Дифференциальные уравнения высших порядков.

Лабораторная работа №14

Дифференциальные уравнения высших порядков.

I. Краткие теоретические сведения.

1.1. Основные понятия.

 

Определение. Если порядок дифференциального уравнения выше первого, то такие дифференциальные уравнения будем называть дифференциальными уравнениями высших порядков. То есть F(x, y, y¢, y¢ ¢, …, y^(n-1), y⁽ⁿ⁾)=0. (1)

Причем, в это уравнение производные порядка ниже чем n могут не входить, а вхождение y⁽ⁿ⁾ обязательно.

Если уравнение (1) разрешить относительно старшей производной, то получим уравнение вида y⁽ⁿ⁾=f(x, y, y¢, y¢ ¢, …, y^(n-1)) (2)

Каждый раз при решении ДУ первого порядка мы получали произвольную постоянную С, которая возникала в процессе интегрирования. При решении ДУ n–го порядка (n> 1), очевидно, придется интегрировать n раз. И каждый раз в результате интегрирования будем получать новую постоянную С_i. Поэтому решение ДУ (2) будет иметь вид: у=j(х, С₁, С₂, …, С_n) (3)

Для нахождения решения задачи Коши в случае ДУ n–го порядка одного начального условия будет недостаточно, так как в этом случае нельзя будет найти n неизвестных единственным образом. Для этого начальных условий должно быть n.

 

Определение. Решением задачи Коши называют решение следующей задачи: найти решение ДУ (1), удовлетворяющее начальным условиям:

(4)

 

Определение. Функция у=j(х, С₁, С₂, …, С_n) называется общим решением ДУ (1), если:

1. " ( С₁, С₂, …, С_n) j(х, С₁, С₂, …, С_n) является решением задачи ДУ (1).
2. " ( )Î Г (некоторая область, в которой определена f) $! (С₁, С₂, …, С_n) – набор произвольных постоянных, такой что

j(х₀, С₁, С₂, …, С_n)=у₀

j¢ (х₀, С₁, С₂, …, С_n)=у¢ ₀

j¢ ¢ (х₀, С₁, С₂, …, С_n)= у¢ ¢ ₀

----------------------------

j ^(n-1)( х₀, С₁, С₂, …, С_n)=y^(n-1)₀

 

Теорема. (о решении задачи Коши)

Пусть функция f(x, y, y¢, y¢ ¢, …, y^(n-1)) определена и непрерывна по всем своим переменным в некоторой области Г. В этой области непрерывны функции по всем своим переменным. Тогда в этой области существует единственное решение задачи Коши (4).

 

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) n-го порядка называют уравнение вида: y⁽ⁿ⁾+a_n-1(x)y^(n-1)+ a_n-2(x)y^(n-2)+…+a₁(x)y¢ +a₀(x)y=f(x), (1) где у(х) – некоторая пока неизвестная функция, f(x), a_i(x) – некоторые непрерывные функции.

 

Если все a_i не зависят от х, тогда уравнение (1) называют линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами: y⁽ⁿ⁾+a_n-1y^(n-1)+ a_n-2y^(n-2)+…+a₁y¢ +a₀y=f(x). (2)

 

Если f(x)º 0, то уравнение (1) называют однороднымлинейным дифференциальным уравнением (ОЛДУ): y⁽ⁿ⁾+a_n-1(x)y^(n-1)+ a_n-2(x)y^(n-2)+…+a₁(x)y¢ +a₀(x)y=0, (3)

в противном случае – неоднороднымлинейным дифференциальным уравнением (НЛДУ).

 

Замечание. Для уравнения (1) и любых начальных условий существует единственное решение задачи Коши.

 

Свойства однородных линейных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим ОЛДУ (3) y⁽ⁿ⁾+a_n-1(x)y^(n-1)+ a_n-2(x)y^(n-2)+…+a₁(x)y¢ +a₀(x)y=0.

1. Функция уº 0 является решением ОЛДУ (3).

2. Если у₁(х) и у₂(х) являются решениями ОЛДУ (3), тогда функция у(х)=С₁у₁(х)+С₂у₂(х) является решением ОЛДУ (3).

 

Линейно-независимые функции. Определитель Вронского.

Определение. Функции j₁(х), j₂(х), …, j_n(х), хÎ Х, называются линейно зависимыми на множестве Х, если существуют такие числа С₁, С₂, …, С_n, не все из которых равны 0, такие что . Если такое равенство возможно лишь в том случае, когда все С_i=0, то функции j₁(х), j₂(х), …, j_n(х) называются линейно независимыми на множестве Х.

 

Определение. Определителем Вронского для функций у₁(х), у₂(х), …, у_n(х) называют определитель вида .

Теорема. Если функции у₁(х), у₂(х), …, у_n(х) линейно зависимы, то определитель Вронского для них равен 0: .

 

Теорема. Пусть функции у₁(х), у₂(х), …, у_n(х) являются решениями ОЛДУ (3)

y⁽ⁿ⁾+a_n-1(x)y^(n-1)+ a_n-2(x)y^(n-2)+…+a₁(x)y¢ +a₀(x)y=0. Тогда если для некоторого значения х₀ W(x₀)=0, то функции у₁(х), у₂(х), …, у_n(х) будут являться линейно зависимыми.

