Правило мажорантности средних, выбор формулы средней.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 7Следующая ⇒

1. Если при замене индивидуальных значений признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, средняя будет являться средней квадратической величиной.

Средняя квадратическая простая вычисляется по формуле:

Средняя квадратическая взвешенная равна:

Например, имеются три участка земельной площади со сторонами квадрата: х₁ = 100 м; х₂ = 200 м; х₃ =300 м. Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, очевидно, нужно исходить из сохранения общей площади всех участков. Арифметическая средняя величина (100 + 200 + 300): 3 = 200 м, не удовлетворяет этому условию, так как общая площадь трех участков со стороной 200 м была бы равна: 3 (200 м)² =120 000 м². В то же время площадь исходных трех участков равна: (100 м)² + (200 м)² + (300 м)² = 140 000 м² Правильный ответ дает квадратическая средняя:

2. Если при замене индивидуальных значений признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму кубов исходных величин, средняя будет являться средней кубической величиной.

простая средняя кубическая

взвешенная средняя кубическая

3. Если при замене индивидуальных значений признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение исходных величин, средняя будет являться геометрической средней величиной.

Средняя геометрическая простая

Средняя геометрическая взвешенная

Пусть, например, в результате инфляции за первый год цена товара возросла в 2 раза к предыдущему году, а за второй год еще в 3 раза к уровню предыдущего года. Ясно, что за два года цена выросла в 6 раз. Каков средний темп роста цены за год? Арифметическая средняя здесь непригодна, ибо если за год цены возросли бы в (2+3) / 2 = 2, 5 раза, то за два года цена возросла бы в 2, 5 *2, 5 = 6, 25 раза, а не в 6 раз. Геометрическая средняя дает правильный ответ в 2, 45 раза.

4. Если при замене индивидуальных значений признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму величин, обратных индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней.

Существуют две формулы для расчета средней гармонической величины:

где W- сложный вес, объем события по группе, по конкретному значению.

Сложный (мнимый) вес:

Рассмотрим расчет средней гармонической на примере:

Таблица 5

Правило мажорантности средних представляет собой ранжированное соотношение значений разных видов средней аналитической, рассчитанных по одной и той же базе.

Чем выше показатель степени в формуле степенной средней, тем больше значение средней.

Наряду со степенной используются и другие формы средней, например, средняя хронологическая. Эта формула средней применяется для ряда моментных показателей. Широко применяется в рядах динамики, в социально-экономической статистике для определения средней численности населения и среднего размера остатков, а также для других показателей, исчисляемых на определенные моменты времени. Более подробно см. в теме «Динамика»

Выбор формы средней осуществляется на оснований двух критериев:

1. логическая формула средней. Необходимо выяснить, что собою представляет в данном конкретном случае средняя величина, т.е. ее социально-экономическое содержание, а также то, соотношением каких, в конечном счете, величин она является.

2. средняя должна иметь реальный смысл и быть интерпретирована с социально-экономической точки зрения.

Условия применения простой средней величины:

1. Каждый вариант признаков встречается только один раз

2. Каждый вариант признака имеет одинаковую степень распространения

3. если необходимо абстрагироваться от частот проявления того или иного варианта признака.

Средняя взвешенная используется, если распространенность варианта признака не одинакова в совокупности.

Средняя арифметическая используется, если необходимо равномерно (поровну) распределить объем признака между единицами совокупности.

Средняя гармоническая используется, если известны значения числителя исходного соотношения среднего, но неизвестны значения знаменателя (в качестве весов выступают объемы изучаемого признака). Средняя гармоническая взвешенная часто является обратной величиной средней арифметической взвешенной.В этом случае возникает проблема: какую формулу использовать – среднюю гармоническую или среднюю арифметическую? Подходит та формула, у которой и в числителе и знаменателе будут величины, обладающие смыслом.Если по исходной информации дается осредняемая величина (варианта) и знаменатель логической формулы, то используется средняя арифметическая взвешенная. Если дается варианта и числитель логической формулы, то используется средняя гармоническая взвешенная.
Средняя геометрическая используется:

1. при нахождении средней из относительных величин. Например, при расчете средних темпов роста.

2. при нахождении средней из абсолютных величин, если известны максимальное и минимальное значения признака, значительно отстоящие друг от друга.

Средняя квадратическая используется:

1. если необходимо найти среднее значение параметра, объемная величина которого измеряется в квадратных единицах (пример, средняя площадь)

2. при исследовании вариации признака (дисперсия).

Средняя кубическая используется:

1. если необходимо найти среднее значение параметра, объемная величина которого измеряется в кубических единицах

2. при исследовании вариации признака (асимметрия, основанная на центральном моменте третьего порядка).

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 Следующая ⇒