Надежность результата многократных измерений. Коэффициент Стьюдента.

Под редакцией В.Т. Волова

САМАРА 2006

УДК 537

Методические указания к выполнению лабораторных работ по физике: «Механика и молекулярная физика» для студентов всех специальностей дневной и заочной форм обучения [Текст] / Составители: Абдульманов Р. Р., Шмаков В. М., Хохлова Н. Ю., Правосудов Н. Г. – Самара: СамГАПС, 2006 – 68 с.

Утверждено на заседании кафедры «Физика и ЭТ» 26 мая 2006 года, протокол №7

Печатается по решению редакционно-издательского совета академии.

Содержит введение в измерительный практикум. Приведены краткие теоретические сведения, описания, методические указания, способы оценок погрешностей и контрольные вопросы по выполнению лабораторных работ по разделу «Механика».

Составители:

Абдульманов Рафаэль Рахимович (введение, лабораторные работы: 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10),

Шмаков Вячеслав Михайлович (лабораторная работа 6),

Хохлова Наталья Юрьевна (лабораторная работа 7),

Правосудов Николай Геннадьевич (лабораторная работа 11).

Рецензенты: зав. кафедрой «Механика» В.В. Федоров

доц. кафедры «Физика и ЭТ» Х.Д. Ламажапов

Под общей редакцией В.Т. Волова

Подписано в печать 27.09.06. Формат 60х84 1/16

Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п. л. 4, 25.

Тираж 500 экз. Заказ № 169.

Введение

Физика - экспериментальная наука. Целью эксперимента является поиск таких параметров физических явлений, которые можно измерить, получив численные значения и сравнение их с предсказаниями проверяемой теории или гипотезы. Численное значение физической величины по результатам эксперимента может быть определено лишь с некоторой точностью. Отклонение результата измерения от " истинной" величины называется погрешностью или ошибкой измерения.

Измерение какой-либо величины заключается в установлении ее численного значения (т. е. определение того, во сколько раз измеряемая величина больше (меньше) соответствующей величины, принятой за эталон) и погрешности (ошибки) измерения.

Как правило, все результаты измерений записываются в таблицу, с обязательным указанием единиц измерения. В настоящее время в учебных заведениях России, рекомендовано использовать международную систему единиц измерения (СИ).

При подстановке числовых значений в расчетные формулы все величины должны быть выражены в основных или производных единицах одной и той же системы единиц, что очень важно, так как только при этом условии в формулах не появятся коэффициенты, зависящие от выбора единиц.

Точность измерений

Виды измерений. Абсолютная и относительная погрешность

Измерения могут быть прямыми, при которых значения физической величины находят непосредственным отсчетом по шкале измерительного прибора (измерение длины линейкой, температуры термометром) и косвенными, при которых значение физической величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, измеряемыми непосредственно (определение плотности тела по отношению массы к объему, определение сопротивления проводника по отношению разности потенциалов к току и т. д.).

В зависимости от числа проведенных измерений различают однократные и многократные измерения.

Многократные измерения могут быть равноточными и неравноточными. Равноточными называют измерения, выполненные с одинаковой точностью (например, одним и тем же прибором, при одинаковых условиях).

Измерения могут быть прямыми и косвенными, однократными и многократными, равноточными и неравноточными, результаты измерений физических величин всегда являются приближенными числами. Многократные измерения записываются в таблицу с обязательным указанием единиц измерения.

Точность проведенного измерений не может превышать точность прибора, которым проводилось измерение и характеризуется двумя основными параметрами: абсолютной и относительной погрешностями.

Для характеристики каждого конкретного измерения используют его абсолютную погрешность , т.е. модуль разности между истинным значением величины и ее значением, полученным в результате измерения:

[1.1]

На практике часто истинное значение неизвестно, поэтому приходится использовать вместо него арифметическое среднее из нескольких измерений, при этом сама абсолютная погрешность также становится приближенным числом.

Абсолютная погрешность не в полной мере характеризует результат измерения. Пусть, например, в результате измерений установлено, что длина стола равна L = (100 ±1) см, а толщина его крышки d = (2 ±1) см. Хотя абсолютная погрешность измерений в этих двух случаях одинакова, ясно, что качество измерений в первом случае выше.

