Сущность символического метода. Три формы записи комплексного числа.

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 10Следующая ⇒

Смысл символического метода расчета в том, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений тока, к уравнениям, составленным относительно комплексов тока и ЭДС.

Данный метод называется символическим, потому что токи и напряжения замещают на их комплексные изображения, то есть комплекс Rm - это изобржение падения напряжения iR

Принцип в том, что в уравнении, составленном по закону Кирхгофа производится замена

· i → Im (статическое i на амплитудное)

· R → R (мгновенное R на R переменного тока)

· Ul = L(di/dt) → Im*jwL (мгновенное значение напряжения на индуктивной катушке на комплекс, опережающий ток на 90º )

· Uc = 1/c * интеграл(i*dt) → Im*(-j/wc) (мгновенное напряжение на конденсаторе на комплекс, отстающий от тока на 90º )

· e → E (мгновенное значение эдс на комлекс ЭДС)

Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме.

Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин.

1. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

2. Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

или применительно к схемам замещения с источниками ЭДС

Комплексные числа могут быть записаны в трех формах: алгебраической, показательной и тригонометрической.

В алгебраической форме комплексное число представляют в виде алгебраической суммы двух составляющих — вещественной и мнимой. Вещественные составляющие часто обозначают той же буквой, которой обозначено комплексное число, но с одним штрихом, а мнимые - с двумя штрихами. Например, вектор А в алгебраической форме записывают А = А' + jA".

Показательная форма комплексного числа

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой

которая носит название формулы Эйлера. Обосновать ее можно с помощью теории степенных рядов. Эта теория будет изложена в курсе математического анализа.

Пусть комплексное число в тригонометрической форме имеет вид

На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь .

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть . Положим , . Очевидно, что

Тогда . Это выражение запишем в виде:

Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа. В отличие от нее запись числа в виде называют иногда алгебраической формой комплексного числа.

Отметим, что тригонометрическая форма - это указание числа по двум его характеристикам: модулю и аргументу.

Билет 48

Выражение тока, напряжения, сопротивления, проводимости, ЭДС электромагнитной индукции, мощности комплексными числами. Законы Ома и Кирхгофа в символическом виде.

Токи, напряжения в комплексной форме записи.

Синусоидальные величины можно изображать комплексными числами. комплексные значения тока, напряжения и ЭДС принято обозначать прописными буквами с точкой: I, U, Е, а их модули, соответствующие действующим значениям, обозначают теми же буквами, но без точек над ними: I, U, Е. Вернемся к цепям с последовательным соединением активного сопротивления и индуктивности, активного сопротивления и емкости. Векторная диаграмма первой цепи, построенная на комплексной плоскости, дана на рис. 14.3, а, а второй — на рис. 14.4, а. В обоих случаях вектор тока I направлен по оси действительных чисел вправо от начала координат. Поэтому комплекс тока I = Iе^j0° = I, где I — модуль комплекса тока, а 0° — его начальная фаза.

Комплекс напряжения на зажимах цепи с последовательным соединением активного сопротивления и индуктивности U=U_a +jU_L=Ue^jф, где U_a и jU_L — вещественная и мнимая части; U и ф - модуль и начальная фаза комплекса напряжения. Таким образом, комплексное изображение синусоидальной величины определяет ее действующее (амплитудное) значение и начальную фазу. Пусть ток в катушке I = 5 А, активное падение напряжения U_a = 60 В, а индуктивное U_L = 80 В. Тогда комплекс тока I=I= 5 А, а комплекс напряжения U= U_a + jU_L = 60 + j80. Для перехода от алгебраической формы к показательной найдем модуль комплекса напряжения: U = = 100 В и. tgф = Е= U_L/U_a = 80/60= 1, 33. Значит, ф = 53°08'. Поэтому комплекс напряжения U = 60 + j80= 100е^j53°08' В.

Комплекс общего напряжения цепи с последовательным соединением активного сопротивления и емкости (рис. 14.4, а) U = U_a — jU_C=Ue^-jф. Таким образом, в общем выражении комплекса напряжения перед мнимой частью ставятся знаки плюс, если она выражает индуктивное напряжение, и минус, если — емкостное. При последовательном соединении активного сопротивления, индуктивности и емкости комплекс общего напряжения цепи U = U_a+ jU_L — jU_C = Ua + j(U_l — U_c) = Ue^jф. Модуль полученного комплекса U = , а его аргумент ф= arctg . При этом ф> 0, если U_L> U_C, и ф< 0, если U_L< U_C. В ряде случаев нулевую фазу приписывают не току, а напряжению. Тогда вектор напряжения и будет направлен по оси действительных чисел комплексной плоскости, а остальные векторы ориентируются относительно этого исходного вектора. При этом условии комплекс напряжения U = Ue^j0° = U. Комплекс тока для цепей с последовательным соединением I= Iе^-jф.

