|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Закон больших чисел. Предельные теоремы. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева. Теорема Бернулли.
Изучение статистических закономерностей позволило установить, что при некоторых условиях суммарное поведение большого количества случайных величин почти утрачи-вает случайный характер и становится закономерным (иначе говоря, случайные отклоне-ния от некоторого среднего поведения взаимно погашаются). В частности, если влияние на сумму отдельных слагаемых является равномерно малым, закон распределения суммы приближается к нормальному. Математическая формулировка этого утверждения дается в группе теорем, называемой законом больших чисел. Неравенство Чебышева. Неравенство Чебышева, используемое для доказательства дальнейших теорем, справед-ливо как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Докажем его для дискретных случайных величин. Неравенство Чебышева. p( | X – M(X)| < ε ) ≥ D(X) / ε ². (13.1) Доказательство. Пусть Х задается рядом распределения
Так как события |X – M(X)| < ε и |X – M(X)| ≥ ε противоположны, то р ( |X – M(X)| < ε ) + + р ( |X – M(X)| ≥ ε ) = 1, следовательно, р ( |X – M(X)| < ε ) = 1 - р ( |X – M(X)| ≥ ε ). Найдем р ( |X – M(X)| ≥ ε ). D(X) = (x1 – M(X))² p1 + (x2 – M(X))² p2 + … + (xn – M(X))² pn. Исключим из этой суммы те слагаемые, для которых |X – M(X)| < ε. При этом сумма может только уменьшиться, так как все входящие в нее слагаемые неотрицательны. Для определенности будем считать, что отброшены первые k слагаемых. Тогда D(X) ≥ (xk+1 – M(X))² pk+1 + (xk+2 – M(X))² pk+2 + … + (xn – M(X))² pn ≥ ε ² (pk+1 + pk+2 + … + pn). Отметим, что pk+1 + pk+2 + … + pn есть вероятность того, что |X – M(X)| ≥ ε, так как это сумма вероятностей всех возможных значений Х, для которых это неравенство справедливо. Следовательно, D(X) ≥ ε ² р(|X – M(X)| ≥ ε ), или р (|X – M(X)| ≥ ε ) ≤ D(X) / ε ². Тогда вероятность противоположного события p( | X – M(X)| < ε ) ≥ D(X) / ε ², что и требо-валось доказать. Теоремы Чебышева и Бернулли. теорема Чебышева. Если Х1, Х2, …, Хп – попарно независимые случайные величины, дисперсии которых равномерно ограничены ( D(Xi) ≤ C), то для сколь угодно малого числа ε вероятность неравенства
будет сколь угодно близка к 1, если число случайных величин достаточно велико. Замечание. Иначе говоря, при выполнении этих условий Доказательство. Рассмотрим новую случайную величину
Следствие. Если Х1, Х2, …, Хп – попарно независимые случайные величины с равномерно ограничен-ными дисперсиями, имеющие одинаковое математическое ожидание, равное а, то для любого сколь угодно малого ε > 0 вероятность неравенства Вывод: среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин прини-мает значения, близкие к сумме их математических ожиданий, то есть утрачивает характер случайной величины. Например, если проводится серия измерений какой-либо физической величины, причем: а) результат каждого измерения не зависит от результатов остальных, то есть все результаты представляют собой попарно независимые случайные величины; б) измерения производятся без систематических ошибок (их математические ожидания равны между собой и равны истинному значению а измеряемой величины); в) обеспечена определенная точность измерений, следовательно, дисперсии рассматривае-мых случайных величин равномерно ограничены; то при достаточно большом числе измерений их среднее арифметическое окажется сколь угодно близким к истинному значению измеряемой величины. Теорема Бернулли. теорема Бернулл. Если в каждом из п независимых опытов вероятность р появления события А постоянна, то при достаточно большом числе испытаний вероят-ность того, что модуль отклонения относительной частоты появлений А в п опытах от р будет сколь угодно малым, как угодно близка к 1: Доказательство. Введем случайные величины Х1, Х2, …, Хп, где Xi – число появлений А в i-м опыте. При этом Xi могут принимать только два значения: 1(с вероятностью р) и 0 (с вероятностью q = 1 – p). Кроме того, рассматриваемые случайные величины попарно независимы и их дисперсии равномерно ограничены (так как D(Xi) = pq, p + q = 1, откуда pq ≤ ¼ ). Следовательно, к ним можно применить теорему Чебышева при Mi = p:
Но
