Векторное поле и его характеристики: векторные линии, ротор, дивергенция.

Векторное поле и его характеристики: векторные линии, ротор, дивергенция.

Векторным полем называется векторная функция векторного аргумент.

- векторное поле в пространстве.

– векторное поле на плоскости.

Примеры векторных полей – поле сил, частиц, магнитное поле, поле тока.

Поле называется стационарным, если оно не меняется с течением времени.

Векторной линией векторного поля а в точке M называется кривая в каждой точке которой вектор аˉ (M) направлен по касательной к ней.

Например если aˉ (M)- скорость частиц в некоторой жидкости то тогда векторная линия этого поля это траектории движения частиц жидкости.

- дифференциальные уравнения векторных линий.

Дивергенцией(расходимостью) векторного поля в точке M₀ называется число:

(

В точке М которых дивергенция называется источниками векторного поля.

называется стоками векторного поля.

Ротор(вихрь) – вектор в точке М обозначается и равен он =

Ротор векторного поля является векторной вращательной составляющей этого поля например если поле скоростей движения жидкости по

Определение определенного интеграла по фигуре, его свойства, классификация определённых интегралов по фигуре.

Будем называть фигурой либо отрезок прямой, либо дугу линий на плоскости или пространстве, либо ограниченную плоскую область, либо часть поверхности в пространстве, либо пространственное тело.

Мерой фигуры будем называть соответственно, либо длину(для отрезка, дуги, линии) либо площадь(поверхность, плоская область) либо объем(пространственное тело).

Диаметром фигуры будем называть максимальное из расстояний между любыми 2 точками.

Задача о массе.

Известна плотность f(M) в каждой точке М фигуры Ф. Найти её массу.

1) Разабьем Ф на части ∆ Ф, …∆ Ф_n на каждой части выберем точку M_1…M_n.Полагаем что во всех точках части ∆ Ф_i плотность одинакова и равна f(M₁). Тогда масса части Ф_i будет приблизительно равна произведению плотности ∆ Ф_i.

∆ m≈ f_n(M₁)∆ μ _i

m≈

Если существует предел этой суммы

Где λ =max diam ∆ Ф_i

Опр. Если существует и не зависит от способа разбиения f на части и от выбора точки то он называется определенным интегралом по фигуре Ф от функции f(M) и обозначается он: .

Определённый интеграл в мат. Анализе есть определённый интеграл по фигуре где фигура это отрезок прямой.

Определённый интеграл по фигуре различают в зависимости от фигуры по которой этот интеграл вычисляется.

Соответствующие названия и обозначения этих интегралов а также их физический и геометрический смысл представлен в таблице.

Свойства определённых интегралов по фигуре.

3)Если Ф разбита на части Ф₁ и Ф₂

Определение двойного интеграла, его вычисление в ДПСК.

Двойной интеграл это определенный интеграл по фигуре где фигура ограниченная плоская область D а её мера S.

для ДПСК

В ДПСК двойной интеграл:

Область на плоскости или в пространстве называется правильной в направлении выбранной координатной оси если любая прямая параллельная этой оси пересекает границу в не более 2-ч точках.

1- Точка- точка входа. 2-точка точка выхода.

2- При вычислении двойной интеграл сводится к 2-кратному (повторному) интегралу. – 1 способ

– 2 способ

Значение двойного интеграла не зависит от того вычисляется 1 или 2 способом.

Рассмотрим вычисление 2-го интеграла 1-м способом.

1)Делаем чертеж области D- пусть она является правильной в направлении Оу.

2)Находим пределы внешнего интеграла и предельного. Для этого область D проецируем на Ох. a и b внешние пределы интегрирования.

3)Находим пределы внутрененго предела для этого в направлении оси Оу в произвольной точки проводим луч и находим точки входа M₁ и точку выхода M₂. Ординаты этих точке y₁(x) и y₂(x) будут соответствовать нижним и верхнем интеграле по у.

4) Вычисляем внутренний интеграл по переменой у считая x=const, а затем полученный результат интегрируем по х в пределах от а потом b.

Замечание. Если область неправильная в направлении осей её необходимо разбить на части.

Приложение двойного интеграла.

А) Вычисление массы материальной пластины D.

Если поверхностная плоскость в точке М- это f(M), то

В ДПСК

Б) Вычисление площади плоской области D.

в ДПСК:

В) Вычисление объема цилиндрического тела.

Тело Т в ДПСК имеет в своем основании плоскую область D в плоскости хОу. Его боковая поверхность ||oz а сверху оно ограничено поверхностью z=f(x, y).

Тогда объем тела .

Приложение тройного интеграла.

А)Вычисление объемов тел.

В ДПСК:

Б) вычисление массы материального тела. Масса тела Т с плотностью f(x, y, z) в M(x, y, z).

В ДПСК:

Формула Стокса

Формула Стокса устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру 2-го рода и поверхностным интегралом 2-го рода

Пусть и непрерывны вместе с частными производными в точках ординат поверхности σ ⁺. Пусть γ ⁺ границы σ ⁺при обходе которой граница слева

Тогда

Формула Стокса в координатной форме

Формула Грина

Формула Стокса выражает связь между криволинейным интегралом 2-го рода по замкнутому контуру на плоскости и 2-м интегралом.

Теорема Грина

Пусть функции P(xy) и Q(xy) непрерывны вместе с производными в области D; γ ⁺ граница D.

Тогда справедлива формула:

18) Формула Остроградского-Гаусса.

Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между поверхностным интегралом 2-го рода по замкнутой поверхностью и 3-м интегралом.

Теорема. О-Г. Пусть и непрерывны вместе с частными производными в пространственной области тела Т ограниченной поверхностью σ.

– в векторной форме σ ⁺ внешняя сторона σ.

Определение. Если во всех точках некоторой области T diva=0 => то поле a называется соленоидальным в области Т.

Поток соленоидального поля через любую поверхность равен 0.