Комплексная передаточная функция. Частотные характеристики. АЧХ, ФЧХ. Годограф. Частотные характеристики простейших двухполюсников.

Комплексная передаточная функция

Передаточная функция - один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи, цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

Передаточная комплексная функция (коэффициент передачи, системная функция) цепи определяет реакцию цепи на внешнее воздействие и равна отношению выходной величины (напряжение, ток) к входной величине (напряжение, ток), выраженных в комплексной форме.

Различают четыре вида передаточных функций:

1) передаточная функция по напряжению:

2) передаточная функция по току:

3) передаточное сопротивление:

4) передаточная проводимость:

В общем виде передаточная функция:

представляется в виде АЧХ - К(ω ) и ФЧХ - φ (ω )

Частотные характеристики

Если на вход объекта подавать периодический сигнал заданной амплитуды и частоты, то на выходе будет также периодический сигнал той же частоты, но в общем случае другой амплитуды со сдвигом по фазе. Взаимосвязь между параметрами периодических сигналов на входе и выходе объекта определяют частотные характеристики. Чаще всего их используют для описания одноканальных систем:

, n > = m.

(2.40)

Формально обобщенная частотная характеристика может быть получена из передаточной функциизаменой p на

(2.41)

и представлена в виде

(2.42)

Составляющие обобщенной частотной характеристики имеют самостоятельное значение и следующие названия:

· вещественная частотная характеристика (ВЧХ),

· мнимая частотная характеристика (МЧХ),

· амплитудная частотная характеристика (АЧХ),

· фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

Частотная характеристика по выражению (2.42) может быть построена на комплексной плоскости. В этом случае конец вектора, соответствующий комплексному числу , при изменении от 0 до прочерчивает на комплексной плоскости кривую, которая называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Пример амплитудно-фазовой характеристики системы

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) - графическое отображение зависимости сдвига по фазе между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты,

Для определения числитель и знаменатель W(j ) разлагаются на множители не выше второго порядка

тогда , где знак " +" относится к i=1, 2,..., l (числителю передаточной фунции), знак " -" -к i=l+1,..., L(знаменателя передаточной функции).

Каждое из слагаемых определяется выражением

где .

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) - функция, показывающая зависимость модуля некоторой комплекснозначной функции от частоты. Также может рассматриваться АЧХ других комплекснозначных функций частоты, например, спектральной плотности мощности сигнала.

Годограф - кривая, представляющая собой геометрическое место концов переменного (изменяющегося со временем) вектора, значения которого в разные моменты времени отложены от общего начала

Годограф даёт наглядное геометрическое представление о том, как изменяется со временем физическая величина, изображаемая переменным вектором, и о скорости этого изменения, имеющей направление касательной к годографу.

Например, скорость точки является величиной, изображаемой переменным вектором v. Отложив значения, которые имеет вектор v в разные моменты времени, от начала О, получим годограф скорости; при этом величина, характеризующая быстроту изменения скорости в точке М, то есть ускорение (в этой точке), имеет для любого момента времени направление касательной к годографу скорости в соответствующей его точке М’.

Частотные характеристики двухполюсников

Пассивные двухполюсники и четырехполюсники включают набор резистивных и реактивных (индуктивных и емкостных) элементов, в которых протекают электрические токи под действием какого-либо одного внешнего источника энергии. Для описания физических явлений в таких цепях при воздействии на входных зажимах источника гармонических колебаний с фиксированной частотой =const используют метод комплексных амплитуд, который в свою очередь основывается на введении понятий комплексных сопротивлений или проводимостей отдельных элементов цепи -r, , , а также комплексных амплитуд токов и напряжений – , .

В общем случае у источника гармонических колебаний может изменяться не только амплитуда и начальная фаза, но и угловая частота - . Тогда комплексная характеристика источника (входного воздействия) записывается в виде функции мнимой комплексной переменной - ( ). Эту характеристику обычно записывают в показательной (полярной) форме и называют комплексной спектральной плотностью. Модуль этой характеристики называют спектральной плотностью, а аргумент - фазовой плотностью или фазочастотной характеристикой. Так для напряжения имеем:

где - спектральная плотность напряжения, - фазовая плотность напряжения.

