Составлены на основе действующего постановления пленума НМС МВО СССР и ГОСТ 7.32-2001 «Отчет о научно-исследовательской работе» (введен в действие с 01.07.2002 г.).

g, м× с^-2

Dg, м× с^-2

Основная задача лабораторных занятий заключается в закреплении и углублении теоретических знаний полученных студентами на лекциях, в приобретении ими навыков проведения экспериментальных измерений, обработки полученных данных и оценки погрешностей.

При проведении лабораторных работ необходимо соблюдать правила техники безопасности согласно инструкции № 11а.

Общие положения

1.1 Перед выполнением лабораторного практикума со студентами преподавателем проводится инструктаж по технике безопасности, что удостоверяется подписями преподавателя и студентов в контрольных листах по ТБ.

1.2 В процессе подготовки к очередной согласно графику лабораторной работе студенты изучают по методическим пособиям теоретические основы лабораторной работы, установку и методику выполнения, рекомендации по обработке результатов измерений.

1.3 Допуск к выполнению лабораторной работы студенты получают по результатам собеседования с преподавателем. Необходимым условием допуска является оформление трех первых разделов отчета по выполняемой лабораторной работе. На титульном листе отчета преподавателем записывается конкретное задание, определяющее условия проведения эксперимента.

1.4 Лабораторная работа выполняется бригадой из 2-3 студентов. Результаты первичных измерений каждым студентом заносятся в индивидуальный рабочий журнал (черновик) с указанием номера и названия работы, даты выполнения, условий эксперимента и т.д. Записи в рабочем журнале представляются на подпись преподавателю.

1.5 По окончании измерений экспериментальные данные обрабатываются, и окончательно оформляется отчет по лабораторной работе в соответствии с изложенными ниже требованиями.

1.6 Отчет по лабораторной работе представляется преподавателю для проверки и подписи. Допускается представление отчета на следующем занятии перед выполнением очередной по графику работы. Недопустима подпись преподавателем незаконченных, неверных или неправильно оформленных отчетов.

1.7 Студенты, не представившие на проверку отчет в указанные выше сроки, к очередной работе не допускаются.

1.8 После проверки и подписания лабораторная работа считается выполненной и должна быть защищена в процессе собеседования с преподавателем. При защите студент предъявляет преподаватель отчет по лабораторной работе и рабочий журнал.

1.9 Студенты, не защитившие более одной выполненной лабораторной работы, к дальнейшему выполнению лабораторных работ не допускаются.

1.10 Лабораторный практикум засчитывается при условии выполнения и защиты всех запланированных лабораторных работ и предъявления отчетов по всем лабораторным работам и рабочего журнала.

Структура отчета

2.1 Отчет по лабораторной работе является научно-техническим документом, который содержит исчерпывающие, систематизированные данные о выполненной лабораторной работе.

2.1 Отчет по лабораторной работе должен содержать:

- титульный лист (см. приложение 1); титульный лист может оформляться один на все отчеты по лабораторным работам, если они сброшюрованы;

- информацию о выполняемой лабораторной работе: номер, название, цель работы, задание, грифы о допуске, выполнении и защите (см. приложение 2); эта информация является первой страницей отчета по лабораторной работе;

- введение, являющееся первым разделом отчета;

- основную часть, содержащую разделы: описание установки, порядок выполнения измерений и обработку результатов измерений;

- заключение, являющееся последним разделом отчета.

Требования к содержанию разделов отчета

3.1 Введение

Раздел должен содержать краткий теоретический обзор вопросов, необходимых для выполнения лабораторной работы, необходимые физические законы и соотношения, расчетные формулы с обозначением входящих в них величин и т.п.

3.2 Описание установки

Раздел состоит из краткого технического описания и работы установки, рисунков или принципиальных схем установки с перечнем и нумерацией основных узлов, приборов и пр. деталей установки.

3.3 Порядок выполнения измерений

Раздел должен содержать описание измерительных операций работы; таблицы с результатами измерений. Раздел должен быть структурирован на пункты по измерительным операциям.

3.4 Обработка результатов измерений

Раздел должен содержать расчеты для получения результатов измерений, при необходимости в форме таблиц и графиков; расчеты по определению точности и надежности измерений (по требованиям методического руководства или по заданию преподавателя); анализ и объяснение полученных результатов в соответствии с теоретическими представлениями, сравнение измеренных величин с теоретическими или табличными значениями. Раздел должен быть структурирован на подразделы в соответствии с характером расчетов. Каждый подраздел должен иметь текстовое описание выполняемых расчетов. При необходимости подразделы структурируются на пункты.

3.5 Заключение

Раздел включает в себя выводы о проделанной работе в произвольной форме, должен быть кратким и четким.

