Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Сущность символического метода. Три формы записи комплексного числа.



Смысл символического метода расчета в том, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений тока, к уравнениям, составленным относительно комплексов тока и ЭДС.

Данный метод называется символическим, потому что токи и напряжения замещают на их комплексные изображения, то есть комплекс Rm - это изобржение падения напряжения iR

Принцип в том, что в уравнении, составленном по закону Кирхгофа производится замена

· i → Im (статическое i на амплитудное)

· R → R (мгновенное R на R переменного тока)

· Ul = L(di/dt) → Im*jwL (мгновенное значение напряжения на индуктивной катушке на комплекс, опережающий ток на 90º )

· Uc = 1/c * интеграл(i*dt) → Im*(-j/wc) (мгновенное напряжение на конденсаторе на комплекс, отстающий от тока на 90º )

· e → E (мгновенное значение эдс на комлекс ЭДС)

 

Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме.

Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин.

1. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

.

 

2. Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

 

 

или применительно к схемам замещения с источниками ЭДС

.

 

 

Комплексные числа могут быть записаны в трех формах: алгебраической, показательной и тригонометрической.

В алгебраической форме комплексное число представляют в виде алгебраической суммы двух составляющих — вещественной и мнимой. Вещественные составляющие часто обозначают той же буквой, которой обозначено комплексное число, но с одним штрихом, а мнимые - с двумя штрихами. Например, вектор А в алгебраической форме записывают А = А' + jA".

Показательная форма комплексного числа

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой


которая носит название формулы Эйлера. Обосновать ее можно с помощью теории степенных рядов. Эта теория будет изложена в курсе математического анализа.

Пусть комплексное число в тригонометрической форме имеет вид

На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь .

 

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть . Положим , . Очевидно, что

 

 

Тогда . Это выражение запишем в виде:

 

 

 

Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа. В отличие от нее запись числа в виде называют иногда алгебраической формой комплексного числа.

Отметим, что тригонометрическая форма - это указание числа по двум его характеристикам: модулю и аргументу.

Билет 48

Выражение тока, напряжения, сопротивления, проводимости, ЭДС электромагнитной индукции, мощности комплексными числами. Законы Ома и Кирхгофа в символическом виде.

 

Токи, напряжения в комплексной форме записи.

Синусоидальные величины можно изображать комплексными числами. комплексные значения тока, напряжения и ЭДС принято обозначать прописными буквами с точкой: I, U, Е, а их модули, соответствующие действующим значениям, обозначают теми же буквами, но без точек над ними: I, U, Е. Вернемся к цепям с последовательным соединением активного сопротивления и индуктивности, активного сопротивления и емкости. Векторная диаграмма первой цепи, построенная на комплексной плоскости, дана на рис. 14.3, а, а второй — на рис. 14.4, а. В обоих случаях вектор тока I направлен по оси действительных чисел вправо от начала координат. Поэтому комплекс тока I = Iеj0° = I, где I — модуль комплекса тока, а 0° — его начальная фаза.

Комплекс напряжения на зажимах цепи с последовательным соединением активного сопротивления и индуктивности U=Ua +jUL=Ue, где Ua и jUL — вещественная и мнимая части; U и ф - модуль и начальная фаза комплекса напряжения. Таким образом, комплексное изображение синусоидальной величины определяет ее действующее (амплитудное) значение и начальную фазу. Пусть ток в катушке I = 5 А, активное падение напряжения Ua = 60 В, а индуктивное UL = 80 В. Тогда комплекс тока I=I= 5 А, а комплекс напряжения U= Ua + jUL = 60 + j80. Для перехода от алгебраической формы к показательной найдем модуль комплекса напряжения: U = = 100 В и. tgф = Е= UL/Ua = 80/60= 1, 33. Значит, ф = 53°08'. Поэтому комплекс напряжения U = 60 + j80= 100еj53°08' В.

Комплекс общего напряжения цепи с последовательным соединением активного сопротивления и емкости (рис. 14.4, а) U = Ua jUC=Ue-jф. Таким образом, в общем выражении комплекса напряжения перед мнимой частью ставятся знаки плюс, если она выражает индуктивное напряжение, и минус, если — емкостное. При последовательном соединении активного сопротивления, индуктивности и емкости комплекс общего напряжения цепи U = Ua+ jUL — jUC = Ua + j(Ul — Uc) = Ue. Модуль полученного комплекса U = , а его аргумент ф= arctg . При этом ф> 0, если UL> UC, и ф< 0, если UL< UC. В ряде случаев нулевую фазу приписывают не току, а напряжению. Тогда вектор напряжения и будет направлен по оси действительных чисел комплексной плоскости, а остальные векторы ориентируются относительно этого исходного вектора. При этом условии комплекс напряжения U = Uej0° = U. Комплекс тока для цепей с последовательным соединением I= -jф.