Сопротивления и проводимости в комплексной форме.

Сопротивления и проводимости можно выразить комплексными числами. Комплексное сопротивление цепи обозначается Z, a комплексная проводимость— Y. При обозначении комплексных величин принято ставить точки только над теми комплексами, которые изображают синусоидально изменяющиеся величины. Поэтому для комплексов полного сопротивления и проводимости вместо точки над буквой ставят черту снизу. Модуль комплексного сопротивления цепи обозначают г, а комплексной проводимости — у. Рассмотрим треугольники сопротивлений и проводимостей цепей с последовательным соединением активного сопротивления и индуктивности, расположенные на комплексной плоскости. Активные сопротивления и проводимости изображены положительными отрезками на оси действительных чисел, а реактивные — положительными или отрицательными на оси мнимых чисел. С учетом этого составим комплексы полных сопротивлений и проводимостей. Для цепей с последовательным соединением Z = r+jx_L = ze^jф, a Y =g — jb_L = ye^-jф, а для цепей с г и С Z= r — jx_c = ze^-jф, a Y = g + +jb_С = уе^jф. Модули и аргументы этих величин определяют по следующим формулам. Для цепей с последовательным соединением z = ; у = и ф = arctg , а для цепей с г и С z = ; y = и ф= arctg . При последовательном соединении элементов с активным, индуктивным x_Lи емкостным х_С сопротивлениями Z = r+jx_L — jx_C = r+j(x_L — x_c) = zе^jф. Модуль данного комплекса сопротивления z = , а его аргумент ф = arctg .

Выражение мощности в комплексной форме

Полная мощность цепи переменного тока равна произведению действующих значений напряжения и тока:

S = UI.

Казалось бы, выразив напряжение и ток в комплексной форме, можно получить комплексное значение полной мощности. Однако перемножение комплексных значений напряжения и тока не дает реальных полной, активной и реактивной мощностей цепи.

Комплексное значение полной мощности, отражающее реальные мощности в цепи, получится, если умножить комплексное значение напряжения на сопряженное комплексное значение тока:

S = UI*.

Сопряженное комплексное значение тока I* отличается от I знаком перед мнимой частью. Если комплексное значение тока I = еjψ, то сопряженное ему комплексное значение I* = Iе-jψ .

Покажем, что комплексное значение мощности отражает реальные мощности в цепи.

Допустим, что комплексные значения напряжения и тока какой-то цепи имеют выражения

U = Uejψ 1; I = Iejψ 2..

Комплексное значение полной мощности

S = UI* = Uejψ 1Ie-jψ 2 = UIej(ψ 1 - ψ 2) = Sejφ.

Выразив комплексное значение полной мощности в тригонометрической, а затем в алгебраической форме, получим

S = S cos φ + jS sin φ = Р + jQ,

где S cos φ = P — активная мощность цепи; S sin φ = Q — реактивная мощность цепи;
S = √ р2 +Q2 — полная мощность.

Следует отметить, что при активно-индуктивном характере нагрузки (ψ 1 > ψ 2) знак перед jQ положительный, при активно-емкостном (ψ 2 > ψ 1) — отрицательный.

Законы Омы и Кирхгофа в комплексной форме

Закон Ома в комплексной форме I=U/Z = UY. В этом выражении учитывается связь между действующими значениями напряжения U и тока I, а также разность фаз между ними. Комплексное сопротивление ветви с сопротивлением г, индуктивностью L и емкостью С Z = r+j . Комплексное эквивалентное сопротивление неразветвленной цепи равно сумме всех ее комплексных сопротивлений: Z = Z₁+Z₂ +… +Z _п. Комплексная эквивалентная проводимосгь при параллельном соединении равна сумме комплексных проводимостей отдельных параллельных ветвей: Y—Y₁ + Y₂ + … +Y_n. Комплексное сопротивление эк-вивалентное^-двум параллельным ветвям, Z₁₂ = Z₁Z₂/( Z₁+Z₂). Первый закон Кирхгофа в комплексной форме записывают в виде ∑ I = 0, т. е. алгебраическая сумма комплексных токов, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю.

Для составления уравнения по первому закону Кирхгофа нужно выбрать условно положительные направления токов. Токи, направленные к узлу, записываются с положительным законом, а от узла — с отрицательным. Например, для узла А (рис. 14.5) получим I₁- I₂- I₃ = 0. Второй закон Кирхгофа в применении к контуру цепи в комплексной форме записывается в виде ∑ E = ∑ IZ, т. е. алгебраическая сумма действующих в контуре комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных падений напряжений. Уравнения по второму закону Кирхгофа записывают после выбора положительных направлений токов во всех ветвях цепи. Для схемы рис. 14.5 E= = I₁Z₁+I₂Z₂; E= I₁Z₁+ I₃Z₃; I₃Z₃- I₂Z₂=0.

Билет 49.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 789 10 Следующая ⇒