Цепи синусоидального тока. Символический метод расчёта цепей. Законы Ома и Кирхгофа

Цепи синусоидального тока. Символический метод расчёта цепей. Законы Ома и Кирхгофа

Символический метод расчета основан на изображении синусоидально изменяющихся токов, напряжений и ЭДС векторами или комплексными числами. Любое компл. число можно изобразить на компл. плоскости точкой с радиус-вектором и представить в показат., тригонометр. и алгебр. формах записи. Графическое представление компл. функции аналогично представлению гарм. величин вращающимися векторами.

Пусть некоторая величина изменяется по синусоидальному закону . Между мгновенным значением v(t) и V_m можно установить однозначное соответствие. В теории цепей вектор V_m называется вектором, изображающим функцию времени, и обозначается . Этот вектор имеет смысл, отличающийся от смысла векторов, обозначающих скорость, силу и т.д. Такие изображения функции времени называются символическими. – комплексная амплитуда.

Мнимая часть выражения представляет собой функцию, изм. по закону синуса, а вещественная часть – функцию, изм. по закону косинуса. А так как любой гарм. процесс можно представить как в виде синусоиды, так и в виде косинусоиды, то ток, напряжение или ЭДС можно представить вещ. либо мнимой частью компл. функции, модуль которой равен амплитуде, а аргумент – фазе синусоиды или косинусоиды. Симв. метод позволяет свести диф. уравнения, которыми описываются цепи переменного тока, к виду алгебраических уравнений. Полученное таким образом решение можно затем перевести во временную область.

Если к входу электрической цепи приложено синусоидальное напряжение , то входной синусоидальный ток .

Комплексное сопротивление:

Отношение комплексных амплитуд напряжения и тока и есть закон Ома в комплексной форме.

По закону токов Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в одном узле, равна нулю. Если K – число ветвей, сходящихся в узле, то закон Кирхгофа в символической форме запишется как:

По закону напряжений Кирхгофа алгебраическая сумма падений напряжений в замкнутом контуре равно нулю:

Цепи синусоидального тока. Символический метод расчёта цепей. Последовательное соединение RLC

Символический метод расчета основан на изображении синусоидально изменяющихся токов, напряжений и ЭДС векторами или комплексными числами. (см. подробнее вопрос№1). Если к цепи, состоящей из послед. соединённых элементов R, L, C, приложено синус. напряжение , то ток в ней . Так как напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током, на индуктивности опережает, а на ёмкости отстаёт от тока на , на основании второго закона Кирхгофа для мгновенных значений можно записать:

где –комплексное сопротивление цепи.

На основании теоремы Эйлера .

Полное сопротивление равно модулю полного комплексного сопротивления , аргумент полного комплексного сопротивления равен разности фаз напряжения и тока .

Комплексное сопротивление можно представить в виде

Где R – действ. часть компл. сопр-я, наз. активным сопротивлением, ;

X – мнимая часть компл. сопр-я, наз. реактивным сопротивлением, .

Характер сопротивления цепи зависит от соотношения величин индуктивного и ёмкостного сопротивлений:

· – реакция цепи имеет индуктивный характер

· – реакция цепи имеет ёмкостный характер

· – цепь имеет чисто активный характер (резонанс)

Резонанс напряжений

Резонанс (дающий отклик) – явление существенного возрастания амплитуды колебаний под влиянием внешнего воздействия в случае, когда частота внешних колебаний совпадает с частотой, определённой внутренними параметрами системы.

В режиме резонанса на входе такой цепи напряжение и ток совпадают по фазе, т.е критерием резонанса является равенство угла сдвига фаз нулю: Учитывая то, что:

где X, B-реактивные сопротивления и проводимости, а K, G-активные сопротивления и проводисмость, то условием возниновения резонанса является X=0, либо B=0.

В электрических цепях имеют место 2 резонанса:

· резонанс тока(B=0). При этом резонансе токи катушки и через конденсатор могут значительно превышать ток источников на входе. Наблюдаются в параллельных цепях.

· резонанс напряжения (X=0). При нем для определенных параметров цепи возможно значительное превышение значения напряжения на конденсаторе и катушке. Наблюдаются в последовательных цепях.

Рассмотрим явление резонанса напряжений для последовательной RLC-цепи.

