Исчисление средних показателей в рядах динамики

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Обобщенной характеристикой динамического ряда может служить прежде всего средний уровень ряда у . Поскольку средняя величина в данном случае рассчитывается из меняющихся во времени показателей, то она называется средней хронологической.

Так, в интервальном ряду абсолютных величин с равными периодами (интервалами) средний уровень рассчитывается как средняя арифметическая простая из уровней ряда:

где у_i — отдельные уровни ряда; п — число уровней.

Несколько по-иному рассчитывается средний уровень для моментных рядов. Например, если имеется моментный ряд, содержащий п уровней (у₁, y₂, ..., у_п) с равными промежутками между датами (моментами), то такой ряд легко преобразовать в ряд средних величин. При этом показатель (уровень) на начало каждого периода одновременно является показателем на конец предыдущего периода. Тогда средняя величина показателя для каждого периода (промежутка между датами) может быть рассчитана как полусумма значений у на начало и конец периода:

Количество таких средних будет (n — 1).

Как указывалось ранее, для рядов средних величин средний уровень рассчитывается по средней арифметической. Следовательно, можно записать

После преобразования числителя получаем

Эта средняя известна в статистике как средняя хронологическая для моментных рядов.

Средний абсолютный прирост (изменение) уровней рассчитывается как средняя арифметическая простая из отдельных цепных приростов, т.е.

или на основе накопленного абсолютного прироста за п периодов:

Наиболее часто средний темп роста рассчитывается как средняя геометрическая из цепных темпов роста, т.е. рассчитанных в каждый период по отношению к предыдущему.

Если выражать темп роста в процентах, то

Используя выражение , получаем формулу для расчета среднего коэффициента роста:

Таким образом, если средний темп (коэффициент) роста ориентирован на достижение определенного конечного уровня, используются следующие формулы:

где k_i_{/ (}_i_-1) — цепные коэффициенты роста;

п — число коэффициентов (или число периодов (лет, месяцев), за которые определяется средний коэффициент);

П — знак произведения;

y₀и y_n — соответственно начальный (базисный) и конечный абсолютные уровни.

Средние темпы прироста рассчитываются на основе средних темпов роста путем вычитания из последних 100 %:

5. Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики

Можно сказать, что динамика ряда включает три компоненты:

· долговременное движение (так называемый тренд);

· кратковременное систематическое движение (например, сезонные колебания);

· несистематическое случайное движение, вызывающее колебания уровней относительно тренда.

Существует несколько методов обработки рядов динамики, помогающих выявить основную тенденцию изменения уровней ряда, а именно: метод укрупнения интервалов, метод скользящей средней и аналитическое выравнивание.

Метод укрупнения интервалов

Простейший метод сглаживания уровней ряда — укрупнение интервалов, для которых определяется итоговое значение или средняя величина исследуемого показателя. Этот метод особенно эффективен, если первоначальные уровни ряда относятся к коротким промежуткам времени.

Метод скользящей средней

По сути метод скользящей средней несколько схож с предыдущим, но в данном случае фактические уровни заменяются средними уровнями, рассчитанными для последовательно подвижных (скользящих) укрупненных интервалов, охватывающих т уровней ряда.

Сглаживание методом скользящей средней можно проводить по любому числу членов т, но удобнее, если т — нечетное число, т. к. в этом случае скользящая средняя сразу относится к конкретной временной точке — середине (центру) интервала. Если же т — четное, то скользящая средняя относится к промежутку между временными точками: например, при сглаживании по четырем членам средняя из первых четырех уровней будет находиться между второй и третьей датой, следующая средняя –– между третьей и четвертой и т.д. Тогда, чтобы сглаженные уровни относились непосредственно к конкретным временным точкам (датам), из каждой пары смежных промежуточных значений скользящих средних находят среднюю арифметическую, которую и относят к определенной дате (периоду). Такой прием двойного расчета сглаженных уровней называется центрированием.

Недостатком метода скользящей средней является то, что сглаженный ряд «укорачивается» по сравнению с фактическим с двух концов: при нечетном т на (т — 1)/2 с каждого конца, а при четном — на т/2 с каждого конца.

Аналитическое выравнивание

Более совершенный метод обработки рядов динамики в целях устранения случайных колебаний и выявления тренда –– выравнивание уровней ряда по аналитическим формулам (или аналитическое выравнивание). Суть аналитического выравнивания заключается в замене эмпирических (фактических) уровней у_i теоретическими у_t, которые рассчитаны по определенному уравнению, принятому за математическую модель тренда, где теоретические ровни рассматриваются как функция времени: y_t = f(t).

При этом каждый фактический уровень y_t рассматривается как cумма двух составляющих: у_i =f(t) +ξ _t, где f(t)=y_t — систематическая составляющая, отражающая тренд и выраженная определенным уравнением, а ξ _t — случайная величина, вызывающая колебания уровней вокруг тренда.

Задача аналитического выравнивания сводится к следующему:

• определение на основе фактических данных вида (формы) гипотетической функции y_t = f(t), способной наиболее адекватно отразить тенденцию развития исследуемого показателя;

• нахождение по эмпирическим данным параметров указанной функции (уравнения);

• расчет по найденному уравнению теоретических (выравненных) уровней.

В аналитическом выравнивании наиболее часто используются следующие простейшие функции:

· линейная (прямая):

· показательная:

· гиперболическая:

· парабола 2-го (или более высокого) порядка:

· ряд Фурье:

Здесь у_t — теоретические (выравненные) уровни (читается: «игрек, выравненный по t»), t — условное обозначение времени (1, 2, 3, ...), а₀, a₁, а₂ — параметры аналитической функции, k — число гармоник (при выравнивании по ряду Фурье).

Выбор той или иной функции для выравнивания ряда динамики осуществляется, как правило, на основании графического изображения эмпирических данных, дополняемого содержательным анализом особенностей развития исследуемого показателя (явления) и специфики разных функций, их возможности отразить те или иные нюансы развития. Определенную вспомогательную роль при выборе аналитической функции играют также механические приемы сглаживания (укрупнение интервалов и метод скользящей средней). Частично устраняя случайные колебания, они помогают более точно определить тренд и выбрать адекватную модель (уравнение) для аналитического выравнивания.

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