Векторы и линейные операции над ними

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5Следующая ⇒

Вектор – это направленный отрезок прямой, обозначается или . Точка - начало вектора, точка - его конец. Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Вектор, имеющий направление вектора и длина которого равна 1, называется единичным вектором или ортом вектора и обозначается .

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Записывается так . Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

Под линейными операциями над векторами понимают операцию сложения векторов и умножение вектора на действительное число .

Суммой двух векторов и называется вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго вектора , при условии, что начало вектора и конец вектора совмещены. Обозначается сумма . Рис.4.

Рис. 4.

Такое правило сложения векторов называется правилом треугольника. Два вектора можно сложить и по правилу параллелограмма. Рис.5.

Рис. 5.

Разность двух векторов

называется третий вектор

, такой, что

. Рис.6.

Рис. 6.

Произведение вектора на число называется вектор , длина которого равна , он коллинеарен вектору и имеет направление вектора , если , и противоположное, если .

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов и является существование такого числа , что .

Линейной комбинацией векторов называется сумма произведений этих векторов на действительные числа:

(7.1).

Система векторов называется линейно независимой, если их линейная комбинация (7.1) равна нулю только при всех одновременно равных нулю.

Два вектора и образуют базис на плоскости, если любой третий вектор на плоскости можно представить в виде

(7.2).

Три вектора образуют базис в пространстве, если любой вектор этого пространства можно представить в виде:

(7.3).

Выражение (7.3) называют разложением вектора по базису из векторов , а числа называют координатами вектора в базисе . Условно это записывается .

Два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости, три некомпланарных вектора образуют базис в пространстве.

Если известны координаты векторов в некотором базисе, то линейные операции над векторами сводятся к обычным арифметическим операциям над координатами этих векторов.

Чтобы сложить два вектора нужно сложить их соответствующие координаты.

Чтобы найти разность двух векторов необходимо найти разность их соответствующих координат.

Чтобы умножить вектор на действительное число, необходимо умножить каждую его координату на это число.

Справедливы следующие утверждения. Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты. Два вектора коллинеарны, если их координаты пропорциональны.

Пример 10 . Даны векторы . Проверить, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее к нулю: . Покажем, что это равенство справедливо лишь при условии . Из равенства векторов следует:

Найдем определитель полученной однородной системы:

Следовательно, система имеет единственное решение :

а это значит, что векторы - образуют базис.

Найдем координаты вектора в этом базисе.

Запишем векторное равенство:

Переходя к координатой форме, получим:

Решив эту систему, получим:

Тогда , или в базисе .

В прямоугольной системе координат любой вектор можно представить в виде

(7.4),

где - взаимно ортогональные единичные векторы осей координат .

Координатами вектора в прямоугольной системе координат являются проекции этого вектора на соответствующие оси координат, то есть

(7.5).

- длина вектора в прямоугольной системе координат.

Углы, которые вектор образует с осями координат, принято обозначать соответственно . Косинусы этих углов называют направляющими косинусами вектора . Направляющие косинусы равны соответственно:

(7.6),

Или в координатной форме:

Для направляющих косинусов выполняется равенство

(7.7).

Если известны координаты точек то координаты вектора определяются формулами , то есть

Умножение векторов

Векторы можно умножать скалярно и векторно. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

(8.1).

Эту формулу можно записать в виде

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1. - переместительный закон.

2. - распределительный закон

4. , отсюда

5. Если , то - условие перпендикулярности векторов и

6. , - вектор силы, - вектор перемещения, - работа силы .

Если и заданы в прямоугольной системе координат , то (8.2).

Упорядоченная тройка векторов называется правой, если кратчайший поворот от вектора к вектору из конца вектора виден совершающимся против часовой стрелки. Рис.7.

Рис. 7.

Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор , длина которого равна , он перпендикулярен векторам и и направлен в ту сторону, что векторы и образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается .

Векторное произведение имеет следующие свойства:

4. Если , то

5. , где - площадь параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Если векторы и заданы в прямоугольной системе координат: и , то:

(8.3).

