Вопрос 7. Эксцесс и асимметрия.

Для получения представления о форме распределения используются показатели среднего уровня (средняя арифметическая, мода, медиана), показатели вариации, асимметрии и эксцесса.

Моменты распределения

Для дальнейшего изучения характера вариации используются средние значения разных степеней отклонений отдельных величин признака от его средней арифметической величины. Эти показатели получили название центральных моментов распределения распределения -го порядка , соответствующие степени, в которую возводятся отклонения отдельных значений признака от средней арифметической.

Для несгруппированных данных:

Для сгруппированных данных:

Момент первого порядка согласно свойству средней арифметической равен нулю .

Момент второго порядка является дисперсией .

Моменты третьего и четвертого порядков используются для построения показателей, оценивающих особенности формы эмпирических распределений.

Таблица 15

Центральные моменты распределений

 

Нормированный момент представляет собой отношение центрального момента k-го порядка к k-ой степени среднего квадратического отклонения:

Нормированный момент- первого порядка равен 0

- второго порядка равен 1

- третьего и четвертого порядков используется для характеристики асимметрии и эксцессов

Асимметрия и ее показатели

Симметричным называется такое распределение, при котором варианты, равноотстоящие от средней, имеют равные частоты. Если распределение асимметрично, частоты вариантов, равноотстоящих от средней, не равны между собой.

Изучение асимметрии имеет значение для статистических рядов, в которых у вариантов признака есть частоты. Частоты могут быть представлены явно (при дискретном и интервальном рядах) и неявно при упорядоченной совокупности данных с повторяющимися значениями признака (например: 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7). Ранжированный ряд частот не имеет, но при большом количестве единиц наблюдения он может быть сгруппирован в интервальный ряд.

В симметричных распределениях средняя арифметическая, мода и медиана совпадают .

Если это равенство нарушается — распределение асимметрично.

Для характеристики асимметрии используется ряд показателей:

1) Простейшим показателем асимметрии является разность

,

которая в случае правосторонней асимметрии положительна, а при левосторонней — отрицательна, при нулевом значении распределение симметрично.

2) Для сравнения асимметрии нескольких рядов вычисляется относительный показатель коэффициент асимметрии Пирсона

величина которого в случае правосторонней асимметрии положительна, а при левосторонней — отрицательна, при нулевом значении распределение симметрично.

3) С помощью момента третьего порядка измеряют степень скошенности или асимметричности распределения.

, где — коэффициент асимметрии, основанный на центральном моменте 3-го порядка.

μ ³ - центральный момент 3-го порядка;

σ ³ – среднее квадратическое отклонение в кубе

В симметричных распределениях , как все центральные моменты нечетного порядка. Неравенство нулю центрального момента третьего порядка указывает на асимметричность распределения. При этом, если , то асимметрия правосторонняя и относительно максимальной ординаты вытянута правая ветвь; если , то асимметрия левосторонняя (на графике это соответствует вытянутости левой ветви).

Рисунок 6. График левосторонней и правосторонней асимметрии распределений

Рисунок 7. График расположения вариантов асимметрии распределений относительно друг друга

Эксцесс и его показатели

Под эксцессом понимается степень островершинности распределения, при этом в качестве эталона берется нормальное распределение. Изучение эксцесса имеет значение для статистических рядов, в которых у вариантов признака есть частоты. Характеристикой эксцесса является нормированный момент четвертого порядка.

Показатель эксцесса для нормального распределения равен 3:

Показатель эксцесса для упорядоченного в порядке возрастания или убывания ряда не сгруппированных данных при фактическом распределении

Показатель эксцесса для дискретного и интервального ряда при фактическом распределении

 

Для нормального распределения Е = 0. Для более островершинных распределений, чем нормальное, Е > 0, для более плосковершинных Е < 0

Рисунок 8. График эксцесса распределений

⇐ Предыдущая1234567

Поделиться:

Популярное:

1. Эксцесс исполнителя: понятие, виды