Аналогично гармонический ток с переменной угловой частотой ω характеризуется своей комплексной спектральной плотностью:

В зависимости от вида входного воздействия (электрического сигнала) спектральные плотности могут иметь непрерывный или дискретный характер. В дальнейшем для краткости будем опускать написание зависимости от угловой частоты, полагая , , , .

На рисeyrt изображен двухполюсник, имеющий два входных зажима, к которым подсоединяется источник входного сигнала. Если к цепи присоединяется источник тока J(t), то входной ток i(t) = J(t), т.е. будет независимой функцией времени, а напряжение u(t) на входе определится через свойства цепи как зависимая функция. При гармоническом характере входного сигнала определяют отношение комплексов напряжения и тока.

(*)

Такое отношение называют комплексным входным сопротивлением

двухполюсника:

Из определения (*) следует, что Z(jω ) в свою очередь включает две характеристики: - амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) и - фазочастотную характеристику (ФЧХ) функции входного сопротивления.

Если к цепи присоединяется источник напряжения e(t), то напряжение на двухполюснике u(t) = e(t), т.е. будет независимой функцией времени, a ток i(t) определится через свойства цепи как зависимая функция. При гармоническом характере входного сигнала определяют отношение тока к напряжению, которое называют комплексной входной проводимостью двухполюсника:

где Y(ω ) и φ (ω ) называют соответственно АЧХ и ФЧХ функции входной проводимости.

52.Колебательный контур — осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока (и напряжения).

Последовательный колебательный контур.

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно включенных катушки индуктивности и конденсатора. При воздействии на такую цепь переменного (гармонического) напряжения, через катушку и конденсатор будет протекать переменный ток, величина (амплитуда) которого может быть вычислена согласно закону Ома: I = U/|ХΣ |, где |ХΣ | -модуль суммы реактивных сопротивлений последовательно включенных катушки и конденсатора

Если соединить последовательно электрический конденсатор и катушку индуктивности, то для синусоидального сигнала определенной частоты указанная схема будет демонстрировать нулевое реактивное сопротивление. Этот эффект называется резонансом колебательного контура, сама схема из конденсатора и индуктивности - последовательным колебательным контуром, а частота, на которой проявляется этот эффект - частотой резонанса.

Добротность

Добро́ тность — характеристика колебательной системы, определяющая полосу резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания. Общая формула для добротности любой колебательной системы:

Коэффициент мощности

Коэффицие́ нт мо́ щности — безразмерная физическая величина, характеризующая потребителя переменного электрического тока с точки зрения наличия в нагрузке реактивной составляющей. Коэффициент мощности показывает, насколько сдвигается по фазе переменный ток, протекающий через нагрузку, относительно приложенного к ней напряжения. Численно коэффициент мощности равен косинусу этого фазового сдвига.

Коэффициент передачи по напряжению

Коэффициент передачи (также коэффициент преобразования) — отношение напряжения на выходе той или иной системы, предназначенной для передачи электрических сигналов, к напряжению на входе. В частном случае, когда значения выходного и входного сигнала являются однородными, коэффициент передачи называют коэффициентом усиления. KП = UВЫХ / UВХ. Коэффициент передачи часто выражают в логарифмическом виде, как 20 lg (UВЫХ / UВХ), дБ.

В усилительных устройствах коэффициент передачи больше единицы (больше нуля в логарифмическом масштабе) называют коэффициентом усиления (не путать с коэффициентом усиления антенны).

При рассмотрении пассивных устройств, а также линий передачи, когда выходное напряжение меньше входного, употребляют понятие ослабление сигнала.

Амплитудно-частотные характеристики

График АЧХ для последовательного контура приведён на рис. Из графика видно, что графики АЧХ для C и L пересекаются при резонансной частоте

Фазо-частотные характеристики

Графики ФЧХ выглядят следующим образом

53. Последовательный колебательный контур.