По закону напряжений Кирхгофа для этого участка цепи справедливо выражение:

Изменения частоты сигнала цепи можно добиться выполнением условия:

, тогда

Общее напряжение цепи: => В цепи наблюдается режим резонанса напряжения.

Частота при которой наблюдается резонанс:

Максимальное значение тока:

Полная мощность последовательной цепи при резонансе напряжений равна активной мощности, выделяемой на сопротивлении:

На рис. 4.2 представлена векторная диаграмма, которая соответствует режиму резонанса. Временная диаграмма тока и напряжений представлена на рис. 4.3 ( ).

В каждый момент времени . Учитывая, что , получаем

(4.4)

где r – характеристическое, или волновое сопротивление резонансного контура, измеряемое в омах.

Отношение напряжения на реактивных элементах ( и ) к напряжению на входе в режиме резонанса называют добротностью контура:

. (4.5)

Чем больше и чем меньше активное сопротивление в цепи, тем выше напряжение на реактивных элементах по сравнению с напряжением на входе контура.

Резонанс токов

В электрических цепях имеют место 2 резонанса:

Резонанс токов наблюдается в параллельных ветвях. При резонансе токов совпадают по фазе ток общей ветви и напряжение на параллельных участках. Рассмотрим резонанс токов в схеме с параллельными ветвями RL и RC (рис. 4.11, а).

Заменим данную схему эквивалентной, приведенной на рис. 4.11, б.

В этой схеме приняты следующие обозначения:

(4.8)

Для данной схемы справедливо

При резонансе токов понимают отношение тока в реактивных элементах к общему току в цепи в режиме резонанса. В режиме резонанса токи в реактивных элементах цепи могут многократно превышать ток на входе цепи.

В режиме резонанса угол сдвига фаз между напряжением и током =0

Реактивная проводимость ветвей в цепи в режиме резонанса:

B= = -

При резонансе полная мощность, которая потребляется контуром, минимальна и носит активный характер: S=UI=P= ( )= G

Ток в цепи: =Ů ( )=Ů G – т.е. минимальный ток для этой схемы при неизменном напряжении на входе . При G ® 0 I ® 0. Сопротивление такой цепи Z ® ¥. Для резонансной частоты w0 такой контур принято называть фильтром - пробкой.

Величина резонансной частоты для схемы: =0

Можно выразить :

Резонанс возможен при выполнении условия:

ρ > , ρ >

ρ < , ρ <

Если ρ = = схема находится в резонансе при любых частотах (всеволновой резонанс)

Основой для построения векторной диаграммы является описание схемы с помощью выражения (4.9). При построении совместим с вещественной осью напряжение , тогда

векторная диаграмма будет иметь вид, представленный на рис. 4.12, если учесть, что

Под добротностью контура при резонансе токов понимают отношение тока на реактивных элементах IL или IС к току на входе контура I

. (4.14)

При незначительных потерях в контуре токи IL и IC могут многократно превышать токи на входе схемы.

Резонансы в сложных цепях

В сложных схемах, в которых имеет место одновременно и последовательное, и параллельное соединение ветвей с индуктивностью и емкостью, может наблюдаться резонанс напряжения и токов. Покажем это на примере схемы, приведенной на рис. 4.15. Входное сопротивление

. (4.15)

В этой схеме резонанс напряжений возможен при условии , при этом резонансная частота

. (4.16)

Входная проводимость этой схемы

. (4.17)

При резонансе токов В = 0. При этом резонансная частота

. (4.18)

Численные значения частот в режиме резонанса токов и напряжений различны для одной и той же схемы.

Таким образом, цепь с несколькими RLC - контурами, которые могут быть соединены произвольно, может давать несколько резонансов токов и напряжений. Анализ осуществляется путем расчета цепи. Рассматривается , которая представляет собой дробь. Известно, что условие резонанса напряжений , т.е. . Следовательно, равенство нулю числителя дает резонансную частоту для резонанса напряжений. Условие резонанса токов B = 0 или , т.е. . Следовательно, равенство нулю знаменателя дает резонансную частоту для резонанса токов. Таким образом, задача сводится к определению нулей и полюсов .

Трехфазные генераторы.

