Тема 7. Обобщенный дифференциал функции

Теоретические сведения

Если приращение функции можно представить в виде

,

где – бесконечно малая при , то функция называется обобщенно дифференцируемой в точке , а выражение называется -обобщенным дифференциалом и обозначается .

Пример 1. Найти приближенное значение , пользуясь таблицами логарифмов.

Пользуясь таблицей -обобщенных производных, находим . Следовательно, имеем приближенную формулу

.

Применяя эту формулу, получаем

.

Применение другой известной приближенной формулы

дает следующий результат: .

Для сравнения приведем точное значение корня с четырьмя знаками после запятой:

Если приращение функции можно представить в виде

,

где при , то функция называется обобщенно дифференцируемой в точке , а выражение называется -обобщенным дифференциалом и обозначается .

Пример 2. Используя -обобщенный дифференциал, найти приближенное значение .

С помощью таблицы -обобщенных производных находим . Следовательно, имеем приближенную формулу

.

Применяя эту формулу, получаем

Если приращение функции можно представить в виде

,

где при , то функция называется обобщенно дифференцируемой в точке , а выражение называется -обобщенным дифференциалом и обозначается .

Пример 3. Используя -обобщенный дифференциал, вычислить приближенно .

С помощью таблицы -обобщенных производных находим

.

Следовательно, имеем приближенную формулу

.

Применяя эту формулу, получаем

.

Отметим, что полученное значение менее точно, чем в предыдущем примере.

Приведенные примеры показывают, что рассмотренные обобщения дифференциала могут быть полезны в приближенных вычислениях.

 

Задания

1. Доказать формулу для вычисления -обобщенного дифференциала

или, учитывая равенство , эквивалентную формулу

.

2. Построить таблицу -обобщенных дифференциалов основных элементарных функций.

3. Доказать, что -обобщенный дифференциал имеет следующий геометрический смысл: -обобщенный дифференциал равен приращению ординаты кривой

.

4. Оценить, насколько целесообразно использование -обобщенного дифференциала в приближенных вычислениях.

5. Доказать формулу для вычисления -обобщенного дифференциала

или, учитывая равенство , эквивалентную формулу

.

6. Построить таблицу -обобщенных дифференциалов основных элементарных функций.

7. Доказать, что -обобщенный дифференциал имеет следующий геометрический смысл: -обобщенный дифференциал равен приращению ординаты кривой

.

8. Оценить, насколько целесообразно использование -обобщенного дифференциала в приближенных вычислениях.

9. Доказать формулу для вычисления -обобщенного дифференциала

или, учитывая равенство , эквивалентную формулу

.

10. Построить таблицу -обобщенных дифференциалов основных элементарных функций.

11. Доказать, что -обобщенный дифференциал имеет следующий геометрический смысл: -обобщенный дифференциал равен приращению ординаты кривой

.

12. Оценить, насколько целесообразно использование -обобщенного дифференциала в приближенных вычислениях.

 

Тема 8. Обобщенная формула трапеций

Задания

1. Доказать обобщенную формулу трапеций

,

где , а точки деления отрезка [a; b] выбраны так, что

.

2. С помощью обобщенной формулы трапеций найти приближенное значение интеграла

,

положив , и сравнить полученное приближение с точным значением 1.

 

Тема 9. Признаки сходимости двойных рядов

Задания

1. Изучить основные определения и понятия, связанные с двойными рядами [5].

2. Доказать следующий признак сходимости знакоположительного двойного ряда. Пусть для некоторых действительных положительных чисел и существует предел

.

Тогда при , ряд сходится; если , , ряд расходится.

3. Исследовать на сходимость следующие ряды:

, , .

 

 

Тема 10. Биноминальные разложения

Для функций двух переменных

Задания

1. Изучить биноминальный ряд и связанные с ним разложения [5].

2. Вывести следующие разложения в двойной ряд Тейлора для функций двух переменных:

;

;

, ;

, .

 

 

Тема 11. Обобщенная производная

Функции двух переменных

Теоретические сведения

Определим понятие -обобщенной производной для функции двух переменных.

Пусть функция определена в некоторой области и – внутренняя точка этой области. -обобщенной производной функции в точке назовем предел

.

 

Задания

1. Доказать, что -обобщенная производная выражается через частные производные при помощи формулы

.

2. Найти -обобщенные производные для следующих функций:

, , .

 

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. A.19. Противопожарная система
2. A.32.4.5.3. Система УСАВП: тест управления рекуперативным торможением
3. II. Поселение в Испании. Взаимоотношения вестготов и римлян. Королевская власть. Система управления. Церковная политика.
4. II. ТЕМАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ЧАСОВ
5. III. Основные функции и полномочия Управления
6. PR – отношения с общественностью. Цели, задачи, функции, методы
7. V. Письменно переведите текст и выпишите слова юридической тематики.
8. VII. ЛЕКСИКА ДРУГИХ АКТУАЛЬНЫХ ТЕМАТИЧЕСКИХ ГРУПП
9. Абсолютные и относительные ссылки. Стандартные формулы и функции. Логические функции
10. АВАРИИ НА КОММУНАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ЖИЗНЕОБЕСПЕЧЕНИЯ
11. Автоматизированная система мониторинга вычислительной среды и обнаружения сетевых атак.
12. АВТОМАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ОПОВЕЩЕНИЯ И ТУШЕНИЯ ПОЖАРА АСОТП ИГЛА-М.5К-Т И СКТБ