Показатели асимметрии и эксцесса

Коэффициент асимметрии показывает «скошенность» ряда распределения относительно центра:

 

, (6.68)

 

где – центральный момент третьего порядка;

– куб среднего квадратического отклонения.

Для данного метода расчета: если , в распределении наблюдается правосторонняя (положительная асимметрия), если , в распределении наблюдается левосторонняя (отрицательная асимметрия)

Кроме центрального момента расчет асимметрия можно провести, используя моду или медиану:

 

либо , (6.69)

 

Для данного метода расчета: если , в распределении наблюдается правосторонняя (положительная асимметрия), если , в распределении наблюдается левосторонняя (отрицательная асимметрия) (рис. 4).

 

Рис. 4. Асимметричные распределения

 

Величина, показывающая «крутость» распределения, называется коэффициентом эксцесса:

 

, (6.70)

Если , в распределении наблюдается островершинность – эксцесс положительный, если , в распределении наблюдается плосковершинность – эксцесс отрицательный (рис. 5).

Рис. 5. Эксцессы распределения

 

Пример 5. Имеются данные о количестве овец по хозяйствам района (табл. 9).

Таблица 9

№	тыс.голов.	№	тыс.голов.	№	тыс.голов.
	2, 0		3, 0		5, 5
	2, 5		4, 0		6, 0
	2, 5		5, 5		6, 5
	3, 0		5, 5		7, 0

 

Рассчитать.

1. Среднее количество овец в расчете на одно хозяйство.

2. Моду.

3. Медиану.

4. Показатели вариации

· дисперсию;

· стандартное отклонение;

· коэффициент вариации.

5. Показатели асимметрии и эксцесса.

Решение.

1. Так как значение варианты в совокупности повторяется по несколько раз, с определенной частотой для расчета среднего значения используем формулу среднюю арифметическую взвешенную:

2. Данный ряд является дискретным, поэтому модой будет варианта с наибольшей частотой – .

3. Данный ряд является четным, в этом случае медиану для дискретного ряда находят по формуле:

То есть, половина хозяйств в исследуемой совокупности имеют количество овец до 4, 75тыс.голов. а половина свыше данной численности.

4. Для расчета показателей вариации составим таблицу 10, в которой рассчитаем отклонения , квадраты данных отклонений , расчет можно провести как по простым, так и по взвешенным формулам расчета (в примере используем простую):

Таблица 10

№
	2, 00	-2, 42	5, 84
	2, 50	-1, 92	3, 67
	2, 50	-1, 92	3, 67
	3, 00	-1, 42	2, 01
	3, 00	-1, 42	2, 01
	4, 00	-0, 42	0, 17
	5, 50	1, 08	1, 17
	5, 50	1, 08	1, 17
	5, 50	1, 08	1, 17
	6, 00	1, 58	2, 51
	6, 50	2, 08	4, 34
	7, 00	2, 58	6, 67
Итого	53, 00	0, 00	34, 42
В среднем	4, 4167

Рассчитаем дисперсию:

Рассчитаем стандартное отклонение:

Рассчитаем коэффициент вариации:

 

5. Для расчета показателей асимметрии и эксцесса построим таблицу 11, в которой рассчитаем , ,

Таблица 11

№
	2, 00	-2, 42	-14, 11	34, 11
	2, 50	-1, 92	-7, 04	13, 50
	2, 50	-1, 92	-7, 04	13, 50
	3, 00	-1, 42	-2, 84	4, 03
	3, 00	-1, 42	-2, 84	4, 03
	4, 00	-0, 42	-0, 07	0, 03
	5, 50	1, 08	1, 27	1, 38
	5, 50	1, 08	1, 27	1, 38
	5, 50	1, 08	1, 27	1, 38
	6, 00	1, 58	3, 97	6, 28
	6, 50	2, 08	9, 04	18, 84
	7, 00	2, 58	17, 24	44, 53
Итого	53, 00	0, 00	0, 11	142, 98
В среднем	4, 4167

Асимметрия распределения равна:

То есть, наблюдается левосторонняя асимметрия, так как , что подтверждается и при расчете по формуле:

В этом случае , что для данной формулы так же указывает на левостороннюю асимметрию

Эксцесс распределения равен:

В нашем случае эксцесс отрицательный, то есть наблюдается плосковершинность.

Пример 6. По хозяйству представлены данные о заработной плате работников (табл. 12)

Рассчитать моду и медиану.

Решение.

Для интервального вариационного ряда мода рассчитывается по формуле:

где модальный интервал – интервал с наибольшей частотой, в нашем случае 3600-3800, с частотой

- минимальная граница модального интервала (3600);

- величина модального интервала (200);

- частота интервала предшествующая модальному интервалу (25);

- частота следующего за модальным интервалом (29);

- частота модального интервала (68).