Если вектор силы, приложенной в точке , а радиус-вектор точки , то момент силы , относительно начала координат равен:

Смешанным произведением трех векторов и называется их векторно-скалярное произведение. Обозначается .

Если заданы координаты векторов в прямоугольной системе координат, то их смешанное произведение вычисляется по формуле:

(8.4).

Свойства смешанного произведения векторов:

1. - условие компланарности векторов;

2. - объем параллелепипеда, построенного на векторах, как на сторонах;

3. - циклическая перестановка сомножителей не меняет величины смешанного произведения;

Пример 11. Даны вершины пирамиды . Найти 1) угол между ребром и гранью ; 2) площадь грани ; 3) объем пирамиды ; 4) длину высоты, опущенной из вершины на грань .

Решение. Вычислим координаты вектора :

Угол между ребром и гранью является дополнительным углом для угла , образованного перпендикуляром, проведенным к плоскости треугольника и ребром . . Для нахождения вычислим координаты векторного произведения векторов и :

;

1) Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на сторонах и , т.е.

2) Объем пирамиды равен одной трети от объема параллелепипеда,

построенного на ребрах и . Следовательно

3) Длина высоты определяется из формулы:

; .

Ответ: ; ; ; .

Комплексные числа

Комплексным числом называется выражение

(9.1),

где и - действительные числа; - мнимая единица, определяемая равенством

или (9.2).

Число называют действительной частью комплексного числа и обозначают ; - мнимая часть комплексного числа . Ее обозначают . Если , то число называют чисто мнимым, если , то число , есть действительное число.

Два комплексных числа и называют комплексно сопряженными числами.

Два комплексных числа и считаются равными, если и . Комплексное число , если и . Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Иногда комплексное число удобнее изображать в виде вектора , начало которого совпадает с началом координат, соединяющего точку с точкой . Длина этого вектора называется модулем комплексного числа и обозначается .

Угол между осью и вектором , отсчитанный против часовой стрелки, называется аргументом комплексного числа и обозначается .

Аргумент числа определяется с точностью до слагаемого , где - целое число. Главное значение аргумента числа - значение аргумента, удовлетворяющее неравенству . Главное значение аргумента комплексного числа обозначается через : .

Запись числа в виде называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Сумма, разность комплексных чисел и умножение определяется так же, как действия над соответствующими векторами.

Суммой комплексных чисел и называется комплексное число

(9.3).

Разностью комплексных чисел и называется комплексное число

(9.4).

Произведение комплексного числа на действительное число называется комплексное число .

Произведение двух комплексных чисел и , записанных в алгебраической форме определяется как произведение двучленов:

(9.5).

Произведением двух комплексно сопряженных чисел служит действительное число

(9.6).

Деление комплексных чисел определяется, как действие обратное умножению. Частное двух комплексных чисел и определяется следующим образом:

(9.7).

Наряду с прямоугольной системой координат введем полярную систему, начало которой совпадает с началом прямоугольной системы, а полярная ось – с положительным направлением оси . Рис. 8.

Рис. 8.

Из Рис.8 следует, что:

Подставляя и в алгебраическую форму комплексного числа, получим

(9.8).

Выражение (9.8) называют тригонометрической формой записи комплексного числа , где .

Пусть даны два комплексных числа и . Записанные в тригонометрической форме:

Тогда .

(9.9).

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Если - целое положительное число, то из (9.9) следует:

(9.10).

Корнем -й степени из комплексного числа называется такое комплексное число , -я степень которого равна , т.е. .

Корень -й степени из обозначается .

Если , то равен:

(9.11).

Подставляя в (9.11) значения получим ровно различных корней -й степени из .

Пример 12. Дано комплексное число .

Записать число в алгебраической и тригонометрической формах. Найти все корни уравнения .

Решение. Запишем число в алгебраической форме:

Найдем : .

Вычислим . Тригонометрическая форма записи комплексного числа имеет вид:

Вычислим :

при

Кроме алгебраической и тригонометрической форм записи комплексного числа , применяется более короткая, так называемая показательная форма комплексного числа , согласно которой

Пусть и , тогда:

⇐ Предыдущая 1 234 5 Следующая ⇒