наблюдаема

2) , - управляема

, - ненаблюдаема

В действительности правильной является модель 1).

Модель следящей нестационарной системы

Уравнения динамики нестационарной системы имеют вид:

(1)

где – вектор командных сигналов, – вектор возмущений.

Утверждение. Система (1) с помощью аффинного преобразования

где – псевдообратная матрица, система (1) приводится к виду:

(2)

где .

Здесь приняты обозначения: ,

, ,

P – n× n – матрица перестановок такая, что .

Доказательство: Учитывая, что , после подстановки в уравнение (2) получим:

или

Соответственно для выхода найдем:

Что требовалось доказать.

В уравнении (2) введем обозначение приведенного возмущения:

где матрица может быть задана произвольно, например, , , а вектор – приведенное возмущение.

Тогда систему (2) можно переписать в виде:

Аналогичную модель можно получить для дискретной системы заменяя , где - дискретное время.

Модели внешних воздействий

Рассмотрим управляемую систему:

где – возмущение, – помеха измерений.

Внешние воздействия можно разделить на регулярные и нерегулярные и случайные.

Регулярные воздействия – это такие воздействия, которые можно представить с помощью решения дифференциальных уравнений при заранее неизвестных начальных условиях.

Нерегулярные внешние воздействия – имеют ограниченную скорость изменения и их можно записать с помощью неравенств, удовлетворяющих некоторым ограничениям.

Случайные воздействия – могут иметь разрывы и их нельзя представить в виде модели в времени.

Рассмотрим регулярные и нерегулярные воздействия. При этом произвольное воздействие будем представлять в виде суммы регулярного и нерегулярного воздействия: .