Закон Ома и законы Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. Законы Ома и Кирхгофа в символической и операторной формах.

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма мгновенных токов, притекающих к узлу равна нулю.

Заметим, что первый закон Кирхгофа можно сформулировать и так: сумма мгновенных токов, притекающих к узлу, равна сумме токов, вытекающих из этого узла. В более общей форме: алгебраическая сумма токов, притекающих к произвольному сечению, равна нулю.

Пример. Записать первый закон Кирхгофа для следующего узла (рис. 1.14.2).

Решение. .

Второй закон Кирхгофа для мгновенных величин. Алгебраическая сумма мгновенных падений напряжений в контуре равна алгебраической сумме мгновенных ЭДС в этом контуре.

где n – количество пассивных элементов в контуре;

m – количество источников ЭДС в контуре.

При наличии индуктивности или ёмкости в цепи переменного тока необходимо учитывать их реактивное сопротивление.
В таком случае запись Закона Ома будет иметь вид:

I = U/Z

Здесь Z - полное (комплексное) сопротивление цепи - импеданс. В него входит активная R и реактивная X составляющие.
Реактивное сопротивление зависит от номиналов реактивных элементов, от частоты и формы тока в цепи.

С учётом сдвига фаз φ , созданного реактивными элементами, для синусоидального переменного тока обычно записывают Закон Ома в комплексной форме:

- комплексная амплитуда тока. = I_ampe^jφ
- комплексная амплитуда напряжения. = U_ampe^jφ
- комплексное сопротивление. Импеданс.
φ - угол сдвига фаз между током и напряжением.
e - константа, основание натурального логарифма.
j - мнимая единица.
I_amp, U_amp - амплитудные значения синусоидального тока и напряжения.

Для последовательно соединенных элементов формула импеданса имеет следующее значение:

При последовательном соединении токи через элементы равны, общее приложенное напряжение будет векторной суммой напряжений на R и C элементах и формула импеданса последовательной цепи будет иметь вид:

Z_ - импеданс последовательной цепи,

R - её активное сопротивление,

XC - ёмкостное сопротивление.

При параллельном соединении напряжения на R и C элементах равны, общий ток будет векторной суммой токов каждого элемента, а фомула импеданса будет следующей:

Операторная форма:

Закон Ома:

Законы Киргофа:

Операторная запись законов Кирхгофа

При ненулевых начальных условиях II закон Кирхгофа можно записать

Символическая форма:

Закон Ома:

Комплексное сопротивление:

Величина, обратная комплексному сопротивлению, – комплексная проводимость:

Законы киргофа в символической форме:

Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю:

Подставив вместо i_k в (2.63) Í _ke_{jω t} и вынеся e_{jω t} за знак суммы, получим e_{jω t}Σ Í _k=0. Так как e_{jω t} не равно нулю при любом t, то:

Уравнение (2.63, а) представляет собой первый закон Кирхгофа в символической форме записи.

Пусть замкнутый контур содержит n ветвей и каждая k- ветвь в общем случае включает в себя источник ЭДС e_k, резистор R_k, индуктивную катушку L_k и конденсатор C_k, по которым протекает ток i_k.

Тогда по второму закону Кирхгофа:

Но каждое слагаемое левой части можно заменить на Í _kZ_k, а каждое слагаемое правой части – на É _k. Поэтому уравнение примет вид:

Уравнение (2.65) представляет собой второй закон Кирхгофа в символической форме записи.

Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов с помощью вращающихся векторов и комплексных чисел. Формулы Эйлера для комплексных чисел. Сложение, вычитание, умножение, деление синусоидальных функций времени. Векторная диаграмма.

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в:

показательной

тригонометрической или

алгебраической - формах.

Например, ЭДС , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

Фазовый угол определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

(4)

Рис.2.7. Векторное изображение синусоидальных ЭДС

Рис.2.8. Векторное изображение синусоидальных значений напряжения и тока, имеющих угол сдвига фаз

На рис. 2.9 и 2.10 показано сложение и вычитание векторов на векторных диаграммах. Здесь сложение двух синусоид и , представленных синусоидой , выполнено в виде сложения вращающихся векторов на декартовой плоскости . Аналогично выполняется вычитание векторов ЭДС .

Изображение синусоидальных величин на комплексной плоскости осуществляется комплексными числами.

Формула Эйлера:

Данная формула связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями:

Перевод комплексных чисел из одной формы в другую можно производить по следующим формулам:

;

При сложении и вычитании комплексных чисел удобно пользоваться алгебраической формой записи:

При умножении, делении, возведении в степень удобно пользоваться показательной формой

Если комплексное число , то комплексное число называется сопряженным комплексным числом.

Синусоидальное ЭДС можно представить комплексным числом:

Для напряжения и тока аналогично.

⇐ Предыдущая 1 2 3 45