Оптимальная численность выборки

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 9Следующая ⇒

При организации выборочного наблюдения прежде всего следует иметь в виду, что размер ошибки выборки прежде всего зависит от численности выборки n. Уменьшение средней ошибки выборки всегда связано с увеличением объема выборки, но не в прямой пропорции. Из формулы расчета средней ошибки выборки μ следует, что μ обратно пропорционально , т.е. при увеличении выборки в 4 раза ее ошибки уменьшаются лишь вдвое.

Рассмотрим формулу предельной ошибки выборки для случая повторной выборки:

Δ _x= =

Отсюда:

Численность выборки для бесповторного отбора определяется аналогично:

Используемая в формулах величина Δ _x – это абсолютная величина предельной ошибки выборки. На практике нередко задается величина не абсолютной предельной ошибки, а величина относительной погрешности выраженная в процентах к средней:

откуда

Для оценки неизвестной величины σ ²(дисперсии в генеральной совокупности) используются следующие способы:

· пробное обследование небольшого объема

· использование данных прошлых выборочных обследований, проводившихся в аналогичных целях

· если распределение признака в генеральной совокупности можно отнести к нормальному закону распределения, то σ ≈ R/6, где R – размах вариации.

Примеры решения задач

Пример 1. Проведено выборочное обследование партии заготовок деталей. При механическом бесповторном отборе 2, 5 % изделий получены следующие данные о распределении образцов по весу.

Исходные данные	Расчетные показатели
Вес изделия, г.	Число изделий	Середина интервала	xf
до 1000		987, 5	21725	-52, 5	2756, 25	60637, 5
1000-1025		1012, 5	77962, 5	-27, 5	756, 25	58231, 25
1025-1050		1037, 5	189862, 5	-2, 5	6, 25	1143, 75
1050-1075		1062, 5	90312, 5	22, 5	506, 25	43031, 25
1075-1100		1087, 5	25012, 5	47, 5	2256, 25	51893, 75
свыше 1100		1112, 5	11125	72, 5	5256, 25	52562, 5
Итого	400		416000			267500

При условии, что к нестандартной продукции относятся заготовки весом до 1000 г. и свыше 1100 г. определить пределы значения удельного веса стандартной продукции и среднего веса изделия для всей партии с вероятностью 0, 954.

Решение.

По условию n = 400. Найдем N = 400*100% / 2, 5% = 16000 шт.

Установим обобщающие показатели выборочной совокупности.

Расчет выборочной доли w.

Число стандартных единиц в выборке m = 400- (22+10) = 368, общее число единиц в выборке n = 400.

, т.е. удельный вес стандартных изделий в выборке 92%

Расчет выборочной средней . Вычислим по формуле средней взвешенной . Для этогоопределим середины интервалов. Середины крайних (открытых) интервалов определим, исходя из гипотезы равнонаполненности интервалов, т.е. принимаем границы первого интервала от 975 до 1000 г., последнего – от 1100 до 1125 г.

Средний вес изделия в выборке составляет г.

Установим средние ошибки выборки для обобщающих характеристик выборочной совокупности, пользуясь формулами для бесповторного отбора:

Для выборочной доли.

, т.е. средняя ошибка выборки для доли стандартной продукции составляет 1, 33%

Для выборочной средней.

Сначала требуется вычислить σ ²=

г., т.е. средняя ошибка выборки для средней величины составляет 1, 27 г.

Установим предельные значения для характеристик генеральной совокупности, учитывая, что вероятности 0, 954 соответствует значение коэффициента доверия t=2:

Для генеральной доли

P= w = 92 2*1, 33 (%), или 89, 34% ≤ P ≤ 94, 66%

Для генеральной средней

= = 1040 2* 1, 27 (г), или 1037, 46 г. ≤ ≤ 1042, 52 г.

Итак, с вероятностью 95, 4% доля стандартных изделий в партии находится в пределах от 89, 34% до 94, 66%, а средний вес изделия – в пределах от 1037, 46 до 1042, 52

Пример 2. По данным пробного обследования среднее квадратическое отклонение веса нарезных батонов составило 15, 4 г. Необходимо установить оптимальный объем выборки из партии нарезных батонов (2000 шт.), чтобы с вероятностью 0, 997 предельная ошибка выборки не превысила 3% веса 500-граммового батона.

Решение. Итак, по условию

σ = 15, 4 г.

= 3%