Теоремы о пределах последовательности.

Теорема 1: (необходимый признак числовой последовательности):

если последовательность сходится, то она ограничена., если последовательность неограниченна, то она расходится.

Теорема Вейерштрасса: сформируем достаточный признак числовой последовательности: всякая ограниченная монотонная последовательность имеет предел.

Теорема : если две последовательности {x_n}и {y_n} сходятся, т.е. имеют конечные пределы, то сходятся также сумма, разность, произведение, частное этих последовательностей, т.е.:
=> и тд.

Теорема: если и начиная с некоторого номера выполняется неравенство x_n y_n, то а b.

Доказательство:
допустим, что а> b. Из равенств следует, что для любого > 0 найдется такое натуральное число N( ), что при всех n> N( ) будут выполняться неравенства и т.е.

и . Возьмем . Тогда: отсюда следует, что x_n> y_n, это противоречит условию x_n y_n следовательно, а b.

Предел функции.

Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке:

Определение ( по Коши): число А называется пределом функции в точке х₀, если для любого положительного найдется такое положительное число , что для всех х х₀, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Коротко это определение:

.

Определение (по Гейне):

Число А называется пределом функции в точке х0, если для любой последовательности допустимых значений аргумента хn, сходящейся к х0, последовательность соответствующих значений функции , , сходится к числу А.

Односторонние пределы:
число А называется пределом функции слева в точке x₀, если для любого число > 0 существует число = ( )> 0 такое, что при выполняется неравенство .

Предел слева записывают так:

Аналогично определяется предел функции справа:

.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

Предел функции при :

Число А называется пределом функции при , если для любого положительного числа существует такое число М=М( ) > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Коротко:

 

 

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Функция называется бесконечно большой при , если для любого числа M> 0 существует число = (М)> 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< , выполняется неравенство . Записывают . Коротко:

Функция называется бесконечно большой при , если для любого числа M> 0 найдется такое число N=N (М)> 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Коротко:

Всякая бесконечно большая функция в окрестности точки х0 является неограниченной в этой окрестности.

Бесконечно малая функция:
Функция называется бесконечно малой при , если : для любого числа > 0 найдется число > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< , выполняется неравенство .

Теорема: алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Док-во:

 

Теорема: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Док-во:

 

Следствие: так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы вытекает произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие: произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема: частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Док-во:

 

Теорема: если функция - бесконечно малая, то обратная ей функция – бесконечно большая и наоборот.

Док-во:

 

Односторонние пределы.

число А называется пределом функции слева в точке x₀, если для любого число > 0 существует число = ( )> 0 такое, что при выполняется неравенство .

Предел слева записывают так:

Аналогично определяется предел функции справа:

.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

Сравнение бесконечно малых.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения:

1. если , то и называются бесконечно малыми одного порядка.

2. если то называется бесконечно малой более высокого порядка, чем .

3. если то называется бесконечно малой более низкого порядка, чем .

4. если не существует, то и называются несравнимыми бесконечно малыми.

Таковы же правила сравнения б.м.ф. при и .

Эквивалентные бесконечно малые:

Sinx	x, при	ex - 1	x,
tgx	x,	ax - 1	x*lna,
arcsinx	x,	ln(1+x)	x,
arctgx	x,	loga(1+x)	x*logae
1-cosx	,	(1+x)k - 1	k*x, k> 0,

 

 

Теоремы о пределах.

Теорема: если существует и и они равны между собой, то существует = .

Теорема: если , , то =>

1)

2)

3)

Примечание 1: 1-е и 2-е свойства распространяются на любое конечное число слагаемых или сомножителей, однако число слагаемых и сомножителей не может быть .

Примечание 2:

Теорема: если , то функция g(x) = f(x) – a является б.м. при .

Следствие: если => в окрестности т. х₀ g(x) + а = f(x), где g(x)- б.м. при .

Теорема: если и существуют конечные пределы, когда , => .

Теорема (о сжатой переменной): если и существуют конечные пределы => существует: .

Теорема (о пределе сложной функции):

Пусть: х_0, , U=f(x), .

Сама теорема:

Если задана сложная функция, и существуют конечные пределы и , то

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Все работы по монтажу ВЛ на графике обычно располагаются в их технологической последовательности.
2. Габаритный баланс в пределах жёсткой базы локомотива и экипажной части.
3. Геометрический смысл теоремы Лагранжа
4. ЗАДАЧИ В ДВА ДЕЙСТВИЯ В ПРЕДЕЛАХ 20
5. Закон больших чисел. Предельные теоремы. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева. Теорема Бернулли.
6. Измерения на разных пределах
7. Каждый IP - адрес должен быть уникальным в пределах локальной сети.
8. Личная безопасность в пределах контекста конструкта
9. Нанесение проектной линии в пределах водопропускных сооружений
10. Нотариус должен иметь место для совершения нотариальных действий в пределах нотариального округа, в который он назначен на должность.
11. О пределах вмешательства взрослых в игры детей
12. Определите смысл фразеологизмов. Составьте с ними предложения таким образом, чтобы в пределах предложения была антитеза.