Понятие о вариационных рядах

Вариацией признака называется наличие различий в численных его значениях у отдельных единиц совокупности.

Ряды распределения, построенные по количественному признаку, называются вариационными.

Дискретный ряд распределения можно рассматривать как преобразование ранжированного (упорядоченного) ряда, при котором перечисляются отдельные значения признака и указывается их частота.

Любое распределение можно охарактеризовать с помощью накопленных частот. Накопленная частота показывает число единиц совокупности, у которых значение варианта не больше данного.

Если вместо абсолютных частот использовать частости, то аналогично получим накопленные частости.

Абсолютная плотность распределения — это частота, приходящаяся на единицу длины интервала, т.е. m_i / h_i, а относительная плотность распределения — частость, приходящаяся на единицу длины интервала, т.е. w_i / h_i, где h_i — длина i -го интервала.

Мода

Мода — это значение признака, которое чаще всего встречается в вариационном ряду. Во многих случаях эта величина наиболее характерна для ряда распределения и вокруг нее концентрируется большая часть вариантов.

Значение моды внутри модального интервала определяется по интерполяционной формуле

где x_k_–1— нижняя граница модального интервала;

h_k — длина модального интервала;

m_k_–1, m_k, m_k₊₁— частота интервала, соответственно предшествующего модальному, модального и следующего за модальным.

Для ряда с неравными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей плотности распределения. Строго говоря, мода – это значение признака, которому соответствует максимальная плотность распределения. Поэтому в формуле мод вместо частот m_k_–1, m_k, m_k₊₁ следует взять плотности распределения y_k_–1, y_k, y_k₊₁.

В этом случае значение моды

Графически моду определяют по гистограмме распределения.

Медиана

Медианой называют такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда. Таким образом, в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значения признака больше медианы, другая — меньше медианы.

Точное нахождение медианы на данном интервале осуществляется по следующей интерполяционной формуле:

где x_k_–1 —нижняя граница медианного интервала;

h_k — длина медианного интервала;

F_k_{– 1}— накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

m_k — частота медианного интервала.

Показатели вариации и способы их расчета

Для оценки колеблемости значений признака относительно средней используются характеристики рассеяния. Они различаются выбранной формой средней и способами оценки отклонений от нее отдельных вариантов. К таким показателям относятся:

• среднее линейное отклонение;

• дисперсия;

• среднее квадратическое отклонение.

Среднее линейное отклонение есть средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней величины:

для несгруппированных данных

для сгруппированных данных

где x_i — значение признака в дискретном ряду или середина интервала в интервальном распределении;

m_i — частота признака.

Чтобы избежать равенства нулю суммы отклонений от средней, используют либо абсолютные значения отклонений, либо их четные степени, например квадраты. В последнем случае мера вариации называется дисперсией и обозначается D :

для несгруппированных данных

для сгруппированных данных

Среднее квадратическое отклонение измеряется в тех же единицах, что и варьирующий признак, и исчисляется путем извлечения квадратного корня из дисперсии:

для несгруппированных данных

для сгруппированных данных

Среднее квадратическое отклонение, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от его среднего значения. Величина σ часто используется в качестве единицы измерения отклонений от средней арифметической. Отклонение, выраженное в σ, называется нормированным или стандартизированным.

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