Алгоритм построения ФСР для ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Фундаментальная система решений ЛОДУ с постоянными коэффициентами строится на основе характера корней характеристического уравнения.

1. Если действительный корень характеристического уравнения кратности , то ему соответствует ЛНЗ решений:

2. Если комплексно-сопряженная пара корней характеристического уравнения кратности , то ей соответствует ЛНЗ решений:

Совокупность всех ЛНЗ решений, соответствующих корням характеристического уравнения, образуют ФСР.

Типовой пример

Найти общее решение уравнения: .

► Характеристическое уравнение

имеет корни

Корень действительный и простой. Для комплексно-сопряженных корней находим значения . Согласно алгоритму, составляем ФСР: . Общее решение однородного уравнения имеет вид:

◄

Типовой пример

Найти общее решение уравнения: .

► Характеристическое уравнение

имеет следующие корни: .

Корни действительные и простые. Для комплексно-сопряженных корней находим значения . Применяя алгоритм, получаем ФСР ; составляем общее решение: .◄

В частности, характеристическое уравнение для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка

является квадратным: . Поэтому общее решение уравнения может иметь один из трех видов:

а) если дискриминант характеристического уравнения а его различные действительные корни, то решение уравнения выглядит как

;

б) если D = 0, характеристическое уравнение имеет один корень λ ₀, и общее решение уравнения имеет вид

;

в) при D < 0 характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни , а общее решение уравнения записывается в форме

Типовые примеры

Найти общее решение уравнения.

1) .

► Составим и решим характеристическое уравнение Значит, общее решение записывается в виде: . ◄

► Характеристическое уравнение имеет один действительный корень λ = 0 кратности 3 и два комплексно сопряженных корня: - 2 ± 3i. Так как е^{0∙ х} = 1, общее решение записывается в форме (17) и (18):

.◄

Типовой пример

Решить задачу Коши.

, , ,

► Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

, , , , .

Общее решение исходного уравнения имеет вид

Находим:

Используем начальные условия:

Решаем систему:

, , , .

Решение задачи Коши имеет вид

. ◄

Решение неоднородных линейных уравнений методом подбора

Частного решения

ТЕОРЕМА (об общем решении ЛНДУ n-го порядка)

Общее решение ЛНДУ есть сумма общего решения ЛОДУ и какого-либо частного решения неоднородного уравнения:

, где – ФСР.

Пусть требуется найти общее решение неоднородного линейного уравнения n-гопорядкас постоянными коэффициентами

Его решение представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. При некоторых специальных видах неоднородности это частное решение можно подобрать по известной схеме.

1) Если где Р_п (х) – многочлен степени п, то частное решение уравнения (19)

если число k не является корнем характеристического уравнения, или

если k – корень характеристического уравнения кратности s. Коэффициенты А₀, А₁, …, А_п можно найти методом неопределенных коэффициентов, подставив у_ч и его производные нужных порядков в уравнение.

2) При , если числа a±bi не являются корнями характеристического уравнения, частное решение имеет вид

где многочлены с неопределенными коэффициентами одной и той же степени l = max(m, n).

Если же a±bi – корни характеристического уравнения кратности s, то

Типовой пример

Найти общее решение уравнения

► Найдем общее решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет корни 0 (кратности 1) и 1 (кратности 2). Следовательно, Перейдем к поиску частного решения. Поскольку число 1 – коэффициент при х в показателе степени правой части уравнения – является корнем характеристического уравнения кратности 2, ищем у_ч в виде (21) при s = 2, n = 0:

y_ч=Ax²e^x.

Тогда

Подставим полученные выражения в исходное неоднородное уравнение:

Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид

◄

3) Если правая часть уравнения представляет собой сумму функций, для каждой из которых можно подбором найти частное решение:

то частное решение такого уравнения является суммой частных решений уравнений и

Типовой пример

Найти общее решение уравнения

► Характеристическое уравнение: Общее решение однородного уравнения: . Найдем частное решение, соответствующее неоднородности f₁(x) = 3x. Так как λ = 0 – корень характеристического уравнения, частное решение имеет вид (21)

y_ч₁ = x (Ax + B) = Ax² + Bx.

Поскольку при подстановке в уравнение получаем 2A – 2Ax – B = 3x, откуда 2A – B = 0, - 2A = 3. Решая полученную систему, находим:

Для f₂(x) = sin 2x y_ч₂ задаем по формуле (22) при a = 0, b = 2, l = 0:

y_ч₂=Asin2x+Bcos2x,

Подставим в уравнение:

Отсюда В = 0, 1, А = - 0, 2,

у_ч₂ = - 0, 2 sin2x + 0, 1 cos2x.

Таким образом, найдено общее решение исходного уравнения:

◄

Типовой пример

Найти общее решение .

► Находим корни характеристического уравнения:

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

( ; – фундаментальная система решений): .

Правая часть уравнения представляет собой сумму функций и . Для нахождения частных решений, соответствующих этим функциям, составляем:

для

S=1 (кратность числа среди корней характеристического уравнения) ;

для

(кратность числа среди корней характеристического уравнения).

т.е. – частное решение нелинейного уравнения с неизвестными коэффициентами. Подставляем в исходное уравнение:

Для выполнения тождества необходимо равенство коэффициентов:

Поэтому Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид

а его общее решение –

◄

Пример

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка находят применение при изучении, например, экономической модели паутинообразного типа с запасами товаров, в которой скорость изменения цены зависит от величины запаса. Пусть спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть , где – константы, .

В случае непрерывного анализа запасы подобно переменным непрерывно изменяются во времени. По определению, если запасы в момент времени составляют , то , и .

Пусть в каждый момент времени продавцы устанавливают цену так, что скорость возрастания пропорциональна разности запасов по сравнению с заданным уровнем :

где есть постоянная положительная величина. Дифференцируя это равенство, получим

то есть ускорение возрастания цены пропорционально скорости уменьшения запасов.

Подставляя

Это уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

Найдем общее решение этого уравнения. Характеристическое уравнение однородного уравнения имеет вид

В обычном случае , член – положителен. Введем обозначение: . Тогда корни характеристического уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

Частное решение неоднородного уравнения (правая часть которого равна константе ) также ищем в виде константы . Подставляя в уравнение, получим . Таким образом, общее решение уравнения имеет вид

+ .

Первые два слагаемых можно преобразовать как , где – вспомогательный аргумент ( ), , а третье слагаемое имеет смысл цены равновесия . Следовательно, получен закон изменения цены во времени:

Цена колеблется относительно уровня равновесия _. Амплитуда и фаза колебаний устанавливаются начальными условиями.

1 2 345