Под трехфазной цепью (системой) понимают совокупность трехфазного источника (генератора), нагрузки и соединительных проводов.

Известно, что при вращении проводника в равномерном магнитном поле в нем наводится ЭДС

. (1.1)

Закрепим жестко на одной оси три одинаковые катушки (обмотки), смещенные относительно друг друга в пространстве на (120°) и начнем их вращать в равномерном магнитном поле с угловой скоростью w (рис. 1.1).

При этом в катушке A будет наводиться

. (1.2)

Такие же значения ЭДС возникнут в катушках B и C, но соответственно через 120° и 240° после начала вращения, т.е.

(1.3)

Совокупность трех катушек (обмоток), вращающихся на одной оси с угловой скоростью w, в которых наводятся ЭДС, равные по модулю и сдвинутые друг от друга на угол 120° называют симметричным трехфазным генератором. Каждая катушка генератора – это фаза генератора. В генераторе на рис. 1.1 фаза B «следует» за фазой A, фаза C – за фазой B. Такая последовательность чередования фаз называется прямой последовательностью. При изменении направления вращения генератора будет иметь место обратная последовательность чередования фаз. Прямой последовательности на основании соотношений (1.2, 1.3) соответствует векторная диаграмма ЭДС, изображенная на рис. 1.2, а, для обратной – векторная диаграмма ЭДС на рис. 1.2, б.

В дальнейшем все рассуждения по расчету трехфазных цепей будут касаться только трехфазных систем с прямой последовательностью следования генераторных ЭДС.

Перейдем от мгновенных значений ЭДС к их комплексам:

(1.4)

где оператор поворота

и т.д.

Сумме мгновенных ЭДС соответствует сумма комплексов этих ЭДС.

. (1.5)

График изменения мгновенных значений ЭДС при y = 90° представлен на рис. 1.3. В каждое мгновение алгебраическая сумма ЭДС равна нулю.

Крайним точкам катушек (обмоток) дают название конец и начало. Начала катушек обозначают A, B, C, концы соответственно X, Y, Z (рис. 1.4, а).

Фазные обмотки трехфазного генератора могут быть изображены в виде источников ЭДС (рис. 1.4, б).

Расчет трехфазных цепей.

Рассмотрим расчет трехфазной цепи звезда – звезда с нейтральным проводом (рис. 1.7). Расчет такой цепи можно производить всеми известными методами расчета разветвленных цепей. Чаще всего рационально применять метод узловых потенциалов, т.к. в этой схеме два узла O и O1, и для определения неизвестных токов и напряжений нужно составить одно уравнение. Примем потенциал точки О равным нулю, тогда напряжение нейтрали

. (1.8)

Здесь

– комплексы ЭДС соответствующих фаз генератора, ;

– комплексные проводимости соответствующих фаз нагрузки и нулевого провода.

Напряжение на фазах нагрузки

(1.9)

Токи в фазах:

(1.10)

Рассмотрим несколько частных случаев.

Отсутствует сопротивление в нейтральном проводе , тогда .

Сопротивления нагрузки одинаковы , нагрузка симметрична. Из (1.8) следует, что в этом случае также напряжение нейтрали . Линейные токи соответственно равны

(1.11)

Учитывая соотношение (1.11), векторные диаграммы напряжений на нагрузке и на генераторе совпадают и имеют вид, представленный на рис. 1.8, а.

При активно-индуктивном характере нагрузки j > 0, векторные диаграммы токов и напряжений на нагрузке показаны на рис. 1.8, б. Учитывая соотношения между фазными и линейными напряжениями, получим, соединяя соответствующие точки ² a² с ² b², ² b² с ² c², ² c² с ² a², линейные напряжения . Из диаграмм на рис. 1.8 очевидно, что модули всех линейных напряжений равны .

Рассчитав треугольник, образованный, например, фазными напряжениями и линейным , получим

. (1.12)

Здесь – модули фазного напряжения симметричной нагрузки.

Нейтральный провод отсутствует, что соответствует схеме «звезда – звезда без нейтрального провода». Расчет производится по формулам (1.8, 1.9) с учетом того, что .

Замечание. В схеме «звезда – звезда без нейтрального провода» с симметричным генератором и несимметричной нагрузкой в случае равенства комплексных сопротивлений только в двух фазах напряжение нейтрали можно определить из соотношений

Покажем справедливость этих формул на примере .