Качество измерений характеризуется относительной погрешностью ε, равной отношению абсолютной погрешности к значению величины х_изм, получаемой в результате измерения:

[1.2]

Абсолютная погрешность [1.1] показывает, насколько истинное значение измеряемой величины отличается от измеренного значения.

Относительная погрешность [1.2] характеризует качество измерения, т.е. насколько верно подобрано соотношение измеряемой величины и абсолютной погрешности измерения.

Виды погрешностей измерения

Погрешности измерений условно можно разделить на три основных вида:

· Грубые ошибки (промахи)

· Систематические погрешности

· Случайные погрешности

Промах (грубая ошибка) - погрешность, существенно превосходящая ожидаемое значение, в условиях данного измерения.

Промахи возникают из-за недостаточной внимательности и аккуратности, из-за неисправности приборов, неправильной записи результатов измерения и т. п. Почти всегда их можно выявить, повторяя измерения на другой аппаратуре, по другой методике или привлекая к измерению другого наблюдателя. Будем считать, что промахи своевременно выявляются и удаляются из результатов измерений.

Систематическая погрешность - погрешность, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторении измерений. Наиболее значимые причины возникновения систематических ошибок при лабораторных измерениях:

· Несовершенство измерительных приборов – инструментальная погрешность;

· Неполная разработка методики измерений, неполный учет условий опыта – методическая погрешность;

Инструментальные (приборные) погрешности вызываются несовершенством конструкции и неточностью изготовления измерительных приборов. Уменьшение инструментальной погрешности достигается применением более совершенных и точных приборов. Однако полностью устранить приборную погрешность невозможно.

Для характеристики большинства измерительных приборов используют понятие приведенной погрешности ( класса точности ).

Приведенная погрешность Е_п – это отношение абсолютной погрешности к предельному значению x_max на шкале прибора:

[1.3]

По приведенной погрешности приборы подразделяются на семь классов: 0.1; 0.2; 0.5; 1.0; 1.5; 2.5; 4. Приборы класса точности – 0.1; 0.2; 0.5 применяют для точных лабораторных измерений (прецизионных). В технике применяют приборы классов – 1.0; 1.5; 2.5; 4 (технические). Класс точности указывается на шкале прибора.

Из формулы [1.3] следует, что относительная погрешность будет минимальной, если измеряемая величина дает отброс стрелки индикатора на всю шкалу.

Инструментальная погрешность приборов для измерения линейных размеров указана на самом приборе в виде абсолютной погрешности или в виде цены деления.

Для оптимального использования прибора его предел выбирают так, чтобы значение измеряемой величины попадало в конец шкалы.

Если класс точности прибора не указан, то принято считать инструментальную погрешность равной половине цены деления шкалы прибора. Как правило, цена деления шкалы приборов согласована с инструментальной погрешностью.

Методические погрешности вызываются недостатками применяемого метода измерений, несовершенством теории физического явления и неточностью расчетной формулы, используемой для нахождения измеряемой величины. Сюда же можно отнести погрешности связанные с неполным учетом условий опыта.

Методические погрешности можно уменьшать путем совершенствования метода измерений, а также введения уточнений в расчетную формулу.

Погрешность взвешивания . При прямом измерении массы на весах инструментальную погрешность можно принять равной:

[1.4]

Например, тело уравновешено на весах при помощи гирь, номинальные (указанные на гирях) значения которых равны 50 г, 20 г, 100 мг и выводятся из равновесия разновесом в 10 мг. Следовательно, абсолютная погрешность взвешивания: m = 70, 100 ± 0, 005 г.

Погрешность взвешивания, при обычных (не прецизионных) измерениях, выбирается равной половине массы наименьшей гири, лежащей на весах (либо выводящей ее из равновесия).

Случайная погрешность - погрешность, изменяющаяся случайным образом при повторении равноточных измерений, и вызвано действием случайных факторов, которые невозможно устранить.

Для уменьшения случайных погрешностей увеличивают количество опытов и в качестве результата используют среднее значение. При этом происходит частичная компенсация случайных отклонений результатов измерений в сторону завышения и в сторону занижения.

