Случай нерегулярных внешних воздействий

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

Рассмотрим задачу оценки вектора состояния системы и внешнего воздействия для случая нерегулярного воздействия, ограниченного по величине и скорости, для системы представленной в виде:

(1)

где – - вектор состояния; – - вектор управления, – - вектор измеряемых выходных координат; - вектор возмущающих воздействий, зависящий в общем случае от вектора состояния , ограниченный в рассматриваемой области фазового пространства вместе с его производной ; – постоянные матрицы причем матрицы , , полного ранга, наблюдаемая пара.

Ставится задача построения наблюдающего устройства для определения оценки векторов состояния и возмущения .

Найдем выражение для возмущения из уравнения (1.200):

, (2)

где . Выражение (2) в отличие от явной модели внешних возмущений в виде однородных дифференциальных уравнений можно считать неявной моделью возмущения.

Рассмотрим два подхода к использованию неявной модели возмущения.

1) Введем приближенную оценку возмущения с помощью выражения

, (3)

где – малый параметр, – оценка вектора состояния, формируемая наблюдающим устройством вида:

, (4)

где – матрица коэффициентов, подлежащая определению.

После подстановки правой части уравнения (4) в выражение (3) получим выражение

с учетом которого уравнение (10) примет вид

, , (5)

где .

При этом оценку вектора возмущения будем проводить по формуле

. (6)

Очевидно, что при произвольном возмущении для справедливости оценки (6) необходимо, чтобы . При этом должно выполняться условие .

С учетом выражения (6) уравнение (5) можно переписать в виде

. (7)

Вычитая данное уравнение из уравнения (1) получим уравнение в отклонениях :

, (8)

или с учетом выражения (12)

. (9)

Из уравнений (8), (9) следует, что для работоспособности наблюдающего устройства должно выполняться условие асимптотической устойчивости для свободных движений систем с матрицами и . Тогда с учетом ограничения возмущения будет ограничено решение уравнения (9) и, следовательно, уравнения (8), что возможно при ограниченном векторе . Тем самым при выполнении указанных условий за счет выбора матрицы наблюдающее устройство позволяет оценивать вектор внешних возмущений .

2) Рассмотрим второй подход использования модели возмущения (2) в наблюдающем устройстве, когда в качестве приближенной оценки используется решение уравнения

, (10)

где – малый параметр, – оценка вектора состояния наблюдающего устройства:

. (11)

С учетом уравнения (11) уравнение (10) можно переписать в виде

. (12)

Вводя расширенный вектор , запишем уравнение наблюдающего устройства:

, (13)

где приняты обозначения: ,

, , , .

Тогда уравнение в отклонениях , где будет иметь вид

. (14)

где , .

Из уравнения (14) следует, что для работоспособности наблюдающего устройства должно выполняться условие асимптотической устойчивости для свободных движений системы с матрицей . Тогда с учетом ограничения скорости возмущения будут ограничено решение .

Для определения матрицы коэффициентов можно воспользоваться различными методами.

Отметим, что особенностью наблюдающих устройств (5) и (13) является наличие в данных уравнениях матрицы и , которые в зависимости от значения параметра влияют на точность оценивания внешнего возмущения.

Пример. 1. Рассмотрим систему управления движением центра масс подвижного объекта. Уравнения динамики системы имеют вид:

, , (15)

где – координата центра масс, – отклонение управляющего органа, , – постоянные параметры. Полагаем, что измерению доступны сигналы , .

Вводя вектор состояния , приведенные возмущения , , систему (15) представим в виде (1), где , , ,

, , , .

За исходные данные примем следующие значения: , , , . В качестве наблюдающего устройства используем уравнение (13). Учитывая, что исходная нелинейная система (15) представлена в виде линейной системы за счет использования приведенного возмущения , для определения матрицы коэффициентов можно воспользоваться методом модального управления. Так, например, по заданным корням , , , , характеристического уравнения найдем матрицу

которой при соответствует матрица и корни характеристического уравнения , , .

Закон управления примем в виде линейной обратной связи по оценке вектора состояния: . Полагая корни характеристического уравнения равными , получим .

Результаты моделирования замкнутой системы для заданных внешних возмущений , при ненулевых координатах начальных условий , представлены на рис. 1- 4.

На рис. 1 представлены графики переходных процессов для наихудших оценок по координате , обозначенной пунктиром, и сплошной линией координата при использовании наблюдающего устройства (13). Для сравнения на рис. 2 представлены те же процессы для замкнутой системы с наблюдающим устройством, построенным для системы (1) по заданным корням , , характеристического уравнения с матрицей коэффициентов

при том же законе управления. На рис. 3 и рис. 4 представлены процессы для приведенных возмущений , и , соответственно.

Рис.1 Рис. 2

Рис. 3 Рис. 4

Таким образом, использование наблюдающего устройства (13) позволяет существенно повысить точность оценки вектора состояния .

Рассмотренные способы построения наблюдающих устройств (5) и (13) могут быть использованы для синтеза законов управления, подавляющих внешние возмущения.

Данная методика синтеза наблюдающих устройств может быть использована также для нестационарных систем при наличии помех измерений с использованием матричных систем сравнения.

⇐ Предыдущая 1 2 3 45