4. Правила оформления отчета

4.1 Общие требования

4.1.1 Отчет должен быть оформлен в школьной тетради в «клеточку». Объем одного отчета 5-7 страниц рукописного текста. Если отчеты оформлены в нескольких тетрадях, обязательно брошюрование. Допускается оформление отчетов путем компьютерной распечатки форматом А4. В этом случае обязательно брошюрование отчетов по мере их выполнения.

4.1.2 Текст отчета следует писать чернилами или пастой одного (черного или синего) цвета, разборчивым подчерком, соблюдая следующие размеры полей: правое поле – 20 мм, левое поле – 20 мм.

4.1.3 Наименование разделов пишут в виде заголовков. Подчеркивание и перенос слов в заголовках не допускается. Точку в конце заголовка не ставят.

4.2 Нумерация разделов, подразделов, пунктов.

4.2.1 Разделы должны иметь порядковую нумерацию в пределах всего отчета и обозначаться арабскими цифрами. Введение и заключение не нумеруются.

4.2.2 Разделы могут состоять из подразделов или пунктов. Подразделы и пункты должны иметь порядковую нумерацию в пределах раздела. Номер подраздела (пункта) состоит из номера раздела и порядкового номера подраздела (пункта), разделенных точкой.

4.2.3 Если раздел имеет подразделы, то нумерация пунктов должна быть в пределах подраздела и номер пункта должен состоять из номера раздела, подраздела и порядкового номера пункта, разделенных точками.

4.2.4 Номера разделов, подразделов и пунктов записываются с абзацным отступом. Точка в конце номеров не ставится. Например:

2 Порядок выполнения измерений (второй раздел отчета),

3.1 Расчет результатов отдельных измерений (первый подраздел третьего раздела),

3.2.2 Расчет случайной погрешности (второй пункт второго подраздела третьего раздела).

4.3 Иллюстрации

4.3.1 К иллюстрациям относятся рисунки, чертежи, схемы, графики, диаграммы, компьютерные распечатки. Иллюстрации необходимо располагать в отчете непосредственно после текста, в котором они упоминаются, или на следующей странице.

4.3.2 Все иллюстрации подписываются внизу посредине после поясняющих надписей (если таковые имеются) словом «Рисунок» (без сокращений) и нумеруются арабскими цифрами сквозной нумерацией по всему отчету. На все иллюстрации должны быть даны ссылки в отчете. При ссылках слово «рисунок» пишется с указанием номера и не сокращается. Например: Рисунок 1 (подпись под иллюстрацией), «Схема установки приведена на рисунке 1»(ссылка в тексте).

4.3.3 Графики строятся на бумаге с координатной сеткой (возможно применение миллиметровки). Сетка вычерчивается тонкими сплошными линиями и берётся в рамку. По осям абсцисс и ординат расставляются цифры координат. На концах осей абсцисс и ординат обозначаются откладываемые физические величины и единицы их измерения, стрелки осей не наносятся. На графиках должно быть минимальное количество словесных обозначений, все пояснения следует вносить в под рисуночные подписи. Расчетные (или экспериментальные) точки графика отмечают окружностями диаметром от 2 до 3 мм или другими геометрическими фигурами. Начало координат по осям и масштаб выбираются таким образом, чтобы расчетные (экспериментальные) точки занимали все поле координатной сетки. Масштаб берется кратным 10, 5 или четным числам. Линии графиков проводятся в виде плавных кривых, усредняющих координаты расчетных (экспериментальных) точек (см. приложение 3).

4.4 Формулы и уравнения

4.4.1 Формулы и уравнения выделяются из текста в отдельную строку. Если формула не умещается в одну строку, то перенос осуществляется после знаков равенства (=) или после знаков плюс (+), минус (-), умножения (х), деления (: ), причем знак в начале следующей строки повторяется.

4.4.2 Пояснение значений символов и коэффициентов (если эти значения не пояснены ранее) следует проводить непосредственно под формулой в той же последовательности, в которой они даны в формуле.

4.4.3 Формулы и уравнения нумеруются сквозной нумерацией в пределах всего отчета арабскими цифрами в круглых скобках, помещенными в крайнем правом положении на строке. Например

(1)

где S – путь, v – скорость, t – время.

4.5 Таблицы

4.5.1 Таблицы служат для лучшей наглядности и удобства сравнения результатов измерений. Таблицы в отчете располагаются непосредственно после текста, в котором они упоминаются, или на следующей странице.

4.5.2 Таблицы подписываются словом «Таблица» с последующим номером над левым верхним углом таблицы без абзацного отступа.

4.5.3 Таблицы нумеруются сквозной нумерацией в пределах всего отчета арабскими цифрами.

4.5.4 На все таблицы в отчете должны быть ссылки. При ссылках следует писать слово «таблица» с указанием её номера и без сокращений.