Сопротивления и проводимости в комплексной форме.

Сопротивления и проводимости можно выразить комплексными числами. Комплексное сопротивление цепи обозначается Z, a комплексная проводимость— Y. При обозначении комплексных величин принято ставить точки только над теми комплексами, которые изображают синусоидально изменяющиеся величины. Поэтому для комплексов полного сопротивления и проводимости вместо точки над буквой ставят черту снизу. Модуль комплексного сопротивления цепи обозначают г, а комплексной проводимости — у. Рассмотрим треугольники сопротивлений и проводимостей цепей с последовательным соединением активного сопротивления и индуктивности, расположенные на комплексной плоскости. Активные сопротивления и проводимости изображены положительными отрезками на оси действительных чисел, а реактивные — положительными или отрицательными на оси мнимых чисел. С учетом этого составим комплексы полных сопротивлений и проводимостей. Для цепей с последовательным соединением Z = r+jxL = ze, a Y =g — jbL = ye-jф, а для цепей с г и С Z= r — jxc = ze-jф, a Y = g + +jbС = уеjф. Модули и аргументы этих величин определяют по следующим формулам. Для цепей с последовательным соединением z = ; у = и ф = arctg , а для цепей с г и С z = ; y = и ф= arctg . При последовательном соединении элементов с активным, индуктивным xLи емкостным хС сопротивлениями Z = r+jxL — jxC = r+j(xL — xc) = zеjф. Модуль данного комплекса сопротивления z = , а его аргумент ф = arctg .

 

 

Выражение мощности в комплексной форме

Полная мощность цепи переменного тока равна произведению действующих значений напряжения и тока:

S = UI.

Казалось бы, выразив напряжение и ток в комплексной форме, можно получить комплексное значение полной мощности. Однако перемножение комплексных значений напряжения и тока не дает реальных полной, активной и реактивной мощностей цепи.

Комплексное значение полной мощности, отражающее реальные мощности в цепи, получится, если умножить комплексное значение напряжения на сопряженное комплексное значение тока:

S = UI*.

Сопряженное комплексное значение тока I* отличается от I знаком перед мнимой частью. Если комплексное значение тока I = еjψ, то сопряженное ему комплексное значение I* = Iе-jψ .

Покажем, что комплексное значение мощности отражает реальные мощности в цепи.

Допустим, что комплексные значения напряжения и тока какой-то цепи имеют выражения

U = Uejψ 1; I = Iejψ 2..

Комплексное значение полной мощности

S = UI* = Uejψ 1Ie-jψ 2 = UIej(ψ 1 - ψ 2) = Sejφ.

Выразив комплексное значение полной мощности в тригонометрической, а затем в алгебраической форме, получим

S = S cos φ + jS sin φ = Р + jQ,

где S cos φ = P — активная мощность цепи; S sin φ = Q — реактивная мощность цепи;
S =р2 +Q2 — полная мощность.

Следует отметить, что при активно-индуктивном характере нагрузки (ψ 1 > ψ 2) знак перед jQ положительный, при активно-емкостном (ψ 2 > ψ 1) — отрицательный.

 

Законы Омы и Кирхгофа в комплексной форме

Закон Ома в комплексной форме I=U/Z = UY. В этом выражении учитывается связь между действующими значениями напряжения U и тока I, а также разность фаз между ними. Комплексное сопротивление ветви с сопротивлением г, индуктивностью L и емкостью С Z = r+j . Комплексное эквивалентное сопротивление неразветвленной цепи равно сумме всех ее комплексных сопротивлений: Z = Z1+Z2 +… +Z п. Комплексная эквивалентная проводимосгь при параллельном соединении равна сумме комплексных проводимостей отдельных параллельных ветвей: YY1 + Y2 + … +Yn. Комплексное сопротивление эк-вивалентное-двум параллельным ветвям, Z12 = Z1Z2/( Z1+Z2). Первый закон Кирхгофа в комплексной форме записывают в виде ∑ I = 0, т. е. алгебраическая сумма комплексных токов, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю.

Для составления уравнения по первому закону Кирхгофа нужно выбрать условно положительные направления токов. Токи, направленные к узлу, записываются с положительным законом, а от узла — с отрицательным. Например, для узла А (рис. 14.5) получим I1- I2- I3 = 0. Второй закон Кирхгофа в применении к контуру цепи в комплексной форме записывается в виде ∑ E = ∑ IZ, т. е. алгебраическая сумма действующих в контуре комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных падений напряжений. Уравнения по второму закону Кирхгофа записывают после выбора положительных направлений токов во всех ветвях цепи. Для схемы рис. 14.5 E= = I1Z1+I2Z2; E= I1Z1+ I3Z3; I3Z3- I2Z2=0.

 

 

Билет 49.


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-13; Просмотров: 1977; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.02 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь