Геометрический смысл теоремы Лагранжа

· f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a; b];

· f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале (a; b);

· g '(x) ¹ 0 при любом x Î (a; b),

то внутри отрезка [a; b] найдётся хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:

.

Доказательствоаналогично доказательству теоремы 5 (теорема Лагранжа) при вспомогательной функции

F(x) = f(x) + l × g(x),

где l = const, которую выбирают так, чтобы F(a) = F(b).

Правило Лопиталя

· f(x) и g(x) дифференцируемы в каждой точке за исключением может быть самой точки х₀;

· g '(x) ¹ 0 для любого x из этой окрестности;

· или ,

тогда, если существует конечный или бесконечный, то выполняется равенство:

= .

Замечание 1.Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределённостей типа или , возникающих при вычислении пределов. Если под знаком предела оказывается неопределённость другого типа: 0× ∞, , 1⁰, 0⁰ или ∞ ⁰, то с помощью тождественных алгебраических преобразований такая неопределённость приводится к или и тогда можно применить правило Лопиталя.

Замечание 2.Если к условиям теоремы 7 добавить дифференцируемость функций f '(x) и g'(x) в окрестности точки х₀, то при выполнении остальных требований для f '(x) и g'(x) правило Лопиталя можно применить повторно. При этом будет справедливо равенство:

= =

Пример 1. Вычислить предел:

Пример 2. Вычислить предел:

Пример 3. Вычислить предел:

Пример 4. Вычислить предел:

.

Пример 5. Вычислить предел:

Пример 6. Вычислить предел:

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ

Асимптоты плоской кривой

Доказательство. Возьмём любые два значения x₁ и x₂ из промежутка (a; b). Для определённости предположим, что x₂ > x₁.

На отрезке [x₁; x₂] функция y = f(x) непрерывна и дифференцируема (из условия теоремы). Следовательно, она удовлетворяет теореме Лагранжа на отрезке [x₁; x₂], т.е. существует хотя бы одна точка c Î (x₁; x₂), в которой выполняется равенство:

f(x₂) – f(x₁) = f' (c) × (x₂ – x₁).

Если f '(x) > 0 для любых xÎ (a; b), то f '(c) > 0. Поэтому f(x₂) – f(x₁) > 0, т.е. из условия x₂ > x₁ следует неравенство f(x₂) > f(x₁). А так как x₁ и x₂ –любые значения из промежутка (a; b), то функция y = f(x) возрастает на этом промежутке.

Если для любых , то . Поэтому , то есть из условия x₂ > x₁ следует неравенство f(x₂) < f(x₁). Так как x₁ и x₂ любые значения из промежутка (a; b), то функция y = f(x) убывает на этом промежутке.

Теорема доказана.

Экстремумы функции

Доказательство. 1)Для определённости рассмотрим случай, когда функция y = f(x) в точке x₀ имеет максимум и в этой точке существует производная. Тогда из определения максимума для любого x, принадлежащего окрестности точки x₀ f(x₀) > f(x).

Отсюда следует, что для любого Dx ≠ 0 справедливо неравенство: f(x₀+Dx) – f(x₀) < 0. Разделим это неравенство на Dx, получим:

при Dx > 0:

при Dx < 0:

Перейдём к пределам:

Так как существует, то:

Аналогично рассматривается случай, когда x₀ – точка минимума.

2) Если f '(x₀) не существует или равна ¥, то точка x₀ может быть точкой экстремума функции.

Например, функция y = имеет минимум при x = 0, хотя y'(0) не существует (рис. 9).

Рис. 9

Теорема доказана.

с + на –, то x₀ – точка максимума,

с – на +, то x₀ – точка минимума.

Доказательство. Пусть f '(x) при переходе x через точку x₀ изменяет знак с

+ на –, т.е. f '(x) > 0 при x Î (x₀ – d; x₀) и f '(x) < 0 при x Î (x₀; x₀ + d), где d > 0 (рис. 10).

Рис. 10

1) Пусть x Î (x₀ – d; x₀). На отрезке [x; x₀] функция y = f(x) удовлетворяет теореме Лагранжа. Значит, на интервале (x; x₀) найдётся хотя бы одна точка c₁, в которой выполняется равенство:

f(x) – f(x₀) = f '(c₁)× (x – x₀),

где c₁Î (x₀ – d; x₀).

Так как f '(c₁) > 0 и x – x₀ < 0, то f(x) – f(x₀) < 0.

2) Пусть . На отрезке функция также удовлетворяет теореме Лагранжа. Значит на интервале (x₀; x) найдётся хотя бы одна точка с₂, в которой выполняется равенство:

f(x) – f(x₀) = f’(c₂)× (x – x₀),

где c₂ Î (x₀; x₀ + d).

Так как f '(c₂) < 0 и x – x₀ > 0, то f(x) – f(x₀) < 0.

Следовательно, для любого x Î (x₀ – d; x₀ + d) выполняется неравенство:

f(x₀) > f(x).

Отсюда следует, что точка x₀ является точкой максимума функции y = f(x). Аналогично рассматривается случай, когда при переходе x через точку x₀ изменяет знак с – на +. При этом точка x₀ является точкой минимума функции .

Теорема доказана.