 

Таблица 12

Интервал по заработной плате, руб./чел.	Количество работников	Кумулятивная частота
3000-3200
3200-3400
3400-3600
3600-3800
3800-4000
Итого		-

 

Для интервального вариационного ряда медиана рассчитывается по формуле:

где медианный интервал это интервал, кумулятивная (накопленная) частота которого равна или превышает половину суммы частот, в нашем примере это 3600-3800.

- минимальная граница медианного интервала (3600);

- величина медианного интервала (200);

- сумма частот ряда (154);

- сумма накопленных частот, всех интервалов, предшествующих медианному (57);

– частота медианного интервала (68).

Пример 7. По трем хозяйствам одного района имеются сведения о фондоемкости продукции (количество затрат основных фондов на 1руб. произведенной продукции): I – 1, 29 руб., II – 1, 32 руб., III – 1, 27руб. Необходимо рассчитать среднюю фондоемкость.

Решение. Так как фондоемкость обратный показатель оборота капитала используем формулу среднюю гармоническую простую.

Пример 8. По трем хозяйствам одного района имеются данные о валовом сборе зерновых и средней урожайности (табл. 13).

Таблица 13

Хозяйство	Валовой сбор ц.	Урожайность ц/га.
I
II
III

Необходимо рассчитать среднюю урожайность по хозяйствам.

Решение. Расчет средней урожайности по средней арифметической невозможен, так как отсутствуют сведения о количестве посевных площадей , поэтому используем формулу средней гармонической взвешенной:

 

Пример 9. Имеются данные о средней урожайности картофеля на отдельных участках и количестве окучиваний (табл. 14)

Таблица 14

№ участка	число окучиваний	урожайность ц./га		№	число окучиваний	урожайность ц./га

Проведем группировку данных (табл. 15):

 

Таблица 15

Группировка участков по признаку «число прополок»

Количество прополок	Число участков	Урожайность, ц./га.	Групповая средняя
		63, 68, 69, 65, 67	66, 4
		72, 74, 70, 74, 68, 72, 73	71, 8571

1. Рассчитаем общую дисперсию выборки (табл. 16):

 

Таблица 16

№	Урожайность, ц./га
		-6, 58333	43, 3402
		-1, 58333	2, 5069
		2, 41667	5, 8403
		4, 41667	19, 5070
		0, 41667	0, 1736
		-0, 58333	0, 3403
		-4, 58333	21, 0069
		-1, 58333	2, 5069
		4, 41667	19, 5070
		-2, 58333	6, 6736
		2, 41667	5, 8403
		3, 41667	11, 6736
В среднем	69, 58333
Итого		0, 00000	138, 9167

 

2. Рассчитаем дисперсию для каждой группы:

 

I. Группа с числом окучиваний - 1(табл. 17)

Таблица 17

№	Урожайность, ц./га.
		-3, 40	11, 56
		1, 60	2, 56
		2, 60	6, 76
		-1, 40	1, 96
		0, 60	0, 36
В среднем	66, 4
Итого			23, 20

II. Группа с числом окучиваний равным 2 (табл. 18)

 

 

Таблица 18.

№	Урожайность, ц./га.
		0, 1429	0, 02
		2, 1429	4, 59
		-1, 8571	3, 45
		2, 1429	4, 59
		-3, 8571	14, 88
		0, 1429	0, 02
		1, 1429	1, 31
В среднем	71, 8571
Итого			28, 86

 

3. Рассчитаем среднюю внутригрупповую дисперсию:

.

4. Найдем межгрупповую дисперсию. В соответствии с законом сложения дисперсии:

, отсюда

5. Рассчитаем корреляционное отношение:

.

То есть, фактор, положенный в основу группировки (число окучиваний) оказывает среднее влияние на результат (урожайность).

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. II. 30. Организация земельной территории с/х предприятий и показатели эффективности ее использования.
2. II. Средние показатели ряда динамики
3. III.32. Специализация с/х предприятий и показатели ее уровня. Внутрихозяйственная специализация
4. III/5. Показатели экономической эффективности использования капитальных вложений и методика их расчета.
5. АБСОЛЮТНЫЕ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ. ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ.
6. Абсолютные и средние показатели вариации.
7. Аналитические показатели ряда динамики
8. Аналитические показатели рядов динамики. Методика расчетов и экономический смысл.
9. Баланс основных фондов. Показатели движения состояния и использования основных фондов.
10. Бедность: понятие, показатели, программы борьбы
11. Безработица: виды, причины, показатели, последствия и способы борьбы
12. Бонитировка почв. Принципы, критерии и методы бонитировки. Метод Фатьянова. Показатели, используемые для бонитировки почв. Экономическая оценка земель.