Матрицы. Линейные операции над ними и их свойства.

Матрицы. Линейные операции над ними и их свойства.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины.

Матрицы равны между собой, если равны все их соответствующие элементы.

Матрица, у которой число строк и столбцов равно – называется квадратной.

Матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Матрица, у которой все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю, называется треугольной.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой.

Умножение матриц. Транспонирование. Свойства.

Операция умножения возможна, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк другой матрицы.

где

Матрица, полученная заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной, к данной.

Определители матриц. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения.

Для нахождения определителя более высокого порядка, матрицу приводят к треугольному виду и считают произведение элементов на главной диагонали.

Свойства:

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий два одинаковых или пропорциональных ряда, равен нулю.

4. Общий множитель элементов можно вынести за знак определителя.

5. Если элементы какого-либо ряда представляют собой сумму элементов, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

6. Определитель не изменится, если прибавим ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.

7. Определитель равен сумме элементов, умноженных на соответствующее им алгебраическое дополнение.

8. Сумма произведения элементов одного ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.

Разложение определителя по элементам ряда. Теорема замещения.

Определитель равен сумме произведений элементов на соответствующее им алгебраическое дополнение.

Берем любые N чисел и умножим на алгебраическое дополнение какой-либо строки.

Обратная матрица. Достаточное условие существования обратной матрицы.

Для того чтобы матрица имела обратную достаточно того, чтобы она была невырождена.

6. Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы.

1. Перестановка местами 2 параллельных рядов матрицы.

2. Умножение элементов ряда матрицы на число отличное от нуля, отличное от нуля.

3. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.

Из элементов стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-ого порядка. Наибольший из порядков таких миноров называется рангом матрицы.

Решение линейных уравнений. Решение невырожденых систем.

Метод Гаусса.

Сначала следует привести систему к треугольному (ступенчатому) виду, а затем ступенчато решить.

Формула Крамера.

Подсчитать определитель матрицы А.

Затем матрицей B заменить первый столбец матрицы А, подсчитать определитель и разделить его на detA, так мы получим x₁. То же самое проделать со 2-ым и 3-им столбцом.

Решение произвольных систем. Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r уравнений, из которых составлен базисный минор. Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называются главными и остаются слева, а остальные называются свободными и переносятся в правую часть уравнения. Найдя главные через свободные, получим общее решение системы.

Угол между прямыми.

;

Угол между прямыми.

Дано: прямые L₁ и L₂ с угловыми коэффициентами

Требуется найти угол между прямыми:

Поверхности вращения.

Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнение этой кривой запишутся в виде:

Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой L вокруг оси Oz.

Возьмем на поверхности точку

M (x; y; z). Проведем через точку

М плоскость, перпендикулярную

оси oz, и обозначим точки

пересечения ее с осью oz

и кривой L соответственно O₁ и N.

Обозначим координаты точки

N (0; y₁; z₁). Отрезки O₁M и O₁N

являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому O₁M = O₁N. Но O₁M = (x²+y²)^0.5, O₁N=|y₁|.

Следовательно, |y₁|=(x²+y²)^0.5 или y₁=±(x²+y²)^0.5. Кроме того, очевидно, z₁=z.

Следовательно – искомое уравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точка М этой поверхности и не удовлетворяет координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.

Если существует предел

, то

Применим к функциям f(x) и φ (x) теорему Коши для отрезка [x₀; x], лежащего в окрестности точки x₀, тогда

, где с лежит между x₀ и х.

При x→ x₀ величина с также стремится к х₀; перейдем в предыдущем равенстве к пределу:

Так как , то .

Поэтому

(предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует)

Правило Лопиталя, при ∞ / ∞.

Пусть функции f(x) и φ (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x₀(кроме точки x₀), в этой окрестности

Если существует предел

, то

Неопределенности вида 0∙ ∞ ; ∞ -∞ ; 1^∞; ∞ ⁰; 0⁰ сводятся к двум основным.

Например, 0∙ ∞

Пусть f(x)→ 0, φ (x)→ ∞ при х→ х₀