что и требовалось доказать. Замечание. Из теоремы Бернулли не следует, что Системы случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины. Функции распределения двумерной случайной величины и ее свойства. Двумерная плотность вероятности и ее свойства. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (Х, Y)имеет вид таблицы с двойным входом, задающей перечень возможных значений каждой компоненты и вероятности p(xi, yj), с которыми величина принимает значение (xi, yj):
При этом сумма вероятностей, стоящих во всех клетках таблицы, равна 1. Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти законы распреде-ления ее составляющих. Действительно, событие Х = х1 представляется собой сумму несовместных событий (X = x1, Y = y1), (X = x1, Y = y2), …, (X = x1, Y = ym), поэтому р(Х = х1) = p(x1, y1) + p(x1, y2) +…+ p(x1, ym) (в правой части находится сумма вероятностей, стоящих в столбце, соответствующем Х = х1). Так же можно найти вероятности остальных возможных значений Х. Для определения вероятностей возможных значений Y нужно сложить вероятности, стоящие в строке таблицы, соответствующей Y = yj. Функцией распределения F(x, y) двумерной случайной величины (X, Y) называется вероятность того, что X < x, a Y < y: F( х, у ) = p ( X < x, Y < y ). (8.1)
1)f(x, y) ≥ 0 (см. предыдущее замечание: вероятность попадания точки в прямоуголь-ник неотрицательна, площадь этого прямоугольника положительна, следовательно, предел их отношения неотрицателен). 2) Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-05-30; Просмотров: 827; Нарушение авторского права страницы
и найдем ее математическое ожидание. Используя свойства математического ожидания, получим, что 
. Применим к 
неравенство Чебышева: 
Так как рассматриваемые случайные величины независимы, то, учитывая условие теоремы, имеем: 
Используя этот результат, представим предыдущее неравенство в виде: 
Перейдем к пределу при 
: 
Поскольку вероятность не может быть больше 1, можно утверждать, что
Теорема доказана.
будет как угодно близка к 1, если число случайных величин достаточно велико. Иначе говоря, 
.
.
, так как Xi принимает значение, равное 1, при появлении А в данном опыте, и значение, равное 0, если А не произошло. Таким образом, 
Речь идет лишь о вероятно-сти того, что разность относительной частоты и вероятности по модулю может стать сколь угодно малой. Разница заключается в следующем: при обычной сходимости, рассматриваемой в математическом анализе, для всех п, начиная с некоторого значения, неравенство 
выполняется всегда; в нашем случае могут найтись такие значения п, при которых это неравенство неверно. Этот вид сходимости называют сходимостью по вероятности. 
Рис.1. Это означает, что точка (X, Y) попадет в область, заштрихованную на рис. 1, если вершина прямого угла располагается в точке (х, у). Замечание. Определение функции распределения справедливо как для непрерывной, так и для дискретной двумерной случайной величины. Свойства функции распределения. 1)0 ≤ F(x, y) ≤ 1 (так как F(x, y) является вероятностью). 2)F(x, y) есть неубывающая функция по каждому аргументу: F(x2, y) ≥ F(x1, y), если x2 > x F(x, y2) ≥ F(x, y1), если y2 > y1. Доказательство. F(x2, y) = p(X < x2, Y < y) = p(X < x1, Y < y) + p(x1 ≤ X < x2, Y < y) ≥ p(X < x1, Y < y) = F(x1, y). Аналогично доказывается и второе утверждение. 3)Имеют место предельные соотношения: а) F(-∞, y) = 0; b) F(x, - ∞ ) = 0; c) F(- ∞, -∞ ) = 0; d) F( ∞, ∞ ) = 1. Доказательство. События а), b) и с) невозможны ( так как невозможно событие Х< - ∞ или Y < - ∞ ), а событие d) достоверно, откуда следует справедливость приведенных равенств. 4)При у = ∞ функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей Х: F(x, ∞ ) = F1(x). При х = ∞ функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей Y: F( ∞, y) = F2(y). Доказательство. Так как событие Y < ∞ достоверно, то F(x, ∞ ) = р(Х < x) = F1(x). Аналогично доказывается второе утверждение. Плотностью совместного распределения вероятностей (двумер-ной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называ-ется смешанная частная производная 2-го порядка от функции распределения 
. (8.2) Замечание. Двумерная плотность вероятности представляет собой предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Δ х и Δ у к площади этого прямоугольника при 
Свойства двумерной плотности вероятности.
(cледует из определения двумерной плотности вероятно-сти). 3) 
(поскольку это вероятность того, что точка попадет на плос-кость Оху, то есть достоверного события).