Сигнальные графы. Построение нормированного сигнального графа

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Для построения сигнального графа, узлам которого соответствуют узловые напряжения, разрешают узловое уравнение k-го узла цепи

относительно напряжения этого узла u_k₀:

Рис. 5.3

Ему отвечает фрагмент графа, изображенный на рис. 5.3. Ветви графа имеют передачи – G_km/G_kk. С учетом того, что общие проводимости G_km узлов сами имеют знак “минус”, проводимости ветвей цепи, соединяющих узлы k и m, входят в выражение передач ветвей графа со знаком “плюс”.

Для цепи рис. 5.4, а разрешим уравнение для первого узла относительно u₁₀:

К узлу u₁₀ сигнального графа подходят три ветви из узлов e₀, u₂₀ и u₃₀, непосредственно с ним связанных.

Рис. 5.4

Их передачи равны коэффициентам при соответствующей переменной в записанном уравнении. Так же строят ветви, подходящие к узлам графа u₂₀ и u₃₀. Результат построения приведен на рис. 5.4. б. Собственные проводимости узлов цепи равны:

G₁₁ = G₁ + G₂ + G₃; G₂₂ = G₂ + G₄ + G₅; G₃₃ = G₃ + G₄ + G₆.

Сигнальный граф на основе узловых уравнений можно построить без составления самих уравнений. Выделим узлы графа, отвечающие узловым напряжениям, источникам ЭДС и тока. Узлы графа, соответствующие напряжениям узлов цепи, соединенных общими ветвями, на графе соединяют парами ветвей, передачи которых равны проводимостям общих ветвей, деленным на собственную проводимость узла, к которому направлена ветвь графа. Источники в ветвях, подключенных к данному узлу цепи, учитывают на графе ветвями, направленными к узлу графа от соответствующего истока. Для истока, отвечающего источнику ЭДС и направленного к узлу цепи, передача ветви графа равна проводимости ветви с источником, деленной на собственную проводимость узла. Если источник направлен от узла цепи, то передача ветви графа такая же, но имеет знак “минус”. Передача ветви от узла графа, отвечающего источнику тока, равна величине, обратной собственной проводимости узла. Ее знак определяется направлением источника по правилам формирования правых частей узловых уравнений: для источника, направленного к данному узлу цепи, берем знак “плюс”, при его противоположном направлении — “минус”.

Построение сигнальных графов на основе контурных уравнений можно осуществить аналогично.

Наряду с алгебраическими уравнениями (Кирхгофа, узловыми или контурными) при исследовании цепей применяют эквивалентную им графическую форму изображения связей между переменными (токами и напряжениями) — сигнальный граф цепи, который строят из двух типов элементов — точек, называемых узлами, и соединяющих их линий со стрелками — ветвей графа. Узлам отвечают переменные (токи, напряжения и ЭДС), ветвям — количественные соотношения между ними. Каждой ветви сигнального графа приписывают коэффициент передачи (передачу) — множитель, указывающий величину, на которую умножается переменная, передаваемая по ветви от одного узла к другому в направлении стрелки. Связи между переменными выражены в форме x₂ = t₁₂x₁, где x_{1, 2} — напряжение, ток или ЭДС, а t₁₂ — сопротивление R, проводимость G или безразмерный коэффициент k. Сигнал, отвечающий узлу, к которому подходит несколько стрелок, равен сумме входящих в узел сигналов, умноженных на коэффициенты передачи соответствующих ветвей. Связь между входным и входным напряжениями усилителя u₁ и u₂ показана на рис. 5.1, а.

Рис. 5.1

Связь напряжения u на участке цепи, включающем два сопротивления R₁ и R₂, с токами i₁ и i₂ — на рис. 5.1, б.

Заданным при расчете сигналам (ЭДС и токам независимых источников) соответствуют истоки — узлы графа, не имеющие входящих ветвей.

Совокупность ветвей, проходящих через несколько узлов в направлении стрелок, — это путь графа. Ни один из узлов при этом не проходится дважды. Замкнутый путь называют контуром; контур из одной ветви называется петлей.

Сигнальный граф, изображающий все уравнения цепи, позволяет рассчитать все включенные в него переменные, причем расчет можно выполнить не чисто алгебраическими средствами, а с использованием введенных выше понятий путей и контуров. Однако в основе этих действий лежат те же алгебраические преобразования, которые трактуются как операции над элементами графа.

Сигнальный граф составляют на основе независимой системы соотношений между искомыми сигналами и заданными величинами — либо уравнений Кирхгофа и компонентных уравнений, либо узловых или контурных уравнений. Для построения графа система уравнений должна быть разрешена относительно искомых переменных.

Для схемы рис. 5.2, а, можно записать на основе законов Кирхгофа:

Изобразим на графе пять искомых величин: токи во всех ветвях с сопротивлениями и напряжения u₁ и u₂₃.

Рис. 5.2

Этим переменным отвечает преобразованная система:

Узлы, соответствующие отдельным переменным, можно разместить произвольно на графе, однако лучше располагать ближе друг к другу те, что связаны уравнениями системы. Ветви графа отвечают отдельным слагаемым правых частей уравнений (рис. 5.2, б). Согласно первому уравнению, в узел i₁ входят три ветви. Передачи ветвей, соединяющих узлы i₂ и i₃ с узлом i₁, равны единице, ветвь J ® i₁имеет передачу (-1). Аналогично на графе изображают и остальные уравнения системы.

Поскольку граф с более простой структурой проще рассчитывать, то надо стремиться к тому, чтобы возможно большая часть переменных, не представляющих непосредственного интереса при расчете, была исключена на стадии формирования графа. Для этого, в частности, можно выбрать такую систему переменных, чтобы каждый двухполюсный элемент цепи описывался только одной переменной — током или напряжением. Подобный сигнальный граф называют компактным.

⇐ Предыдущая 12