Тема 1. Обратная матрица для матриц

Тема 1. Обратная матрица для матриц

Произвольного размера и ее применения

Задания

1. Для данной матрицы определить «правую» обратную матрицу равенством: , где – единичная матрица размера .

2. Изучить вопрос существования «правой» обратной матрицы, выяснить структуру обратной матрицы в зависимости от чисел , , .

3. Рассмотреть применение «правой» обратной матрицы к решению систем линейных уравнений. При выполнении задания обратить внимание на сходства и принципиальные отличия данного случая от случая квадратной невырожденной матрицы.

4. Решить методом «правой» обратной матрицы систему линейных уравнений:

5. Привести 4-5 своих примеров.

Тема 2. Решение систем линейных уравнений

над полем вычетов по модулю

Задания

1. Изучить понятие вычетов по модулю ( – простое).

2. Определить понятие системы линейных уравнений над полем .

3. Разработать методы решения систем линейных уравнений над полем : правило Крамера, метод обратной матрицы, метод Гаусса.

4. Вывести формулу для числа решений системы в зависимости от числа уравнений системы , числа неизвестных и ранга системы .

5. Все исследования иллюстрировать примерами. При выполнении задания обратить внимание на сходство и принципиальные отличия рассматриваемого случая от случая решения систем над полем действительных чисел. Решить систему

Над полем действительных чисел и над полем .

Тема 3. Геометрия 4-мерного куба

Задания

1. Дать определение 4-мерного куба.

2. Найти число вершин, ребер, 3-мерных граней, 2-мерных граней 4-мерного куба.

3. Найти объем 4-мерного куба, объем его 3-мерной грани, площадь его 2-мерной грани, длину ребра.

4. Сделать развертку 3-мерной грани 4-мерного куба.

5. Найти объем 4-мерного гипершара, описанного около 4-мерного куба, и объем гипершара, вписанного в 4-мерный куб.

Тема 4. Ориентированные многоугольники,

Их площади и применение

Задания

1. Познакомиться с понятием ориентированного треугольника, многоугольника.

2. Познакомиться с понятием площади ориентированного треугольника, многоугольника.

3. Вывести формулу для площади ориентированного треугольника, многоугольника с заданными координатами вершин.

4. Решить задачу: определить количество левых поворотов автомобиля, если маршрут его движения – ломаная с известными координатами вершин. Идея решения: если площадь ориентированного треугольника положительна, то его ориентация положительна, и обратно.

5. Составить программу, позволяющую определить количество левых поворотов автомобиля для любого фиксированного маршрута.

Тема 5. Иррациональность действительных чисел,

Представимых рядами

Задания

1. Изучить доказательство иррациональности числа при помощи ряда

2. Доказать, применяя соответствующие разложения, что иррационально любое число вида , .

3. Доказать, применяя соответствующие разложения, что иррационально любое число вида , .

4. Доказать, применяя соответствующие разложения, что иррационально любое число вида , , , …, .

5. Получить следствие, что число трансцендентно.

6. Доказать, что иррационально любое действительное число , имеющее вид

где – любая последовательность рациональных чисел, такая, что

, .

Тема 8. Обобщенная формула трапеций

Задания

1. Доказать обобщенную формулу трапеций

где , а точки деления отрезка [a; b] выбраны так, что

2. С помощью обобщенной формулы трапеций найти приближенное значение интеграла

положив , и сравнить полученное приближение с точным значением 1.

Тема 9. Признаки сходимости двойных рядов

Задания

1. Изучить основные определения и понятия, связанные с двойными рядами [5].

2. Доказать следующий признак сходимости знакоположительного двойного ряда. Пусть для некоторых действительных положительных чисел и существует предел

Тогда при , ряд сходится; если , , ряд расходится.

3. Исследовать на сходимость следующие ряды:

, , .

Тема 10. Биноминальные разложения

Для функций двух переменных

Задания

1. Изучить биноминальный ряд и связанные с ним разложения [5].

2. Вывести следующие разложения в двойной ряд Тейлора для функций двух переменных:

;

, ;

, .