Линейка

Всем известная линейка пригодна для измерения размеров самых разнообразных тел. Однако по ней можно отсчитать только целое число миллиметров. А миллиметр при современных точностях обработки стал весьма большой единицей длины, поэтому линейку применяют только для грубых измерений. Совмещение двух линеек в более совершенном инструменте - штангенциркуле позволяет измерить размеры с точностью до 0, 1 мм

Штангенциркуль

Штангенциркуль состоит из основной шкалы. -линейки с миллиметровыми делениями и перемещающейся по ней подвижной рамки. Измеряемый предмет зажимают между губками. По штрихам основной шкалы прочитывают целое число миллиметров. К рамке прикреплена маленькая линейка - нониус - с десятью делениями, которые равны девяти делениям основной шкалы, т. е. каждое деление нониуса на 0, 1 мм меньше деления основной шкалы. По штрихам нониуса определяют, на сколько десятых долей миллиметра измеряемый размер превышает целое число миллиметров. Для этого устанавливают, какой из штрихов нониуса совпал со штрихом основной шкалы.

Внимание! Запрещается перемещать подвижную рамку за пределы штанги во избежание потери плоской пружины.

При внутренних измерениях к показаниям штангенциркуля по основной и нониусной шкалам прибавляется толщина губок, которая указана на них.

Микрометр

Главная деталь микрометра - точный микрометрический винт, ввернутый в гайку, называемую стеблем. При одном обороте винт перемещается вдоль своей оси на 0, 5 мм. На винте неподвижно насажен барабан, на котором по окружности нанесено 50 делений. Таким образом, поворот винта на одно деление равен 1/50 полного оборота, или 0, 01 мм ( 0.5мм/50 =0, 01 мм ). Вращая барабан, зажимают измеряемую деталь между винтом и пяткой скобы и производят отсчет. Сначала по верхней шкале стебля определяют, сколько миллиметров, начиная от первого штриха, прошел барабан. Если барабан перешел штрих на нижней шкале стебля, определяющей полумиллиметры, то это означает, что дробная часть размера больше 0, 5 мм. А на сколько размер детали превышает целое число полумиллиметров, устанавливают по тому штриху барабана, который совпадает с продольной линией на стебле.

Оформление отчета по лабораторной работе.

Лабораторные работы оформляются на двойном тетрадном листе из четырех страниц. Содержание отдельных страниц отчета:

Первая страница – титульная. Должна включать: номер и полное название лабораторной работы, кто выполнял (Ф. И. О. студента, номер группы), дата выполнения.

Вторая страница – описание работы. Включает: цель работы, перечень оборудования и принадлежностей, рисунки, основные и расчетные формулы.

Третья страница – результаты работы. Многократные измерения всех физических величин должны быть представлены в виде таблицы. Все необходимые вспомогательные вычисления выполняются на черновиках и не входят в отчет. Итоговый результат должен быть представлен в виде отдельной строки под таблицей измерений (как правило, с указанием доверительного интервала, надежности и относительной погрешности). Графики строятся на отдельных листах и вкладываются в отчет.

Четвертая страница – выводы и обсуждение результатов. Необходимо подготовить устные или письменные ответы по всем контрольным вопросам, к данной лабораторной работе.

Теоретическое введение

Плотностью элементарной части тела называется предел отношения элементарной массы ∆ m к элементарному объему ∆ V, при ∆ V→ 0:

[1]

Для однородного тела ( ) определение плотности сводится к нахождению отношения его массы к объему: .

Внимание! Для экспериментального определения плотности тел правильной геометрической формы (цилиндр и параллелепипед) в данной работе необходимо предварительно провести прямые измерения их линейных размеров и массы, пользуясь рекомендациями, приведенными во введении §1. Раздел: «Расчет погрешности прямых измерений».

Доверительной вероятностью (надежностью) P(∆ x) серии измерений называется вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в данный интервал (выражается в долях единицы или в процентах).

Интервал (< x> ± ∆ x) в который попадает истинное значение искомой величины с заданной доверительной вероятностью, называют доверительным интервалом (интервалом надежности).

