I. Краткие теоретические сведения.

1.1. Основные понятия.

Определение. Если порядок дифференциального уравнения выше первого, то такие дифференциальные уравнения будем называть дифференциальными уравнениями высших порядков. То есть F(x, y, y¢, y¢ ¢, …, y⁽ⁿ^-1), y⁽ⁿ⁾)=0. (1)

Причем, в это уравнение производные порядка ниже чем n могут не входить, а вхождение y⁽ⁿ⁾ обязательно.

Если уравнение (1) разрешить относительно старшей производной, то получим уравнение вида y⁽ⁿ⁾=f(x, y, y¢, y¢ ¢, …, y⁽ⁿ^-1)) (2)

Каждый раз при решении ДУ первого порядка мы получали произвольную постоянную С, которая возникала в процессе интегрирования. При решении ДУ n–го порядка (n> 1), очевидно, придется интегрировать n раз. И каждый раз в результате интегрирования будем получать новую постоянную С_i. Поэтому решение ДУ (2) будет иметь вид: у=j(х, С₁, С₂, …, С_n) (3)

Для нахождения решения задачи Коши в случае ДУ n–го порядка одного начального условия будет недостаточно, так как в этом случае нельзя будет найти n неизвестных единственным образом. Для этого начальных условий должно быть n.

Определение. Решением задачи Коши называют решение следующей задачи: найти решение ДУ (1), удовлетворяющее начальным условиям:

(4)

Определение. Функция у=j(х, С₁, С₂, …, С_n) называется общим решением ДУ (1), если:

" ( С₁, С₂, …, С_n) j(х, С₁, С₂, …, С_n) является решением задачи ДУ (1).
" ( )Î Г (некоторая область, в которой определена f) $! (С₁, С₂, …, С_n) – набор произвольных постоянных, такой что

j(х₀, С₁, С₂, …, С_n)=у₀

j¢ (х₀, С₁, С₂, …, С_n)=у¢ ₀

j¢ ¢ (х₀, С₁, С₂, …, С_n)= у¢ ¢ ₀

----------------------------

j ⁽ⁿ^-1)( х₀, С₁, С₂, …, С_n)=y⁽ⁿ^-1)₀

Теорема. (о решении задачи Коши)

Пусть функция f(x, y, y¢, y¢ ¢, …, y⁽ⁿ^-1)) определена и непрерывна по всем своим переменным в некоторой области Г. В этой области непрерывны функции по всем своим переменным. Тогда в этой области существует единственное решение задачи Коши (4).

Уравнения, допускающие понижение порядка.

1.2.1. Уравнение вида у⁽ⁿ⁾=f(x).

Решим уравнение у⁽ⁿ⁾=f(x).

; ; ;

; ; …; .

Пример. .

Проинтегрируем последовательно четыре раза обе части уравнения.

; ;

; ; ; ; .

1.2.2. Уравнение вида y(n)=f(x, y(к), y(к+1), …, y(n-1)).

Рассмотрим уравнение y⁽ⁿ⁾=f(x, y^(к), y^(к+1), …, y⁽ⁿ^-1)) (5)

Порядок этого уравнения можно понизить, сделав замену z=y⁽^k⁾. Тогда z¢ =y^(k+1), z¢ ¢ =y^(k+2), …,

z^(n-(k+1))=y^(n-1), z^(n-k)=y⁽ⁿ⁾. Тогда уравнение (5) примет вид z⁽ⁿ^-^k⁾=f(x, z, z¢, z¢ ¢, …, z⁽ⁿ^-(^k⁺¹⁾⁾) (6)

Решением этого уравнения, если таковое существует, является функция

z=j( х, С₁, С₂, …, С_n_-_k) (7)

То есть y⁽^k⁾ =j( х, С₁, С₂, …, С_n_-_k) (8)

Решив уравнение (8) к-раз последовательно проинтегрировав обе части, получим уравнение у=Ф(х, С₁, С₂, …, С_n).

1.2.3. Уравнение вида y(n)=f(y, y¢, y¢ ¢, …, y(n-1)).

Рассмотрим уравнение y⁽ⁿ⁾=f(y, y¢, y¢ ¢, …, y⁽ⁿ^-1)) (9)

Особенностью этого уравнения является то, что в его правую часть не входит х. Порядок этого уравнения можно понизить, сделав замену у¢ =р, Тогда у¢ ¢ =f(y, y¢ ) (10)

Будем считать, что р=р(у) – некоторая функция от у, а у в свою очередь, есть функция от х. Тогда у¢ =р(у(х)). Найдем у¢ ¢. . Полученный результат подставим в (10): – полученное уравнение является ДУ первого порядка с двумя переменными р и у. Решая это уравнение, получим р=y(у, С₁). Так как р=у¢, получим у¢ =y(у, С₁) – уравнение с разделяющимися переменными.

; – найдем решение, проинтегрировав обе части.

Пример. Решить задачу Коши: х× у¢ ¢ ¢ -у¢ ¢ =х²+1, у(-1)=0, у¢ (-1)=1, у¢ ¢ (-1)=0.

Уравнение не содержит у и у¢. Поэтому можем сделать замену z= у¢ ¢, тогда z¢ = у¢ ¢ ¢. подставив в исходное уравнение, получаем: х× z¢ -z=х²+1. Разделив обе части на х, получим линейное ДУ первого порядка , решать которое будем методом произведения.

Пусть z=u× v, подставим в уравнение: ; . v найдем из условия . ; ; ; ; ; v=x.

Тогда ; ; ; ; ; .

Тогда z= u× v=x²+C₁x-1. то есть у¢ ¢ =x²+C₁x-1. Дважды проинтегрируем полученную функцию: ; .

Найдем решение задачи Коши:

; ;

у¢ ¢ (-1)=1-C₁-1=-С₁=0; С₁=0.

Частное решение ДУ, соответствующее заданным начальным условиям, имеет вид: .

Пример. Решить задачу Коши: у³× у¢ × у¢ ¢ +1=0, у(1)=1, .

Данное ДУ не содержит х, поэтому понизим степень уравнения путем замены у¢ =р(у). Тогда у¢ ¢ =р¢ × р. Подставим в уравнение: у³× р× р¢ × р +1=0, у³× р²× р¢ +1=0; ; ; ; ; ; ; ; . То есть . ; ; ; . Так как у(1)=1, получаем , то . Таким образом, частное решение ДУ, соответствующее начальным условиям, имеет вид: .

123 4 5