Характеристическое уравнение.

ОЛДУ второго порядка имеет вид: y¢ ¢ +ay¢ +by=0. (1)

Решение уравнения (1) будем искать в виде у(х)= е^кх; тогда у¢ (х)=ке^кх, у¢ ¢ (х)=к²е^кх. Подставим в уравнение (1):

к²е^кх+аке^кх+bе^кх=0. разделим обе части уравнения на е^кх (е^кх¹ 0):

к²+ак+b=0. (2)

Очевидно, для того чтобы функция у(х)=е^кх была решением уравнения (1), необходимо и достаточно чтобы к являлось решением уравнения (2), которое называют характеристическим уравнением ОЛДУ (1).

В процессе решения уравнения (2) возможен один из трех вариантов:

- корни уравнения являются различными действительными числами;

- корни уравнения являются равными действительными числами;

- корни уравнения являются различными комплексными числами.

I. Случай различных действительных корней.

Пусть к₁ и к₂ различные действительные корни характеристического уравнения к²+ак+b=0.

Рассмотрим функции и . Очевидно, каждая из них является решением ОЛДУ (1). Докажем, что у₁(х) и у₂(х) образуют ФСР. Составим для них определитель Вронского:

Пример. у¢ ¢ -2у¢ -3у=0.

Составим и решим характеристическое уравнение: к²-2к-3=0. к₁=3, к₂=-1. Тогда общее решение данного ОЛДУ имеет вид: .

II. Случай кратных корней.

Пусть характеристическое уравнение к²+ак+b=0 имеет два равных корня: к₁=к₂=к, . Тогда функция является решением ОЛДУ (1). Покажем, что функция так же является решением этого ОЛДУ.

, , .

Следовательно, является решением ОЛДУ.

Покажем, что функции и образуют ФСР.

. Следовательно, функции и образуют ФСР, а следовательно, общее решение ОЛДУ в этом случае имеет вид: .

III. Случай комплексно-сопряженных корней.

Если определитель D< 0, то квадратное уравнение имеет комплексные корни к₁ и к₂, причем

к₁=a+bi, к₂=a-bi. Тогда ОЛДУ будет иметь два решения:

и . Имеет место формула Эйлера: .

Тогда , .

Рассмотрим функции и .

. Полученные функции являются решениями ОЛДУ по свойству 2. Проверим, образуют ли данные функции ФСР.

Таким образом, функции образуют ФСР. Тогда общее решение ОЛДУ в случае различных комплексных корней характеристического уравнения имеет вид: .

Пример. Решить ОЛДУ второго порядка 1) у¢ ¢ -2у¢ +у=0; 2) у¢ ¢ +у¢ +у=0.

1) Составим и решим характеристическое уравнение: к²-2к+1=0. к₁=к₂=1. Тогда общее решение данного ОЛДУ имеет вид: .

2) Составим и решим характеристическое уравнение: к²+к+1=0. D=-3< 0,

. Тогда общее решение ОЛДУ имеет вид:

Решение ОЛДУ более высоких порядков.

Пусть необходимо решить ОЛДУ n-го порядка y⁽ⁿ⁾+a_n_-1y⁽ⁿ^-1)+ a_n_-2y⁽ⁿ^-2)+…+a₁y¢ +a₀y=0. (1)

Характеристическим уравнением данного ОЛДУ будем называть уравнение вида:

kⁿ+a_n_-1kⁿ^-1+ a_n_-2kⁿ^-2+…+a₁k+a₀=0 (2)

Уравнение (2) является уравнением n-ой степени, поэтому имеет ровно n корней. Возможны следующие случаи:

- к – действительный корень кратности s. Тогда этому корню будут соответствовать s решений: . (*)

- число a+bi является корнем характеристического уравнения кратности m, тогда число a-bi так же является корнем характеристического уравнения кратности m. Таким образом, этим 2m корням будут соответствовать 2m решений:

(**)

ОЛДУ (1) будет иметь общее решение: , где C_i – некоторое число, y_i – решение из (*) или (**).

Пример. y^v-2y^IV+ 2y¢ ¢ ¢ -4y¢ ¢ +y¢ -2y=0.

Составим и решим характеристическое уравнение: к⁵-2к⁴+2к³-4к²+к-2=0.

к⁴(к-2)+2к²(к-2)+(к-2)=0,

(к-2)(к⁴+2к²+1)=0,

(к-2)(к²+1)²=0,

к₁=2, к₂=к₃=i, k₄=k₅=-i.

Решение НЛДУ с постоянными коэффициентами.

I. Метод вариации.

Рассмотрим уравнение y¢ ¢ +ay¢ +by=f(x). Пусть у₁(х) и у₂(х) образуют ФСР уравнения y¢ ¢ +ay¢ +by=0. Тогда – общее решение уравнения y¢ ¢ +ay¢ +by=0.

Метод вариации (Лагранжа) заключается в том, что решение НЛДУ y¢ ¢ +ay¢ +by=f(x) в виде (**), где С₁(х) и С₂(х) – некоторые пока неизвестные функции.

Потребуем, чтобы (*)

Найдем у¢ _он и у¢ ¢ _он и подставим их в уравнение, чтобы найти неизвестные функции С₁(х) и С₂(х).

таким образом, чтобы функция (**) была решением уравнения y¢ ¢ +ay¢ +by=f(x), должны выполняться следующие условия:

(***)

Система (***) является системой линейных уравнений относительно неизвестных С¢ ₁(х) и С¢ ₂(х). Так как функции у₁(х) и у₂(х) образуют ФСР, то они являются линейно независимыми, а следовательно определитель системы (определитель Вронского для данных функций) отличен от 0. Тогда системна (***) имеет единственное решения, найдя которое и проинтегрировав, найдем функции С¢ ₁(х) и С¢ ₂(х).

Пример. Решить ДУ .

Характеристическое уравнение, соответствующее ДУ имеет вид: к²+1=0, корнями этого уравнения являются комплексные числа i и –i. Тогда ФСР уравнения составляют функции у₁(х)=cosx и у₂(х)=sinx.

Общее решение уравнения будем искать в виде у=С₁(х)× cosx+ С₂(х)× sinx.

Составим и решим соответствующую систему:

; Сложив уравнения системы, получим С¢ ₂(х)=1, тогда С¢ ₁(х)=-tgx.

; .

Таким образом, .

1 234 5