Определение установившегося движения на регулярное воздействие

Рассмотрим систему:

,

где - регулярное воздействие,

- обратная связь.

Тогда замкнутая система имеет вид:

.

Однородная система устойчивая, т.е. при .

Случай стационарной системы

при ,

Надо найти:

Рассмотрим случай, когда корни характеристических уравнений:

- различные

- различные

Тогда

,

где ,

- собственная матрица.

Тогда получается формула

Тогда

при

Такое будет в случае:

Достаточное условие сходимости:

Подставим в исходное уравнение

,

получим

- уравнение Сильвестра (похоже на уравнение Ляпунова если , и ).

Пример 1. Определить установившееся движение с помощью уравнения Сильвестра.

- уравнение в MatLab

, ,

Случай нестационарных систем

 

(1)

(2)

Будем полагать

(3)

Подставим (3) в (1)

Для получим уравнение:

,

где , , .

Математическое описание неопределенных (нерегулярных) внешних воздействий

 

Рассмотрим систему вида:

Нерегулярное воздействие

Уравнение для эллипсоида

, .

Пример.

или можно переписать

Для положительной определенности условие Стодола является необходимым и достаточным условием позитивной системы.

Помножим справа и слева соответственно на и

Получим

(1)

а) (2)

б)

а) и б) являются геометрическими ограничениями для ограниченных хаотических w(t).

 

Если Q > 0, то из (2) следует (1). Если Q ≥ 0, то из (2) не обязательно следует (1). Поэтому (2) является общей формулой.

 

Интегральные ограничения:

,

т.е. функция должна затухать. Если вместо взять u:

- ограниченное управление, где - весовая функция и может быть .

Геометрическое ограничение , т.е.

Ограничения бывают и для фазовых координат:

Пример.

- ограничение, при

 

Тема 1.2. Построение дискретных моделей нестационарных и нелинейных многомерных САУ

Рассмотрим однородную систему дифференциальных уравнений:

, , (1)

Пример 1.

Данному уравнению (1) соответствует n частных решений.

,

Матрица Х(t) должна быть такой, что для всех .

Пример 2.

, , ,

, .

Тогда решение уравнения (1) можно записать в виде , где -n-постоянный вектор, которое подставим в уравнение (1), из которого получим для любого вектора с уравнение:

,

или

При ,

Тогда , где фундаментальная матрица, которая определяется с точностью до постоянной матрицы или может быть взята в виде где - матрица .

Действительно, умножим на матрицу справа:

,

обозначим , тогда получим . При этом решение

.

Обозначим - матрица Коши или переходная матрица.

Тогда

Матрицант для переходной матрицы

Рассмотрим систему:

, , (1)

из которой найдем интегрированием:

,

,

. (2)

Тогда также справедливо выражение:

,

которое подставим в выражение (2):

Получим:

Отсюда следует формула:

Данная форма записи называется матрицант.

Рассмотрим стационарную матрицу . Тогда найдем:

Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим неоднородную систему

Решение будем искать в виде:

,

где - вектор множитель Лагранжа.

Так как

В частном случае

Свойства переходной матрицы :

1)

При

Отсюда следует

2) Подставим вместо

3)

Если вместо

4) Случай Лаппа-Данилевского

Пусть

Тогда

Доказательство:

Тогда

Следовательно

Для стационарных систем

Если

Найдем другое решение

Проинтегрируем

где

Для частного случая

Нелинейные модели динамических систем

Пусть исходная система имеет вид

(1)

(2)

Некоторые технические системы, если это возможно, представляются в виде:

Перепишем систему (1) в виде:

Если , то

Нелинейные системы с секторными ограничениями

В случае

Нелинейные системы с возмущением в качестве параметра:

Дискретные модели нелинейных систем

Пусть задано нелинейное уравнение.

(1)

(2)

Необходимо построить решение (1), (2) на ЦВМ.

А) Метод Эйлера

,

где - шаг интегрирования, .

Тогда

 

Пример.

Б) Схема Ракитского

Рассмотрим разностное уравнение

(1)

где .

Если , то получим схему Эйлера.

Покажем, что уравнение (1) дает точное решение для уравнения:

(2)

(3)

Решение уравнения (2) имеет вид:

При получим

Из уравнения (3) получим:

Необходимо выбрать

Рассмотрим однородное уравнение

Найдем производную

Считаем некоторой функцией времени

матрица

(4)

Сравним формулу (4) с формулой (1)

Отсюда следует, что матрицу нужно принять в виде матрицы Якоби. Матрица Якоби берется любой на интервале .

Таким образом, получили разностное уравнение.

Рассмотрим случай линейных стационарных систем.

Схема Ракитского (Системный метод 1-го порядка).

Алгоритм вычисления матриц дискретной модели ( )

– выделение целой части

Покажем, что справедливо равенство:

,

где вычисляется по формуле:

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. A.16.13. Экран режима движения
2. G) определение путей эффективного вложения капитала, оценка степени рационального его использования
3. I этап. Определение стратегических целей компании и выбор структуры управления
4. I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОБЛЕМЫ МЕТОДА
5. III. Определение посевных площадей и валовых сборов продукции
6. IX.14. Магнитное воздействие отдельных мест
7. VII. Определение затрат и исчисление себестоимости продукции растениеводства
8. X. Определение суммы обеспечения при проведении исследования проб или образцов товаров, подробной технической документации или проведения экспертизы
9. АДМИНИСТРАТИВНО-ПРАВОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
10. Анализ движения денежных средств организации
11. Анализ движения собственного и заемного капитала
12. Анализ и оценка движения денежных средств