Принцип суперпозиции электро-

Статических полей. Поле диполя

Рассмотрим электростатическое поле, соз-даваемого системой неподвижных зарядов Q₁, Q₂, …, Q_n.

Результирующая сила F, дейст­вующая со стороны поля на пробный заряд Q₀, равна векторной сумме сил F_i , приложенных к нему со стороны каждого из зарядов Q _i:

. (11.6)

Согласно (11.1), F =Q₀ E и F_i=Q₀E_i, где Е - напряженность результирующего поля, а Е _i - напряженность поля, создаваемого зарядом Q_i. Подставляя последние выраже­ния в (11.1), получаем

. (11.7)

Формула (11.7) выражает принцип супер-позиции (наложения) электростатических полей.

Принцип гласит: напряженность Е результирующего поля, создаваемого систе-мой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Принцип суперпозиции позволяет рассчи-тать электростатические поля любой си­стемы неподвижных зарядов, поскольку если заряды не точечные, то их можно всегда свести к совокупности точечных зарядов.

Поле диполя. Принцип суперпозиции применим для расчета электростатического поля элект­рического диполя. Электрический диполь - система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+Q, -Q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя l. Вектор

, (11.8)

совпадающий по направлению с плечом ди-поля и равный произведению заряда на плечо l, называется электрическим момен-том диполя или дипольным моментом (рис.11.6).

 

Согласно принципу суперпозиции (11.7), напряженность Е поля диполя в произ­вольной точке

Е = Е ₊+ Е _- ,

где Е₊ и Е_- - напряженности полей, создавае-мых соответственно положительным и отри-цательным зарядами. Воспользовавшись этой формулой, рассчитаем напряжен­ность поля в произвольной точке на продолжении оси ди-поля и на перпендикуляре к середине его оси.

1. Напряженность поля на продолжении оси диполя в точке А (рис.11.7).

Как видно из рисунка, напряженность поля диполя в точке А направлена по оси диполя и по модулю равна

Е_А=Е₊-Е_- .

Обозначив расстояние от точки А до середины оси диполя через r, на основании формулы (11.2) для вакуума можно записать

.

Согласно определению диполя, l/2< < r, поэтому

.

2. Напряженность поля на перпенди-куляре, восставленном к оси из его середины, в точке В (рис.11.7). Точка В равноудалена от зарядов, поэтому

, (11.9)

где r' — расстояние от точки В до середины плеча диполя. Из подобия равнобедренных треугольников, опирающихся на плечо диполя и вектор Е_В получим

,

откуда . (11.10)

Подставив в выражение (11.10) значение (11.9), получим .

Вектор Е_В имеет направление, противопо-ложное вектору электрического момента ди-поля (вектор р направлен от отрицательного заряда к положительному).

Теорема Гаусса для электростатического

Поля в вакууме

В соответствии с формулой (11.5) поток вектора напряженности сквозь сферичес­кую поверхность радиуса r, охва-тывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре (рис.11.8), равен

.

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы.

Обобщая это выражение на систему точечных зарядов Q₁, Q₂, …, Q_n с учетом суперпозиции полей получим:

. (11.11)

Формула (11.11) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме.

Теорема гласит: поток вектора напряженно-сти электростатического поля в вакууме скво-зь произ­вольную замкнутую поверхность ра-вен алгебраической сумме заключенных внут-ри этой поверхности зарядов, деленной на e₀.

Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М. В. Остроградским (1801—1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю немецким ученым К. Гауссом (1777—1855).

В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объёмной плотностью , различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, охватывающей некоторый объём V,

.

Далее воспользовавшись теоремой Гаусса (11.11) можно записать

.

Потенциал электростатического

Поля

Тело, находящееся в потенциальном поле сил (электростатическое поле является потен-циальным), обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается работа. Работа консервативных сил совер-шается за счет убыли потенциальной энергии. Поэтому работу сил электро­статического поля можно представить как разность потенциаль-ных энергий, которыми обладает точечный заряд Q₀в начальной и конечной точках поля заряда Q:

, (11.12)

откуда следует, что потенциальная энергия заряда Q₀в поле заряда Q равна

.

