II. Нахождение частного решения НЛДУ по виду правой части.

Рассмотрим уравнение y¢ ¢ +ay¢ +by=f(x). Общее решение этого уравнения будет представлять собой сумму общего решения соответствующего однородного ЛДУ и частного решения данного НЛДУ: у_он=у_оо+у_чн. Вопрос о нахождении общего решения соответствующего однородного ЛДУ уже был рассмотрен, поэтому рассмотрим нахождение частного решения данного НЛДУ в случае если функция f(x) имеет специальный внешний вид.

I. Пусть f(x)=e^a^xP_n(x), где P_n(x) – многочлен n-ой степени от х, a – некоторое число.

Возможны два случая:

- a – не корень характеристического уравнения, тогда частное решение имеет вид: у_чн=R_n(x)× e^a^x, где R_n(x)– многочлен той же самой степени от х, что и в правой части;

- a – корень характеристического уравнения кратности s, тогда частное решение имеет вид: у_чн=R_n(x)× х^s× e^a^x, где R_n(x)– многочлен той же самой степени от х, что и в правой части.

II. Пусть f(x)=e^a^x(P_n(x)cosbx+Q_m(x)sinbx), где P_n(x) – многочлен n-ой степени от х, Q_m(x) –многочлен m-ой степени от х, a – некоторое число.

Возможны два случая:

- (a+bi) не является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение имеет вид: у_чн= e^a^x(R_p(x)× cosbx+K_p(x)sinbx), где R_p(x), K_p(x)– многочлены степени р от х, причем p=max(n, m);

- (a+bi) является корнем характеристического уравнения кратности s, тогда частное решение имеет вид: у_чн= e^a^xx^s(R_p(x)× cosbx+K_p(x)sinbx), где R_p(x), K_p(x)– многочлены степени р от х, причем p=max(n, m).

Пример.

Решить НЛДУ второго порядка: y¢ ¢ -3y¢ +2y=(x²+х)е^3х.

Найдем общее решение соответствующего ОЛДУ y¢ ¢ -3y¢ +2y=0. составим и решим характеристическое уравнение: к²-3к+2=0, к₁=2, к₂=1. Тогда у_оо=С₁е^2х+С₂е^х.

Найдем частное решение данного НЛДУ. Функция f(x)=(x²+х)е^3х является функцией специального вида f(x)=e^a^xP_n(x), при P_n(x)= x²+х – многочлен второй степени от х, a=3 не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение будем искать в виде у_чн=(Ах²+Вx+С)× e³^x. Найдем значения неопределенных коэффициентов А, В, С.

у¢ _чн=(2Ах+В)× e³^x+3(Ах²+Вx+С)× e³^x= e³^x(3Ах²+(2А+3В)х+В+3С);

у¢ ¢ _чн=(6Ах+2А+3В)× e³^x+3(3Ах²+(2А+3В)х+В+3С)× e³^x= e³^x(9Ах²+(12А+9В)х+2А+6В+9С).

Подставим полученные значения в уравнение:

e³^x(9Ах²+(12А+9В)х+2А+6В+9С)-3e³^x(3Ах²+(2А+3В)х+В+3С)+2(Ах²+Вx+С)× e³^x=(x²+х)е^3х;

9Ах²+(12А+9В)х+2А+6В+9С-9Ах²-(6А+9В)х-3В-9С+2Ах²+2Вx+2С= x²+х;

2Ах²+(6А+2В)х+2А+3В+2С=x²+х;

так как многочлены, стоящие в левой и правой частях уравнения, равны при любых значениях переменной, то коэффициенты при соответствующих степенях х также должны быть равны; тогда

таким образом, частное решение НЛДУ имеет вид: .

Общее решение НЛДУ имеет вид:

Пример. Решить НЛДУ второго порядка: y¢ ¢ +9y=6cos3x.

Найдем общее решение соответствующего ОЛДУ y¢ ¢ +9y=0. Составим и решим характеристическое уравнение: к²+9=0, к₁=3i, к₂=-3i. Тогда у_оо=С₁cos3x+С₂sin3x.

Найдем частное решение данного НЛДУ. Функция f(x)=6cos3x является функцией специального вида f(x)=e^a^x(P_n(x)cosbx+Q_m(x)sinbx), при P_n(x)=6, Q_m(x)=0 – многочлены нулевой степени от х, a=0, b=3, число (a+bi) является корнем характеристического уравнения кратности 1, поэтому частное решение будем искать в виде у_чн=e⁰^xx¹(Аcos3x+Вsin3x), или у_чн=x(Аcos3x+Вsin3x). Найдем значения неопределенных коэффициентов А, В.

