Определение модуля сдвига с помощью пружинного маятника и растяжения пружины

Рассмотрим кручение при деформации цилиндрической пружины. На рис.7.3 цилиндрическая пружина диаметром и длиной , подверженная растяжению до длины двумя равными и противоположно направленными вдоль ее оси силами . Будем рассматривать пружину, как винтовую линию с пренебрежимо малым шагом, таким, что каждый ее виток перпендикулярен силам, действующим на пружину. Момент сил, действующий в любом сечении витка пружины в таком случае является постоянной величиной, равной , где - радиус пружины. Вектор момента сил направлен по касательной к витку, и следовательно, вызывает деформацию чистого кручения витков пружины. Следствием этой деформации будет изменение длины пружины, т.е. ее линейная деформация.

Для экспериментального определения жесткости пружины используют пружинный маятник. В данной работе изучаются свободные колебания груза известной массы , подвешенного на пружине. Зависимость отклонения равновесного положения груза от времени подчиняется следующему уравнению динамики: . Решение этого уравнения имеет вид: , где амплитуда и начальная фаза определяются начальными условиями; – угловая частота колебаний, период которых Т равен: , где – жесткость пружины. Зная , можно определить модуль сдвига:

, (7.7)

где – диаметр пружины, – число витков пружины, – масса подвешенного груза, – диаметр проволоки.

При определении модуля сдвига материалов методом растяжения пружины, необходимо подвешивать к пружине грузы разной массы и , измеряя соответствующие удлинения и . Модуль сдвига в этом случае будет определяться как:

, (7.8)

где – радиус пружины, – число витков пружины, – удлинение пружины, – диаметр проволоки.

Описание экспериментальной установки

Установка представлена на рисунке 7.4 и включает в себя: 1 – основание; 2 – вертикальная стойка; 3, 4, – кронштейны; 5 – кронштейн для установки фотодатчика; 6 – фотодатчик; 7 – наборный груз; 8 – устройство нагружения образца; 9 – регулируемые опоры; 10 – винт фиксации вертикальной стойки; набор образцов (пластин); набор цилиндрических винтовых пружин растяжения. На кронштейне 3 закреплен часовой индикатор 11 и две призматические опоры 12, на которые устанавливается исследуемый образец 13 (пластина). Кронштейн 4 имеет узел крепления вертикально подвешиваемых сменных пружин 14. Фотодатчик 6 предназначен для подсчета периодов колебаний груза на пружине. Устройство 8 представляет собой скобу с призматической опорой и узлом подвески наборного груза. Наборный груз 7 для устройства 8 или одной из пружин 14.

Методика эксперимента и обработка результатов

Задание 1: определение модуля Юнга методом изгиба.

1. Зарисуйте таблицы 7.1 и 7.2.

2. Измерьте штангенциркулем ширину а, толщину b и длину L исследуемых пластин в пяти разных местах, результаты занесите в табл. 7.1, найдите средние значения измеряемых параметров.

3. Установите одну из пластин на призматические опоры 12. Часовой индикатор расположите таким образом, чтобы его наконечник коснулся пластины. Повесьте скобу устройства 8 посередине пластины. Подвесьте на скобу груз массой , по шкале индикатора определите значение прогиба пластины . Занесите результат в результат в таблицу 7.2, затем снимите груз. Подвесьте на скобу груз массой и по шкале индикатора определите значение прогиба пластины . Значение прогиба определите как Опыт повторяют 5 раз для каждой из пластин. Найдите среднее значение .

4. Вычислите значение модуля Юнга в единицах СИ по формуле (см.7.6):

где , , – средняя длина, ширина, толщина пластины соответственно; – среднее значение стрелы прогиба.

5. Рассчитайте погрешность прямых измерений (ширины, толщины, длины и прогиба пластин) и косвенных измерений (модуля Юнга) для обеих пластин.

6. Сравните табличные значения модуля Юнга для пружинной стали и бронзы с полученными опытным путем. Сделайте выводы.

Таблица 7.1

№	сталь
L, мм	а, мм	b, мм





средние значения
№	бронза
L, мм	а, мм	b, мм





средние значения

Задание 2: определение модуля сдвига с помощью пружинного маятника.

1. Зарисуйте таблицу 7.3.

2. Определите число витков пружин и . Измерьте штангенциркулем диаметр пружин в пяти разных местах. Результаты занесите в табл. 7.3, найдите средние значения. ( и – диаметры проволок, из которых сделаны пружины.)

3. Повесьте одну из исследуемых пружин на кронштейн 4. На пружину подвесьте наборный груз массой 0, 15 кг. Кронштейн 4 с вертикально висящей пружиной закрепить на вертикальной стойке таким образом, чтобы наборный груз своей нижней плоскостью совпадал с оптической осью фотодатчика, закрепленного в нижней части стойки.

Таблица 7.2

№	сталь
кг , мм	кг , мм	мм





средние значения
№	бронза
кг , мм	кг , мм	мм





средние значения

Таблица 7.3

№	сталь, , м	бронза, , м
, м	, с	, с	, м	, с	, с





средние значения

4. Нажмите кнопку «СЕТЬ» блока. При этом должно включиться табло индикации.

5. Поднимите немного груз вверх и отпустите его. При этом груз начинает совершать колебательные движения на пружине. Нажмите кнопку «ПУСК» и определить время 20 колебаний груза по секундомеру, нажав кнопку «СТОП». Результаты занесите в табл. 7.3.

6. Период колебаний груза определите по формуле: , где – время колебаний, – число колебаний ( ). Повторите опыт пять раз для каждой из пружин.

7. Модуль сдвига определите по формуле: , где – масса груза, – средний диаметр пружины, – диаметр проволоки, – число витков пружины, – среднее значение периода колебаний.

8. Рассчитайте погрешность прямых измерений (диаметра пружины, времени колебаний) и косвенных измерений (периода колебаний, модуля сдвига) для обеих пружин.

9. Сравните табличные значения модуля сдвига для пружинной стали и бронзы с полученными опытным путем. Сделайте выводы.

Задание 3: определение модуля сдвига методом растяжения пружины.

1. Снимите кронштейн с фотодатчиком. Зарисуйте табл.7.4.

Таблица 7.4

№	Сталь
кг , мм	кг , мм	, мм





средние значения
№	бронза
кг , мм	кг , мм	, мм





средние значения

2. Подвесьте на одну из пружин груз массой кг. При помощи линейки определите положение нижней плоскости груза . Результат занесите в табл.7.4.

3. Подвесьте на пружину груз массой кг. При помощи линейки определите положение нижней плоскости груза . Результат занесите в табл.7.4.

4. Определите удлинение пружины по формуле: . Повторите опыт пять раз для каждой из пружин. Найдите среднее значение .

5. Определите модуль сдвига по формуле: , где –радиус пружины.

6. Рассчитайте погрешность прямых измерений (удлинение пружины) и косвенных (модуля сдвига) для обеих пружин.

7. Сравните табличные значения модуля сдвига для пружинной стали и бронзы с полученными данным методом. Сделайте выводы.

Контрольные вопросы

1. Какова область действия упругих деформаций?

2. Пояснить физический смысл модуля Юнга.

3. Сформулируйте закон Гука для деформации растяжения.

4. Объясните, что такое предел упругости.

5. Что понимают под стрелой прогиба.

6. Выведите закона Гука для деформации сдвига.

Лабораторная работа № 8