Она определяется неоднозначно, а с точнос-тью до произвольной постоянной С. Если считать, что при удалении заряда в бесконеч-ность (r®¥ )потенциальная энергия обра-щается в нуль (U=0), то С=0 и потенциальная энергия заряда Q₀находящегося в поле заряда Q на расстоянии r от него, равна

. (11.13)

Для одноименных зарядов Q₀Q> 0и потенциальная энергия их взаимодействия (оттал­кивания) положительна, для разноимен-ных зарядов Q₀Q< 0и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Если поле создается системой п точечных зарядов Q₁, Q₂, ..., Q_nто работа электро-статических сил, совершаемая над зарядом Q₀ равна алгебраической сумме работ сил, обус-ловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия U заряда Q₀, находящегося в этом поле, равна сумме потен-циальных энергий U_i каждого из зарядов:

. (11.14)

Из формул (11.13) и (11.14) вытекает, что отношение U/Q₀не зависит от Q₀ и является поэтому энергетической характеристикой электростатического поля, называемой по­тенциалом:

. (11.15)

Потенциал j в какой-либо точке электро-статического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией еди-ничного положительного заряда, помещен­ного в эту точку.

Из формул (11.15) и (11.13) следует, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядом Q, равен

. (11.16)

Работа, совершаемая силами электростати-ческого поля при перемещении заряда Q₀ из точки 1 в точку 2, может быть представлена как

, (11.17)

т.е. равна произведению перемещаемого заря-да на разность потенциалов в начальной и конечной точках.

Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется рабо-той, совершаемой силами поля, при переме-щении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

Работа сил поля при перемещении заряда Q₀ из точки 1 в точку 2 может быть записана также в виде

. (11.18)

Приравняв (11.17) и (11.18), придем к выражению для разности потенциалов:

, (11.19)

где интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траек­тории перемещения.

Если перемещать заряд Q₀из произволь-ной точки за пределы поля, т.е. в бесконеч­ность, где, по условию, потенциал равен нулю, то работа сил электростатического поля, согласно (11.17), A_¥ =Q₀j, откуда

. (11.20)

Таким образом, потенциал — физическая величина, определяемая работой по переме­щению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки поля в бесконечность. Эта работа численно равна работе, совершаемой внешними силами (против сил электростатического поля) по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля.

Из выражения (11.15) следует, что единица потенциала — вольт (В): 1 В есть потен­циал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж (1 В = 1 Дж/Кл). Учитывая размерность вольта, можно показать, что единица напряженности электростатического поля действительно равна 1 В/м:

1 Н/Кл=1 Н∙ м/(Кл∙ м)=1 Дж/(Кл∙ м)=1 В/м.

Из формул (11.14) и (11.15) вытекает, что если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов:

.

⇐ Предыдущая123

Поделиться:

Популярное:

1. I. 49. Основные принципы разработки системы применения удобрений.
2. I.Сущность и принципы финн контроля
3. Аденовирусы. Характеристика возбудителей, принципы лабораторной диагностики.
4. Айкидо – это искусство внутренней гармонии и бесконфликтного харизматичного общения в жизни и в бизнесе, основанное на принципах айкидо.
5. АНТИТЕЛА. СЕРОЛОГИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ В РЕАЛИЗАЦИИ II ПРИНЦИПА ДИАГНОСТИКИ.
6. Аттестация государственных служащих: понятие, цели, задачи, функции, принципы.
7. Базовые и противоп-е принципы орг-и пр-ва.
8. Безналичные расчеты. Принципы организации системы безналичных расчетов
9. Билет 15. Цикл былин об Алеше Поповиче. Принципы создания образа богатыря в былинах ( Алеша и Тугарин, Алеша и Илья Муромец).
10. Билет 9 Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля.. Метод зон Френеля.
11. Биохимические принципы витаминотерапии
12. Бонитировка почв. Принципы, критерии и методы бонитировки. Метод Фатьянова. Показатели, используемые для бонитировки почв. Экономическая оценка земель.