Избирательность и полоса пропускания

Избирательностью называют свойство колебательного контура выделять колебания одной избранной частоты. Различные контуры обладают неодинаковой избирательностью. Дело в том, что если на контур воздействуют два сигнала, частоты которых близки, то он может оказаться не в состоянии разделить эти сигналы. Не следует думать, что колебательный контур увеличивает напряжение или ток только в случае точного совпадения его частоты с собственной частотой колебательного контура. Если частота источника, подключенного к контуру, незначительно отличается от резонансной частоты, то напряжение или ток этого источника все же будут увеличены контуром, хотя и в меньшей степени, чем при резонансе. Поэтому всякий колебательный контур выделяет в действительности не одну частоту, а целую полосу частот. Полоса частот, выделяемых колебательным контуром, называется полосой пропускания колебательного контура. Ширина полосы пропускания измеряется в герцах, килогерцах, мегагерцах. Она зависит от добротности колебательного контура: чем выше добротность, тем уже полоса пропускания. Ширину полосы пропускания можно подсчитать по следующей простой формуле. Понятно, что чем уже полоса пропускания, тем лучше избирательность контура, тем лучше он разделяет сигналы, имеющие близкие частоты, тем меньше воздействуют на него всевозможные помехи.

Расстройка

Практическое использование последовательных колебательных контуров.

54. Параллельный колебательный контур

В различных радиотехнических устройствах наряду с последовательными колебательными контурами часто (даже чаще, чем последовательные) применяют параллельные колебательные контуры На рисунке приведена принципиальная схема параллельного колебательного контура. Здесь параллельно включены два реактивных элемента с разным характером реактивности Как известно, при параллельном включении элементов складывать их сопротивления нельзя - можно лишь складывать проводимости. На рисунке приведены графические зависимости реактивных проводимостей катушки индуктивности BL = 1/ω L, конденсатора ВC = -ω C, а также суммарной проводимости ВΣ, этих двух элементов, являющаяся реактивной проводимостью параллельного колебательного контура. Аналогично, как и для последовательного колебательного контура, имеется некоторая частота, называемая резонансной, на которой реактивные сопротивления (а значит и проводимости) катушки и конденсатора одинаковы. На этой частоте суммарная проводимость параллельного колебательного контура без потерь обращается в нуль. Это значит, что на этой частоте колебательный контур обладает бесконечно большим сопротивлением переменному току.

Если построить зависимость реактивного сопротивления контура от частоты XΣ = 1/BΣ, эта кривая, изображённая на следующем рисунке, в точке ω = ω р будет иметь разрыв второго рода. Сопротивление реального параллельного колебательного контура (т.е с потерями), разумеется, не равно бесконечности - оно тем меньше, чем больше омическое сопротивление потерь в контуре, т.е уменьшается прямо пропорционально уменьшению добротности контура. В целом, физический смысл понятий добротности, характеристического сопротивления и резонансной частоты колебательного контура, а также их расчетные формулы, справедливы как для последовательного, так и для параллельного колебательного контура.

Для параллельного колебательного контура, в котором индуктивность, емкость и сопротивление включены параллельно, добротность вычисляется:

, где R, L и C — сопротивление, индуктивность и ёмкость резонансной цепи, соответственно.

Резонанс токов, условие его возникновения

Резонанс токов. Резонанс токов может возникнуть при параллельном соединении индуктивности и емкости (рис 198 а). В идеальном случае, когда в параллельных ветвях отсутствует активное сопротивление (R1=R2 = 0), условием резонанса токов является равенство реактивных сопротивлений ветвей, содержащих индуктивность и емкость. Так как в рассматриваемом случае активная проводимость G = 0, ток в неразветвленной части

цепи при резонансе I=U(G2+(BL-BC)2)= 0. Значения токов в ветвях I1 и I2 будут равны(рис 198 б), но токи будут сдвинуты по фазе на 180° (ток L в индуктивности отстает по фазе от напряжения U на 90°, а ток в емкости С опережает напряжение U на 90°). Следовательно, такой резонансный контур представляет собой для тока I бесконечно большое сопротивление и электрическая энергия в контур от источника не поступает. В то же время внутри контура протекают токи IL и IС, т. е. имеет место процесс непрерывного обмена энергией внутри контура. Эта энергия переходит из индуктивности в емкость и обратно.

