Ломаные линии и сплайновые кривые

Работа № 9

Ломаные линии и сплайновые кривые

Цель работы: Изучение приемов работы с ломаными линиями и сплайновыми кривыми: кривая Безье, NURBS-кривая. Редактирование сплайновых кривых. Способы создания " скульптурных" поверхностей.

Введение

В предыдущих работах рассматривались трехмерные модели, образованные как простыми, так и сложными геометрическими формами.

Достаточно вспомнить моделирование тонкой пластины и корпуса лодки. Поверхности сложной формы легко получить по эскизам ломаных и кривых (сплайновых) линий.

В этой работе мы более подробно познакомимся со способами моделирования сложных (" скульптурных" ) поверхностей, которые впервые потребовались для создания форм новых автомобилей, самолетов, космических кораблей, многочисленных бытовых приборов.

	Первый автомобиль с паровой машиной – 1769 г.
	Автомобиль – 1896 г.
	Автомобиль фирмы Рено (Renault) – 2006 г.

В работе рассматриваются новые команды и термины, смысл которых мы будем раскрывать постепенно:

Материал для чтения

1. Команда Ломаная – . Позволяет построить ломаную линию, состоящую из отрезков прямых.

2. Сплайновые кривые. Термин " сплайн" происходит от английского слова spline. Так называется гибкая полоска стали, при помощи которой чертежники проводили через заданные точки плавные кривые. Раньше подобный способ построения плавных обводов различных тел, таких как, например, корпус корабля, кузов автомобиля был довольно широко распространен в практике машиностроения. Сплайном называли и разметочную веревку, кривизна которой регулировалась подвешенными грузиками (рис. 9.1). В результате форма тела задавалась при помощи набора очень точно изготовленных сечений – плазов. Появление компьютеров позволило перейти от этого механического метода к более эффективному математическому способу задания поверхности обтекаемого тела.

Рис. 9.1.

Сплайн – это гладкая кривая, которая строится с использованием дуг и проходит через две или более контрольных точек, управляющих формой сплайна. Чем больше используется контрольных точек, тем кривая получается более гладкой.

В основе этого подхода к описанию поверхностей лежит использование сравнительно несложных формул, позволяющих восстанавливать облик изделия с необходимой точностью. Для большинства тел, встречающихся на практике, невозможно найти универсальную формулу, которая может описать соответствующую поверхность глобально или, как принято говорить, в целом. Вместе с тем аналитическое описание (описание посредством формул) внешних обводов изделия, то есть задание в трехмерном пространстве двумерной поверхности, должно быть достаточно экономным. Это особенно важно, когда речь идет об обработке изделий на станках с числовым программным управлением.

Два из наиболее общих типов сплайнов – кривые Безье и В-сплайны (би-сплайны). Типичным примером сплайнов являются также неоднородные рациональные NURBS-кривые (" нурбс" -кривые).

3. Кривая Безье – . В начале 70-х годов профессор Пьер Безье, проектируя на компьютере корпуса автомобилей " Рено", впервые применил для этой цели уравнения, описывающие кривые, впоследствии названные его именем.

Кривые Безье записываются в памяти компьютера в виде математических формул, поэтому рисунки, полученные с помощью этих кривых, обеспечивают возможность масштабирования без потери качества изображения

Обобщение методов Безье и B-сплайнов в начале 70-х годов позволило получить одно из мощнейших и универсальных средств геометрического моделирования криволинейных обводов − NURBS-технологию. Из-за своей гибкости и точности NURBS-модели могут использоваться в любом процессе иллюстрации, анимации и промышленного дизайна.

4. NURBS-кривая – . Сокращение (аббревиатура) NURBS обозначает N on- U niform R ational B - S plines, то есть неравномерные рациональные B-сплайны. Это математические объекты для задания двумерных кривых и гладких поверхностей в трехмерном пространстве.

Неоднородный (Non-Uniform) означает, что различные области объектов NURBS (кривых или поверхностей) обладают различными свойствами (весами), значения которых не равны между собой.

Рациональный (Rational) означает, что объект NURBS может быть описан с помощью математических формул.

Большинство современных САПР и систем компьютерной анимации поддерживают моделирование с использованием NURBS-кривых и поверхностей;

- с помощью NURBS ‑ кривых проще имитировать поверхности природных объектов или объектов, поверхности которых имеют сложным образом искривленные профили;

- NURBS-модели обеспечивают лучшее качество визуализации закругленных краев объектов благодаря разбиению на грани, выполняемому с использованием аналитических выражений. Например, обводы корпуса автомобиля моделируются с использованием NURBS-сплайнов.

Соотношение между сплайнами различных типов качественно иллюстрируется рис. 9.2.

Рис. 9.2.

Задание координат характерной точки.

Активизируйте характерную точку. В Строке параметров объекта появятся поля с координатами этой точки. Введите в поля координат новые значения и зафиксируйте их, нажав клавишу Enter. После этого характерная точка займет новое положение.

Удаление характерной точки.

Активизируйте характерную точку и нажмите клавишу Delete. После этого характерная точка исчезнет, и объект перестроится в соответствии с положением оставшихся характерных точек.

Примечание.

1. При редактировании характерных точек перечисленные способы можно комбинировать. Для этого следует выбрать из объектного меню команду Редактировать точки.

2. Редактирование объекта завершается нажатием кнопки Создать объект или выбором соответствующей команды из объектного меню.

Задание 2. Редактирование построенных кривых

2.1. Редактирование ломаной линии:

1) войдите в режим редактирования ломаной линии;

2) освойте все перечисленные выше приемы редактирования характерных точек;

3) прочитайте дополнительную справку и попробуйте проделать описанные действия с характерными точками ломаной линии. Обратите внимание на происходящие изменения;

4) создайте объект.

2.2. Редактирование кривой Безье:

1) войдите в режим редактирования кривой. Обратите внимание, что у каждой вершины кривой Безье появились касательные векторы, на концах которых есть управляющие точки или маркеры (рис. 9.6).

Рис. 9.6. редактирование кривой Безье.

Вы можете:

– перемещать вершины кривой Безье;

– перемещать управляющие точки (маркеры) и поворачивать касательные векторы;

– добавлять и удалять вершины кривой Безье;

2) попробуйте проделать эти операции и обратите внимание на изменения, которые происходят с кривой Безье.

2.3. Редактирование NURBS-кривой:

1) войдите в режим редактирования NURBS-кривой (рис. 9.7).

Рис. 9.7.

Панель свойств NURBS-кривой имеет вид, показанный на рис. 9.8.

Рис. 9.8. Панель свойств NURBS–кривой.

Здесь:

т − координаты выделенной (указанной) характерной точки,

Вес точки – образно говоря, сила притяжения кривой к точке;

Порядок NURBS-кривой – число, на единицу большее степени полиномов, описывающих участки, из которых состоит кривая;

Режим построения NURBS-кривой: разомкнутая/замкнутая – ;

2) попробуйте поменять параметры NURBS-кривой. Изучите влияние веса точки и порядка кривой.

Работа № 9

Ломаные линии и сплайновые кривые