Определение плотности цилиндра.

Плотность однородного цилиндрического тела можно рассчитать по формуле:

, [2]

где d – диаметр цилиндра, h – его высота.

Для нахождения относительной погрешности косвенного определения плотности цилиндра, прологарифмируем расчетную формулу:

и возьмем дифференциал. Заменив дифференциалы приращениями, получим:

или , [3]

где - средние значения массы, диаметра и высоты, найденные в результате прямых измерений, соответственно, а - относительные погрешности их прямых измерений.

Среднее значение плотности можно найти, подставляя в расчетную формулу [2] средние значения массы, диаметра и высоты:

[4]

Определение плотности параллелепипеда.

Плотность однородного тела в форме параллелепипеда можно рассчитать по формуле:

, [5]

где l – длина тела, d –ширина тела, h – его высота. Действуя аналогично предыдущему случаю, находим:

или , [6]

где - средние значения массы, длины, ширины и высоты, найденные в результате прямых измерений, соответственно, а - относительные погрешности их прямых измерений.

Среднее значение плотности:

[7]

Интервал надежности при определении плотности во всех случаях, можно вычислить по формуле:

[8]

где - относительная погрешность определения плотности, вычисляемая по формуле [3] для цилиндра, или по формулу [6] для параллелепипеда.

Результат записывается в виде:

, при р =, , [9]

где величина надежности p принимается равной наименьшей надежности прямых измерений массы и линейных размеров.

Выполнение работы

Приборы и принадлежности:

1. Тела для измерения (цилиндр и параллелепипед)

2. Весы и разновесы

3. Штангенциркуль

4. Микрометр

При всех расчетах принять: р = 0, 95

1. Ознакомиться с устройством и принципом действия штангенциркуля и микрометра, научиться взвешивать тела с помощью рычажных весов.

2. Определить инструментальные погрешности измерения для каждой измеряемой величины и внести в строку ∆ _и в заголовке таблицы, под соответствующей величиной.

3. Провести прямые измерения (не менее 3-х раз) всех линейных размеров и массы тел, в указанных в таблице единицах измерения, результаты измерений заносить в верхнюю часть таблицы, в строку, соответствующей номеру опыта.

4. Рассчитать, по формуле: , средние арифметические значения всех измеренных величин и занести в соответствующую строку, в нижней части таблицы, в соответствующем столбце.

5. Рассчитать, по формуле: , среднеквадратичные отклонения (СКО) каждой величины и занести в соответствующую строку, в нижней части таблицы, в соответствующем столбце.

6. Рассчитать, по формуле: , случайную погрешность измерения каждой величины и занести в соответствующую строку, в нижней части таблицы, в соответствующем столбце.

7. Рассчитать, по формуле: , полную погрешность каждой величины и занести в соответствующую строку, в нижней части таблицы, в соответствующем столбце.

8. Рассчитать, по формуле: , относительные ошибки измерения каждой величины и занести в строку ε, в нижней части таблицы, в соответствующем столбце.

9. По формулам [3], [4], [8] (для цилиндра) или [6], [7], [8] (для параллелепипеда) рассчитать среднюю плотность и интервал надежности и округленный результат записать в строку ρ, в последней строке таблицы, в соответствующем столбце.

10. Сравнить полученные значения плотности с табличными значениями плотностей твердых тел, и определить из какого вещества могут быть изготовлены опытные образцы.

Таблица результатов

№ опыта		Цилиндр	Параллелепипед
Величина	m, г	d, мм	h, мм	m, г	l, мм	d, мм	h, мм
∆ _и








, кг/м³	ρ =, при р =, ,	ρ =, при р =, ,

Контрольные вопросы

1. Виды и источники погрешностей измерения.

2. Каковы инструментальные погрешности линейки, штангенциркуля и микрометра?

3. Как перевести плотность, выраженную в г/мм³ в кг/м³?

4. Чем характеризуется точность измерения?

5. Что называют доверительной вероятностью (надежностью) и доверительным интервалом (интервалом надежности) результата измерения?

