Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.

Решение.

Данное уравнение относится ко II типу дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка. Сделаем подстановку , тогда . Тогда

; разделим переменные: , ; проинтегрируем обе части равенства: , , выражая из последнего равенства я, получаем: .

Так как , получаем , , ,

Таким образом, общим решением уравнения является функция .

Ответ: .

 

1. Определить и записать структуру частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения по виду функции f(x).

, если а) , б) .

Решение.

1. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: , к=3 или к=-3.

а) данная функция соответствует первому специальному виду правой части f(x)=e^axP_n(x), где a=3, n=1 (степень многочлена 5-х).

a=3 является корнем кратности 1 характеристического уравнения, поэтому частное решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения будет иметь вид: или .

б) или . Данная функция соответствует второму специальному виду правой части f(x)=e^ax (P_n(x)cosbx+Q_m(x)sinbx), где a=0, b=2, n=0, m=1.

Так как a+bi=0+2i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в виде или .

Ответ: а) ; б) .

 

4. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Решение.

1. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: , к=-1 или к=4.

Тогда .

2. Правая часть исходного уравнения имеет вид , что соответствует первому специальному виду правой части f(x)=e^axP_n(x), где a=-1, n=1 (степень многочлена 6х).

a=-1 является корнем кратности 1 характеристического уравнения, поэтому частное решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения будет иметь вид: или .

Найдем неопределенные коэффициенты А и В.

,

или ;

; ; .

Подставим найденные выражения для у, у¢, у¢ ¢ в исходное уравнение: , разделим обе части уравнения на е^-х: ; перегруппируем левую часть уравнения по степеням х: ,

,

составим систему уравнений, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части:

Таким образом, частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: .

3. Общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения будет иметь вид: или .

Ответ: .

 

Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям (решить задачу Коши).

Решение.

1. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: , или .

Тогда .

2. Правая часть исходного уравнения имеет вид или , что соответствует второму специальному виду правой части f(x)=e^ax (P_n(x)cosbx+Q_m(x)sinbx), где a=0, b=1, n=0, m=0.

Так как a+bi=0+i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в виде или .

Найдем неопределенные коэффициенты А и В.

,

,

Подставим найденные выражения для у, у¢, у¢ ¢ в исходное уравнение:

,

,

;

составим систему уравнений, приравняв соответствующие коэффициенты в левой и правой части:

Таким образом, частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: .

3. Общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения будет иметь вид: .

4. Воспользовавшись начальными условиями, определим значения С₁ и С₂.

,

,

, ,

,

,

, , .

Таким образом, частным решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения, удовлетворяющим заданным начальным условием, является функция .

Ответ: .

 

6. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольной постоянной (методом Лагранжа).

.

Решение.

1. Найдем общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения .

, к=1 или к=-1. Тогда общее решение имеет вид: .

2. Найдем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, считая С₁=С₁(х) и С₂=С₂(х) некоторыми пока неизвестными функциями.

С₁(х) и С₂(х) определим из системы уравнений:

Для данного уравнения эта система имеет вид:

, , , , …, ;

, , , , , .

Следовательно, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения будет иметь вид: .

Ответ: .
III. Задания для практической части.

 

12345

Поделиться:

Популярное:

1. Авторитарный и тоталитарный политический режим общее и особенное
2. Архитектурно-конструктивное решение
3. Архитектурно-конструктивное решение здания
4. БИЛЕТ 12. ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ ОБРАЗ. ОБЩЕЕ И ИНДИВИДУАЛЬНОЕ В ОБРАЗЕ. ВИДЫ ОБРАЗА. ЗНАК И ОБРАЗ.
5. Больше чем половинчатое решение: разрушайте, разрушайте
6. Гибкое решение для передовой переработки
7. Глава 3. Задержки психического и речевого развития (ЗПР, ЗРР), общее недоразвитие речи (ОНР)
8. ГЛАВА VI: МИРНОЕ РАЗРЕШЕНИЕ СПОРОВ
9. Дифференциальные уравнения 1-ого порядка и уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка
10. Дифференциальные уравнения и их решение
11. Дифференциальные уравнения, их порядок, общий и частные интегралы
12. Для поиска по ключевым словам необходимо ввести в специальном окне слово или несколько слов, которые следует искать, и щелкнуть на кнопке Найти.