Алгебраическая форма записи комплексного числа. Арифметические операции с комплексными числами в алгебраической форме.

(а, b)=a+bi – алгебраическая форма записи комплексного числа.

a- действительная часть, bi - мнимая

Арифметические операции с комплексными числами в алгебраической форме:

1) Суммой (разностью) комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i называется число

z = z₁ ± z₂ = (a₁ ± a₂) + i (b₁ ± b₂).

При сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) действительные и мнимые части соответственно.

2) Произведениемдвух комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i называется число

z =z₁z₂ = (a₁a₂ – b₁ b₂ )+ (a₁ b₂ + b₁ a₂ )i.

3) Частнымот деления числа z₁ на z₂ ( z2 ≠ 0 ) называется число, z=z₁/z₂такое, что справедливо равенство z₁ = z z₂.

Чтобы разделить число z₁на z₂, следует и числитель, и знаменатель дроби умножить на число z₂сопряженное знаменателю.

4) Сопряженным комплексному числу z равное z=a+bi называют комплексное число, обозначаемое z=a-bi

5) Два комплексных числа считаются равными, если у них равны вещественные и мнимые части: a₁=a_2,b₁=b_2.

Геометрическая интерпретация комплексного числа на комплексной плоскости.

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число A+B· i можно рассматривать как пару действительных чисел(A; B). Поэтому естественно комплексное число изображать точками плоскости. В прямоугольной системе координат комплексное число Z=A+B· i изображается точкой плоскости с координатами (A; B), и эта точка обозначается той же буквой Z. Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Оно дает возможность интерпретировать комплексные числа как точки плоскости на которой выбрана система координат. Такая координатная плоскость называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, т.к. на ней расположены точки соответствующие действительным числам. Ось ординат называется мнимой осью – на ней лежат точки, соответствующие мнимым комплексным числам.

Модуль и аргумент комплексного числа.

Модулем комплексного числа z=a+bi=(a, b) называют длину радиус-вектора, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен:

Аргументом отличного от нуля комплексного числа z называют направленный угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором, изображающим данное комплексное число.

Обозначается: arg z=arg(a+bi)=φ

cosφ =a/r → a=r*cosφ; sinφ =b/r → b=r*sinφ

Свойства модуля и аргумента комплексных чисел:

z₁=r(cosφ +isinφ ); arg z₁=φ; |z₁|=r; z₁≠ 0

z₂=ρ (cosψ +isinψ ); arg z₂=ψ; |z₂|=ρ; z₂≠ 0

Модуль произведения двух комплексных чисел z₁и z₂ равен произведению модулей сомножителей.

Аргумент произведения двух комплексных чисел z₁и z₂равен сумме аргументов сомножителей.

z₁*z₂=r(cosφ +isinφ )*ρ (cosψ +isinψ )=r*ρ [cosφ cosψ +icosφ sinψ +isinφ cosψ +i²sinφ cosψ ]=r*ρ [(cosφ cosψ -sinφ sinψ )+(cosφ sinψ +sinφ cosψ )i]=r*ρ [cos(φ +ψ )+isin(φ +ψ )]

|z₁*z₂|=r*ρ =|z₁|*|z₂|

Arg(z₁*z₂)=φ +ψ =argz₁+argz₂

Модуль частного двух комплексных чисел z₁и z₂ равен частному от деления |z₁| и |z₂|

Аргумент частного двух комплексных чисел z₁и z₂равен разности аргумента делимого и делителя.

z₁/z₂=r(cosφ +isinφ )/ρ (cosψ +isinψ )=r(cosφ +isinφ )(cosψ -isinψ )/ρ (cosψ +isinψ )(cosψ -isinψ ) =r(cosφ cosψ +isinφ cosψ -icosφ sinψ -i²sinφ sinψ )/ρ [cos²ψ -(isinψ )²] =r[(cosφ cosψ +sinφ sinψ )+(sinφ cosψ -cosφ sinψ )i]/ρ [cos²ψ +sin²ψ ]=r\ρ *[cos(φ -ψ )+isin(φ -ψ )]

|z₁|/|z₂|=r/ρ; arg |z₁|/|z₂|=φ -ψ =argz₁-argz₂

Теорема об аргументе: argz=arg(a+bi)={arccos a/r, при b≥ 0; 2π -arccos a/r, при b< 0}

Тригонометрическая форма записи комплексного числа.Формула Муавра.

Для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.

z = a + bi = r(cos φ + i sin φ )

Формула Муавра формула для нахождения n-й степени комплексного числа z, представленного в тригонометрической форме z = r(cosφ + isinφ );

Извлечение корня из комплексного числа.

Для любого ненулевого комплексного числа z=r(cosφ +isinφ ) и любого n∈ N существует только n комплексных чисел n-степень каждого из которых равна z. Этими числами является: β _s= 0≤ S≤ n-1

Согласно теореме об извлечении корня из комплексного числа (β ₀)ⁿ=z

Закон инерции.

Количество положительных (отрицательных) слагаемых квадратичной формы в канонической записи не зависит от способа приведения формы к данному виду.

Число положительных канонических коэффициентов квадратичной формы называется положительным индексом инерции квадратичной формы.

Число отрицательных канонических коэффициентов квадратичной формы называется отрицательным индексом инерции квадратичной формы.

Разность между положительным и отрицательным индексами квадратичной формы называется сигнатурой квадратичной формы.

Число ненулевых канонических коэффициентов называется рангом квадратичной формы.

Понятие нормы.

Рассмотрим линейное пространство V, в котором каждому элементу х соответствует определенное неотрицательное (положительное) значение, обозначаемое ||x|| ( ||x||, |x| длина вектора х)

Норма ||х|| удовлетворяет условиям:

1. ||x|| ≥ 0 для х принадлежащих V. ||x||=0 для х=0 принадлежащее V- свойство неотрицаемости норм.

2. ||λ x||=|λ | ||x|| для λ принадлежащее |R, для х принадлежащее V- свойство однородности.

3. ||x+y||≤ ||x|| +||y|| для х, у принадлежащее V – неравенство треугольника

Линейное пространство, в котором задана норма, называют нормированным пространством.