6. Как использовать таблицу коэффициентов Стьюдента для расчета доверительного интервала по заданной надежности?

7. Как рассчитать погрешность прямого измерения массы и линейных размеров тел?

8. Как рассчитать погрешность косвенного измерения плотности цилиндра, параллелепипеда?

9. Как округлять и правильно записать результат измерений?

Литература Введение к данному пособию §1, §3.

Плотность некоторых металлов и сплавов (18⁰С)

Металл или сплав		Металл или сплав
Алюминий Бронза Вольфрам Дюралюминий Железо Золото Латунь	2, 7 8, 7-8, 9 19, 3 2, 7-2, 9 7, 88 19, 32 8, 3-8, 7	Медь Нихром Свинец Серебро Сталь Цинк Чугун	8, 96 8, 1-8, 4 11, 35 10, 5 7, 7-7, 9 7, 15 7, 0

Теоретическое введение

Материальная точка – тело, размерами которого можно пренебречь, в условиях данной задачи. Для описания положения материальной точки в каждый момент времени, необходимо выбрать систему отсчета – совокупность таймера, тела отсчета и жестко связанную с ним систему координат. В общем случае движение материальной точки, в выбранной системе отсчета, описывается мгновенным значением радиус-вектора или координат (кинематическими уравнениями движения):

или:

Линия, описываемая движущейся в пространстве точкой, называется траекторией, которая может быть прямолинейной или криволинейной.

Длина участка траектории, пройденного телом за промежуток времени называется длиной пути и является скалярной функцией от времени: .

Вектор, проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени, называется перемещением . При прямолинейном равномерном движении модуль перемещения равен пройденному пути

Для характеристики движения вводится векторная величина – скорость . Вектором средней скорости называется отношение перемещения точки к промежутку времени , за который это перемещение произошло:

[1]

При средняя скорость стремится к предельному значению – производной перемещения по времени, которое называется мгновенной скоростью :

[2]

Если скорость не изменяется с течением времени , то движение называется равномерным. В этом случае (при движении тела вдоль оси x):

, [3]

где - координата точки в начальный момент времени.

При неравномерном движении, аналогично [1] и [2], вводят понятие векторов среднего и мгновенного ускорения :

и [4]

Если ускорение не изменяется во времени , то движение называется равноускоренным. В этом случае (при прямолинейном движении тела вдоль оси x):

и [5]

где и - координата и скорость точки в начальный момент времени .

Состояние движения тела (скорость и ускорение) может измениться только в результате взаимодействия с другими телами, мерой которого является вектор силы , и может быть установлено, при помощи законов Ньютона:

1. Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока векторная сумма, действующих на него сил равна нулю, т. е.:

a. , если [6]

2. Ускорение, приобретаемое телом, прямо пропорционально векторной сумме сил, действующих на него, и обратно пропорционально массе тела (где - импульс тела, m = const.):

a. или [7]

3. Все тела, при взаимодействии друг с другом, действуют друг на друга с равными по величине и противоположно направленными силами:

[8]

Описание установки и расчетные формулы.

Для проверки законов прямолинейного движения в данной работе используется машина Атвуда, схема которого изображена на рис. 1.

Машина Атвуда состоит из укрепленного на штативе 1 блока 2, через который перекинута нить с подвешенными на ней одинаковыми грузами 3 и 4. Масса этих грузов может быть увеличена добавочными небольшими грузами (перегрузками) 5. На верхнем кронштейне установлен также электромагнитный тормоз, предназначенный для фиксации исходного положения грузов. Установка работает от блока электронного ФМ 1/1, на передней панели которого расположено табло электронного секундомера, соединенного с фотодатчиком 6.

При одинаковой массе М грузов 3 и 4 система находится в состоянии безразличного равновесия. Если на груз 4 положить перегрузок 5 (массы m), то вся система начнет двигаться равноускоренно, с ускорением .

На груз 3 и груз 4 с перегрузом 5 будут действовать две силы: сила тяжести и сила натяжения нити (рис.2). При этом, если масса блока невелика по сравнению с массой груза М и трение мало, то раскручивание блока практически не требует приложения к нему крутящего момента, и силы натяжения нити по обе стороны блока равны.