у¢ _чн=Аcos3x+Вsin3x+ x(-3Аsin3x+3Вcos3x);

у¢ ¢ _чн=-3Аsin3x+3Вcos3x-3Аsin3x+3Вcos3x+x(-9Аcos3x-9Вsin3x)=

=(-6A-9Bx)sin3x+(-9Ax+6B)cos3x.

Подставим полученные значения в уравнение:

(-6A-9Bx)sin3x+(-9Ax+6B)cos3x+9x(Аcos3x+Вsin3x)=6cos3x;

(-6A-9Bx+9Bx)sin3x+(-9Ax+6B+9Ax)cos3x=6cos3x;

-6Asin3x+6Bcos3x=6cos3x;

Таким образом, частное решение НЛДУ имеет вид: у_чн=xsin3x.

Общее решение НЛДУ имеет вид: у_он=С₁cos3x+С₂sin3x+ xsin3x.

Замечание 1. у каждого из рассмотренных методов есть свои преимущества и свои недостатки.

1. Метод вариации не зависит от вида правой части НЛДУ, однако этот метод достаточно трудоемкий

2. Преимуществом второго метода является простота, однако этот метод применим к ограниченному числу ДУ со специальной правой частью.

Замечание 2. Рассмотренные выше методы решения НЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами применяются и при решении НЛДУ высших порядков.

Пример. Решить НЛДУ четвертого порядка: y^IV-3y¢ ¢ =9x².

Найдем общее решение соответствующего ОЛДУ y^IV-3y¢ ¢ =0. Составим и решим характеристическое уравнение: к⁴-3к²=0, к₁=k₂=0, .

Тогда , или .

Найдем частное решение данного НЛДУ. Функция f(x)=9x² является функцией специального вида f(x)=e^a^xP_n(x), при P_n(x)=9x² – многочлен второй степени от х, a=0 является корнем характеристического уравнения кратности 2, поэтому частное решение будем искать в виде у_чн=(Ах²+Вx+С)× х², или у_чн=Ах⁴+Вx³+Сх². Найдем значения неопределенных коэффициентов А, В, С.

у¢ _чн=4Ах³+3Вx²+2Сх;

у¢ ¢ _чн=12Ах²+6Вx+2С;

у¢ ¢ ¢ _чн=24Ах+6В;

y^IV_чн=24А.

Подставим полученные значения в уравнение:

24А-3(12Ах²+6Вx+2С)=9x²;

-36Ах²-18Вx+24А-6С=9x²;

таким образом, частное решение НЛДУ имеет вид: у_чн=Ах⁴+Вx³+Сх² .

Общее решение НЛДУ имеет вид:

Пример. Решить НЛДУ третьего порядка: .

Найдем общее решение соответствующего ОЛДУ . Составим и решим характеристическое уравнение: к³-2к²-к+2=0, к²(к-2)-(к-2)=0, (к²-1)(к-2)=0, к₁=-1, к₂=1, к₃=2. .

Функция не является функцией специального вида. Поэтому применим метод Лагранжа. Общее решение НЛДУ будем искать в виде .

Примем , . Тогда

Подставим полученные значения в ДУ:

То есть . Получим систему относительно неизвестных С¢ ₁(х), С¢ ₂(х), С¢ ₃(х):

решив эту систему, найдем Проинтегрировав каждое из полученных равенств, найдем значения функций С₁(х), С₂(х), С₃(х) и запишем общее решение НЛДУ.

II. Примеры решения заданий практической части.

Найти частное решение дифференциального уравнения (решить задачу Коши).

а)

Решение.

1. Данное дифференциальное уравнение относится к уравнениям I типа, допускающих понижение порядка.

разделим переменные: ; ; проинтегрируем обе части: ; . Повторим проделанные действия еще раз:

; ; ; .

Воспользовавшись начальными условиями, определим значения С₁ и С₂.

; ; С₁=0;

; ; С₂=0.

Таким образом, частным решением является функция .

Ответ: .

б) .

Решение.

1. Данное уравнение относится к III типу дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка. Понизим порядок уравнения с помощью замены , тогда .