Признаки резонанса токов

В случае, когда частота колебаний генератора совпадает с резонансной частотой контура его индуктивная и емкостная ветви оказывают равное сопротивление переменному току, в следствие чего токи в ветвях контура будут одинаковыми. В этом случае говорят, что в цепи имеет место резонанс токов. Как и в случае последовательного колебательного контура, реактивности катушки и конденсатора компенсируют друг друга, и сопротивление контура протекающему через него току становится чисто активным (резистивным). Величина этого сопротивления, часто называемого в технике эквивалентным, определяется произведением добротности контура на его характеристическое сопротивление Rэкв = Q·ρ. На частотах, отличных от резонансной, сопротивление контура уменьшается и приобретает реактивный характер на более низких частотах - индуктивный (поскольку реактивное сопротивление индуктивности падает при уменьшении частоты), а на более высоких - наоборот, емкостной (т к реактивное сопротивление емкости падает с ростом частоты)

Резонансная частота

Резонансной частотой контура называют такую частоту, на которой сопротивление контура имеет чисто активный (резистивный) характер. Условие резонанса - это равенство величин реактивных сопротивлений катушки индуктивности и ёмкости.

Векторная диаграмма

Построим векторную диаграмму для рассматриваемой цепи (рис. 60, б) при резонансе токов. Отложим в выбранном нами масштабе вектор напряжения U. Ток в индуктивности отстает от напряжения на угол j = 90°. Поэтому вектор тока IL отложим вниз под углом 90° к вектору напряжения U. Так как ток в емкости опережает напряжение на угол j=90°, то вектор тока Iс, равный по условию резонанса токов вектору тока IL, отложим вверх под углом 90° вектору напряжения U.

На векторной диаграмме видно, что ток в индуктивности и том в емкости сдвинуты по фазе на угол j=180 (градусов) и равны друг другу. Отсюда следует, что общий ток при резонансе токов равен нулю, а полное сопротивление цепи бесконечно велико.

В действительности общий ток будет относительно мал, но не равен нулю. Этот ток, который вырабатывает генератор, является активным и покрывает потери энергии в контуре.

55.

· Параллельный колебательный контур. Полное эквивалентное сопротивление контура при резонансе и при расстройках, его активная и реактивная составляющие. Эквивалентная добротность параллельного контура с учётом влияния внутреннего сопротивления генератора.

В параллельном колебательном контуре конденсатор и катушка индуктивности соединены параллельно. Если снабдить такой контур энергией, например, зарядив конденсатор, или вызвав ток в катушке индуктивности, то далее энергия будет перетекать из конденсатора в катушку и обратно. На конденсаторе будет формироваться синусоидальное напряжение. Его частота называется частотой резонанса параллельного колебательного контура. Если бы не было потерь, то колебания продолжались бы бесконечно, но из-за потерь колебания постепенно затухают.

Контур, настроенный в резонанс , имеет максимальное активное сопротивление:

Расстройка контура приводит к уменьшению и изменению характера его реактивности. При , при

Избирательность контура в этом случае равна:

Контуры параллельного типа в зависимости от способа подключения к источнику переменного напряжения делят на контуры первого, второго и третьего видов.

эквивалентное сопротивление контуров параллельного типа при резонансе токов равно:

Подключение нагрузки к контуру увеличивает сопротивление потерь контура, уменьшает и , снижает его избирательность V

И увеличивает полосу пропускания

Для увеличения избирательности применяют колебательные системы, состоящие из двух или более связанных между собой контуров.

Добро́ тность — характеристика колебательной системы, определяющая полосу резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

, где:

· — резонансная частота колебаний

· — энергия, запасённая в колебательной системе

· — рассеиваемая мощность.

Параллельный колебательный контур. Амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики параллельного контура. Полоса пропускания контура и её зависимость от внутреннего сопротивления генератора. Избирательность параллельного контура при различных внутренних сопротивлениях генератора.

АЧХ

ФЧХ

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8910 Следующая ⇒