Применив второй закона Ньютона к каждому грузу можно записать уравнения движения системы (все силы, направленные так же как вектор ускорения, считаем положительными):

где а – ускорение системы, Т – натяжение нити, g – ускорение свободного падения.

Решение системы уравнений дает:

[9]

С другой стороны, полагая в [5] и , находим:

или [10]

где , коэффициент пропорциональности между и величиной перемещения грузов h (тангенс угла наклона графика функции , см. Введение, §1).

Теоретическое значение ускорения грузов, рассчитанное по формуле [9], можно сравнить с экспериментальным значением [10].

Изменяя величину перемещения грузов h и измеряя время движения t, находим ряд точек . Строим точки на графике , откладывая по горизонтальной оси , по вертикальной оси . Если кинематическое уравнение [10] выполняется, то экспериментальные точки должны хорошо ложиться на прямую линию, исходящую из начала координат.

Следуя рекомендациям пографическому определению параметров прямой линии, приведенным во введении в разделе «Графическая обработка результатов измерений», проводим наилучшую прямую, определяем тангенс угла ее наклона к горизонтальной оси и находим величину экспериментального ускорения грузов :

[11]

Интервала надежности полученного значения (рис. 3) можно оценить по правилам расчета погрешности косвенного измерения, зная инструментальную погрешность определения расстояния h (миллиметровая линейка, мм ) и погрешность определения времени t (электронный таймер, с):

[12]

где - коэффициент Стьюдента, зависящий от выбора интервала надежности (доверительной вероятности) p и числа измерений n.

Записываем результат в виде: ; p = ;

Выполнение работы.

Приборы и принадлежности:

1. Машина Атвуда с фотодатчиком и таймером

2. 2 груза на нити, добавочные грузы.

Перед началом работы отрегулируйте положения основания при помощи регулировочных опор, используя для визуального наблюдения в качестве отвеса нить с грузами так, чтобы груз 4 с дополнительными грузами 5 при опускании проходил по центру рабочего окна фотодатчика.

1. Определить массы грузов М и перегрузов m₁ и m₂. Перекинуть через блок 2 нить с двумя грузами массой М каждый и убедиться, что система находится в положении безразличного равновесия.

2. Установить правый груз в крайнем верхнем положении и нажать кнопку «СЕТЬ» электронного блока, для включения и фиксации стартового состояния.

3. Положить на правый груз 4 добавочный груз (перегруз) m₁. Определить по шкале пройденный грузом путь как расстояние от нижней плоскости груза в верхнем положении до оптической оси фотодатчика.

4. Нажать кнопку «ПУСК» блока и записать пройденный грузом путь h и время движения грузов t в соответствующий столбец таблицы.

5. Повторить измерения 5 раз, изменяя высоту подъема груза в верхнем положении.

6. Построить график и найти среднее значение как тангенс угла наклона построенной прямой линии по формуле [11] и оценить интервал надежности по формуле [12] (полагая и , где и - наибольшие их значения в таблице).

7. Рассчитать теоретическое ускорение грузов по формуле [10] и рассчитать относительную погрешность экспериментального и теоретического значений по формуле:

8. Повторить измерения и расчеты п.п. 3-7 с другим добавочным грузом (перегрузом) – m₂.

Таблица результатов

№ опыта	Перегрузок m₁=	Перегрузок m₂=
h, мм	t, с		h, мм	t, с





	; p =	; p =

Контрольные вопросы.

1. Материальная точка, система отсчета, система координат.

2. Траектория, путь и вектор перемещения материальной точки.

3. Вектора средней и мгновенной скорости и ускорения точки.

4. Какое движение называется равномерным? Равноускоренным? Зависимость V(t) и x(t) при равномерном и равноускоренном движении точки.

5. Основные законы динамики.

6. Вывести рабочую формулу для определения теоретического ускорения грузов в данной работе.

7. Как по графику определить среднее значение экспериментального ускорения и найти для него интервал надежности?

Литература. Курс общей физики под ред. Савельева И. В. т. 1.

Теоретическое введение

12 3 4 5 Следующая ⇒