Тема 12. Элементарные функции

Нескольких переменных

Теоретические сведения

Элементарные функции нескольких переменных будем определять как аналоги элементарных функций одной переменной с помощью соответствующих дифференциальных уравнений. При этом аналогом функции одной переменной будет служить целое семейство функций нескольких переменных. Для записи дифференциальных уравнений будем использовать обозначение . Кроме того, при записи функций нескольких переменных обозначает -мерный вектор: .

Степенная функция

Одна переменная: Несколько переменных:

обозначение , обозначение ,

дифференциальное уравнение дифференциальное уравнение

. .

Показательная функция

Одна переменная: Несколько переменных:

обозначение , обозначение ,

дифференциальное уравнение дифференциальное уравнение

. .

Логарифмическая функция

Одна переменная: Несколько переменных:

обозначение , обозначение ,

дифференциальное уравнение дифференциальное уравнение

. .

Тригонометрическая функция

Одна переменная: Несколько переменных:

обозначение , , обозначение , ,

определение , определение ,

Функции арктангенс

Одна переменная: Несколько переменных:

обозначение , обозначение ,

дифференциальное уравнение дифференциальное уравнение

. .

Задания

1. Доказать следующие формулы, связывающие основные элементарные функции нескольких переменных:

, ,

, .

2. Доказать основные формулы для элементарных функций нескольких переменных:

Тема 13. Обобщенные основные теоремы

Дифференциального исчисления

Для функций нескольких переменных

Задания

Доказать аналоги основных теорем дифференциального исчисления.

Теорема Ферма. Пусть функция определена в некоторой области и во внутренней точке этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует конечная -обобщенная производная (см. тему 11), то необходимо .

Теорема Ролля. Пусть функция непрерывна и имеет конечную -обобщенную производную производную в области . Если отрезок, соединяющий точки и , целиком лежит в , расположен на прямой, проходящей через начало координат, и выполнено условие , то существует такая точка на этом отрезке, что .

Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна и имеет конечную -обобщенную производную в области . Тогда , где число определяется условием .

Теорему Коши. Пусть функции и области непрерывны и имеют конечные -обобщенные производные и при . Если отрезок, соединяющий точки и . Если отрезок, соединяющий точки и , целиком лежит в , расположен на прямой, проходящей через начало координат, то существует точка на этом отрезке, что:

Тема 14. Правило Лопиталя

Для функций нескольких переменных

Задания

1. Доказать следующее правило Лопиталя. Пусть функции и имеют -обобщенную производную в окрестности точки и , при . Если существует предел

то существует предел

2. Объяснить, чем вызваны некоторые изменения формулировки в сравнении с классическим правилом Лопиталя.

3. Решить 5-6 примеров на сформулированное правило Лопиталя по образцу приведенных ниже примеров.

Пример 1.

Пример 2.

Применение правила Лопиталя не привело к ответу. Однако из вычислений следует, что если предел существует, то он равен 0.

Пример 3.

При этом принято во внимание, что

Отсюда следует, что

Тема 15. Интерполяционная формула

Лагранжа для функций двух переменных

Теоретические сведения

Пусть функция определена в некоторой замкнутой области и известны ее значения в точках , . Задача интерполирования состоит в том, чтобы вычислить значение в какой-нибудь новой точке . С теорией интерполирования можно познакомиться в [5].