 

Теорема. Пусть у₁(х), у₂(х), …, у_n(х) – решения ОЛДУ (3). Тогда или определитель Вронского для этих функций W(x)=0 и у₁(х), у₂(х), …, у_n(х) линейно зависимы; или W(x)¹ 0 и функции у₁(х), у₂(х), …, у_n(х) линейно независимы.

 

Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение НЛДУ с постоянными коэффициентами.

I. Метод вариации.

Рассмотрим уравнение y¢ ¢ +ay¢ +by=f(x). Пусть у₁(х) и у₂(х) образуют ФСР уравнения y¢ ¢ +ay¢ +by=0. Тогда – общее решение уравнения y¢ ¢ +ay¢ +by=0.

Метод вариации (Лагранжа) заключается в том, что решение НЛДУ y¢ ¢ +ay¢ +by=f(x) в виде (**), где С₁(х) и С₂(х) – некоторые пока неизвестные функции.

Потребуем, чтобы (*)

Найдем у¢ _он и у¢ ¢ _он и подставим их в уравнение, чтобы найти неизвестные функции С₁(х) и С₂(х).

таким образом, чтобы функция (**) была решением уравнения y¢ ¢ +ay¢ +by=f(x), должны выполняться следующие условия:

(***)

Система (***) является системой линейных уравнений относительно неизвестных С¢ ₁(х) и С¢ ₂(х). Так как функции у₁(х) и у₂(х) образуют ФСР, то они являются линейно независимыми, а следовательно определитель системы (определитель Вронского для данных функций) отличен от 0. Тогда системна (***) имеет единственное решения, найдя которое и проинтегрировав, найдем функции С¢ ₁(х) и С¢ ₂(х).

 

Пример. Решить ДУ .

Характеристическое уравнение, соответствующее ДУ имеет вид: к²+1=0, корнями этого уравнения являются комплексные числа i и –i. Тогда ФСР уравнения составляют функции у₁(х)=cosx и у₂(х)=sinx.

Общее решение уравнения будем искать в виде у=С₁(х)× cosx+ С₂(х)× sinx.

Составим и решим соответствующую систему:

; Сложив уравнения системы, получим С¢ ₂(х)=1, тогда С¢ ₁(х)=-tgx.

; .

Таким образом, .

 

II. Примеры решения заданий практической части.

1. Найти частное решение дифференциального уравнения (решить задачу Коши).

а)

Решение.

1. Данное дифференциальное уравнение относится к уравнениям I типа, допускающих понижение порядка.

разделим переменные: ; ; проинтегрируем обе части: ; . Повторим проделанные действия еще раз:

; ; ; .

1. Воспользовавшись начальными условиями, определим значения С₁ и С₂.

; ; С₁=0;

; ; С₂=0.

Таким образом, частным решением является функция .

Ответ: .

 

б) .

Решение.

1. Данное уравнение относится к III типу дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка. Понизим порядок уравнения с помощью замены , тогда .

, , , , , , ;

Так как , то , , , , , .

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения.

2. Воспользовавшись начальными условиями, определим значения С₁ и С₂.

Так как при х=1 у¢ =0, у=1, получаем:

, , ,

, .

Следовательно, искомое частное решение имеет вид: .

Ответ: .

 

 

Решение.

1. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: , к=3 или к=-3.

а) данная функция соответствует первому специальному виду правой части f(x)=e^axP_n(x), где a=3, n=1 (степень многочлена 5-х).

a=3 является корнем кратности 1 характеристического уравнения, поэтому частное решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения будет иметь вид: или .

б) или . Данная функция соответствует второму специальному виду правой части f(x)=e^ax (P_n(x)cosbx+Q_m(x)sinbx), где a=0, b=2, n=0, m=1.

Так как a+bi=0+2i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в виде или .

Ответ: а) ; б) .

 

4. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Решение.

1. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: , к=-1 или к=4.

Тогда .

2. Правая часть исходного уравнения имеет вид , что соответствует первому специальному виду правой части f(x)=e^axP_n(x), где a=-1, n=1 (степень многочлена 6х).

a=-1 является корнем кратности 1 характеристического уравнения, поэтому частное решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения будет иметь вид: или .

Найдем неопределенные коэффициенты А и В.

,

или ;

; ; .

Подставим найденные выражения для у, у¢, у¢ ¢ в исходное уравнение: , разделим обе части уравнения на е^-х: ; перегруппируем левую часть уравнения по степеням х: ,

,

составим систему уравнений, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части:

Таким образом, частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: .

3. Общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения будет иметь вид: или .

Ответ: .

 

Лабораторная работа №14

Дифференциальные уравнения высших порядков.

12345

Поделиться:

Популярное:

1. II. Дифференциальные уравнения
2. II. ПРОЦЕСС ВЫРАБОТКИ: ФОРМИРОВАНИЕ ВЫСШИХ ФОРМ ПОВЕДЕНИЯ БЕЗ ПРИНУЖДЕНИЯ И БОЛИ
3. Возникновение самосоотносительных познавательных способностей у высших обезьян
4. Воспитание высших форм поведения
5. Генезис высших психических функций
6. Д5. Применение уравнения Лагранжа
7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СТАВКИ В ЗАРАБОТНОЙ ПЛАТЕ
8. Дифференциальные уравнения 1-ого порядка и уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка
9. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
10. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.
11. Дифференциальные уравнения и их решение