При соединении нагрузки в треугольник токи в его фазах определяются по закону Ома

. (1.13)

Линейные токи находят по первому закону Кирхгофа

. (1.14)

Поскольку линейные напряжения на нагрузке равны линейным напряжениям на генераторе, которые в свою очередь равны соответствующим ЭДС на обмотках генератора, векторная диаграмма линейных напряжений на нагрузке (рис. 1.9) полностью совпадает с векторной диаграммой генераторных ЭДС, приведенных на рис. 1.2.

Пусть нагрузка симметрична и носит активно-индуктивный характер, тогда векторные диаграммы напряжений, фазных и линейных токов имеют вид, представленный на рис. 1.10. С помощью полученной диаграммы можно определить, что модули линейных токов равны (они являются сторонами равностороннего треугольника)

Из расчета треугольников, образованных двумя фазными токами (биссектрисы равностороннего треугольника) и линейным током, следует, что

. (1.15)

При несимметричной нагрузке векторные диаграммы токов имеют самый разнообразный вид. Пример такой диаграммы приведен на рис. 1.11, где .

23) Некоторые частные режимы работы трёхфазных цепей

1. Симметричный режим работы. , переключатель П₁ замкнут, переключатель П₂ разомкнут. ,

по величине .

2. Режим холостого хода или обрыв фазы А (переключатели П₁ и П₂ разомкнуты). При этом схема из трехфазной цепи преобразуется в однофазную с напряжением на сопротивлениях . Потенциал точки О₁ становится равным .

Ток в сопротивлениях и равен .

Таким образом, фазный ток и фазное напряжение неповрежденных фаз уменьшилось в раза.

3. Режим короткого замыкания фазы А (переключатели П₁ и П₂ замкнуты). Потенциал точки О₁ принимает значение потенциала точки a. В этом режиме .

Таким образом, фазные напряжения и токи неповрежденных фаз B и C увеличились в раз, а ток закороченной фазы (I_a) – в 3 раза по сравнению с симметричным режимом работы схемы.

Соединение Δ.

Три одинаковых сопротивления подключены к симметричной системе линейных напряжений .

1. Симметричный режим работы (переключатели П₁ и П₂ замкнуты).

Все фазные токи отстают от соответствующих фазных напряжений на угол j. Линейные токи отстают от соответствующих фазных токов на 30°.

2. Режим холостого хода или обрыв фазы bc (переключатель П₁ разомкнут).

Линейные токи , т.е. . Таким образом, линейный ток в проводе, не связанном гальванически с «поврежденной» фазой, остается неизменным по сравнению с симметричным режимом, а два других линейных тока и становятся равными фазным токам при симметричном режиме.

3. Обрыв линии В (переключатель П₁замкнут, а переключатель П₂ разомкнут). При этом трехфазная цепь преобразуется в однофазную, и все три сопротивления подключаются к напряжению . Ток, протекающий по двум сопротивлениям и , ток в фазе ² ca² . Линейные токи .

Таким образом, при обрыве линейного провода в фазах, гальванически связанных с ним, токи уменьшаются в два раза, в третьей фазе ток остается неизменным, линейный ток в неповрежденной линии уменьшается по сравнению с симметричным режимом в 1, 15 раза.

Мощности в трёхфазных цепях

Мощности в т.цепях рассчитываются так же, как и в разветвленных гармонических цепях. Мощность трехфазного генератора, соединенного в треугольник

Для звезды .

Мощности потребителей, соединенных в треугольник

Для звезды

Здесь – соответственно напряжение, ток, аргумент, активное и реактивное сопротивления нейтрали (нулевого провода).

В симметричных трехфазных цепях

Цепи синусоидального тока. Символический метод расчёта цепей. Законы Ома и Кирхгофа

Если к входу электрической цепи приложено синусоидальное напряжение , то входной синусоидальный ток .

Комплексное сопротивление:

Отношение комплексных амплитуд напряжения и тока и есть закон Ома в комплексной форме.

По закону напряжений Кирхгофа алгебраическая сумма падений напряжений в замкнутом контуре равно нулю:

12 3 4 Следующая ⇒