Тема 11. Обобщенная производная

Функции двух переменных

Теоретические сведения

Определим понятие -обобщенной производной для функции двух переменных.

Пусть функция определена в некоторой области и – внутренняя точка этой области. -обобщенной производной функции в точке назовем предел

Задания

1. Доказать, что -обобщенная производная выражается через частные производные при помощи формулы

2. Найти -обобщенные производные для следующих функций:

, , .

Нескольких переменных

Теоретические сведения

Элементарные функции нескольких переменных будем определять как аналоги элементарных функций одной переменной с помощью соответствующих дифференциальных уравнений. При этом аналогом функции одной переменной будет служить целое семейство функций нескольких переменных. Для записи дифференциальных уравнений будем использовать обозначение . Кроме того, при записи функций нескольких переменных обозначает -мерный вектор: .

Степенная функция

Одна переменная: Несколько переменных:

обозначение , обозначение ,

дифференциальное уравнение дифференциальное уравнение

. .

Показательная функция

Одна переменная: Несколько переменных:

обозначение , обозначение ,

дифференциальное уравнение дифференциальное уравнение

. .

Логарифмическая функция

Одна переменная: Несколько переменных:

обозначение , обозначение ,

дифференциальное уравнение дифференциальное уравнение

. .

Тригонометрическая функция

Одна переменная: Несколько переменных:

обозначение , , обозначение , ,

определение , определение ,

Функции арктангенс

Одна переменная: Несколько переменных:

обозначение , обозначение ,

дифференциальное уравнение дифференциальное уравнение

. .

Задания

1. Доказать следующие формулы, связывающие основные элементарные функции нескольких переменных:

, ,

, .

2. Доказать основные формулы для элементарных функций нескольких переменных:

Тема 14. Правило Лопиталя

Пример 1.

Пример 2.

Применение правила Лопиталя не привело к ответу. Однако из вычислений следует, что если предел существует, то он равен 0.

Пример 3.

При этом принято во внимание, что

Отсюда следует, что

Для функций двух переменных

Пусть область имеет следующий вид:

Пусть имеют координаты:

, ; , .

Рассмотрим те из точек , которые принадлежат области .

Положим .

Задания

1. Пусть , , , – точки, принадлежащие . Доказать для функций двух переменных формулу трапеций

где – сумма по трем угловым точкам границы области ; – сумма по оставшимся точкам границы области ; – сумма по внутренним точкам области .

2. По формуле трапеций при найти приближенное значение интеграла

где , , и сравнить его с точным значением .

Тема 17. Системы уравнений

С разделяющими переменными

Задания

1. Разработать метод решения систем уравнений с разделяющимися переменными следующего специального вида:

для случая, когда удовлетворяются условия

, .

Здесь

2. Решить систему уравнений:

3. Составить и решить 4-5 систем указанного вида.

Тема 18. Уравнение Риккати

Задания

1. Изучить теорию уравнения Риккати [7] .

2. Доказать, что общее решение уравнения Риккати имеет вид

где , – два линейно независимых решения дифференциального уравнения второго порядка.

3. Рассмотреть в качестве примера уравнение

4. В связи с решением уравнения из предыдущего пункта изучить теорию бесселевых функций , [8].

5. Изучить случай уравнения, сводящегося к уравнению Риккати

Выполнив замену переменной , доказать, что в рассматриваемом случае решение уравнения имеет вид

Разрешимые в квадратурах

Задания

1. Доказать, что общее решение дифференциального уравнения , где , задается формулой

где – степенная функция многих переменных (см. тему 12).

2. Доказать, что общий интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, где – функция переменных , удовлетворяющая условию , а – функция одного переменного, имеет вид

3. Пусть – функция переменных и , являющаяся однородной измерения 1, т.е. . Доказать, что общее решение однородного уравнения имеет вид

4. Используя тождество , обосновать метод Даламбера для линейных уравнений .

5. Обосновать метод Даламбера для уравнений Бернулли .

Тема 1. Обратная матрица для матриц

12 3 Следующая ⇒