4.6 Подпись и нумерация рисунков и таблиц, нумерация формул обязательны и в том случае, если они содержатся в отчете в единственном числе.

Лабораторная работа № 1.6.

Введение.

Измерить физическую величину абсолютно точно принципиально невозможно по следующим причинам:

а) несовершенство приборов;

б) влияние внешних условий на характеристики приборов;

в) влияние внешних факторов на параметры изучаемого объекта;

г) субъективные человеческие факторы.

Учитывая все выше изложенное, на практике возможно указать лишь диапазон значений, в который попадает истинное значение искомой величины с определенной вероятностью:

х ± Dх,

где Dх – абсолютная ошибка измерений.

Этот диапазон называют доверительным интервалом с соответствующей надежностью a. Абсолютную ошибку измерений определяют как разницу между истинным и измеренным значением определяемой величины. Но, так как, истинное значение не известно, то существуют разные способы оценки абсолютной погрешности. Для бесконечно большого числа измерений применяют следующие способы (на практике они применяются при условии n³ 30):

1) в качестве абсолютно погрешности Dх принимают среднеарифметическую погрешность r:

с надежностью a=0, 57, (1)

где: – средняя величина n измеренных значений искомой величины,

x_i – величина каждого измерения;

2) в качестве абсолютной погрешности Dх принимают среднеквадратичную погрешность s:

, с надежностью a=0, 68; (2)

3) в качестве абсолютной погрешности Dх принимают вероятную погрешность h:

Dх=h, с надежностью a=0, 5.

Для нахождения вероятной погрешности h все экспериментально определенные погрешности Dх_i, взятые по модулю, записывают в ряд по мере их возрастания и в качестве вероятной погрешности берут ошибку, приходящуюся на средину ряда.

Для r, s и h существуют теоретические соотношения:

; ; (3)

Все абсолютные погрешности разделяют на две большие группы:

1. Систематические погрешности. Систематическими называют погрешности, величина и знак которых не изменяются при повторении измерений.

2. Случайные погрешности. Случайными называются погрешности, величина и знак которых изменяются при повторении измерений.

Несмотря на хаотичность случайных погрешностей, их значения подчиняются определенным закономерностям. Изучить эти закономерности можно на примере математического маятника. Делается это следующим образом. По значениям периодов колебаний вычисляются абсолютные погрешности отдельно взятых измерений DT_i. В качестве примера в данной работе предлагается таблица значений абсолютных погрешностей (таблица 1). Для удобства анализа они систематизированы по порядку возрастания, а не так как они получались на опыте. Для изучения закономерностей распределения случайных погрешностей на основании экспериментальных данных строится гистограмма.

Таблица 1

	-0, 047	-0, 024	-0, 009		0, 013	0, 027
	-0, 041	-0, 021	-0, 007	0, 002	0, 014	0, 032
	-0, 039	-0, 018	-0, 006	0, 004	0, 017	0, 034
	-0, 034	-0, 016	-0, 004	0, 006	0, 019	0, 039
	-0, 032	-0, 014	-0, 003	0, 009	0, 021	0, 041
	-0, 026	-0, 013	-0, 001	0, 011	0, 023	0, 048
s=0, 025

Выбирается система координат DT0DN, причем ось DT строится как в положительном, так и в отрицательном направлении. Ось DT разбивается на отрезки равной длины, т.е. с одинаковым шагом. В качестве размера шага, как правило, выбирается половина разряда первой значащей цифры границы доверительного интервала рассчитанного по формуле (2). Таким образом, для данного примера шаг оси DT равен 0, 005с (в данном примере первая значащая цифра s равна 2, ее разряд равен 0, 01). Ось DN имеет единичный отрезок равный 1. По этой оси откладывается количество значений погрешностей, которые попадают в каждый выбранный интервал на оси DT.

Интервалы значений по оси DT выбираются равными величине разряда первой значащей цифры границы доверительного интервала рассчитанного по формуле (2). Для рассматриваемого примера величина интервала будет равна 0, 01. Первый интервал выбирается симметрично относительно оси DN. Таким образом, для данного случая первый интервал будет от –0, 005 до 0, 005. Из таблицы 1 следует, что в этот интервал попадает 6 значений погрешностей. Поэтому на этом шаге строится прямоугольник шириной равной выбранному интервалу и высотой в шесть единиц. В следующий интервал от 0, 005 до 0, 015 попадает 5 значения погрешностей, т.е. на этом интервале строится прямоугольник высотой в 5 единиц и т.д. Аналогично, строятся прямоугольники для отрицательных значений абсолютных погрешностей. Пример построенной гистограммы приведен на рис.1.

Рис.1. Гистограмма

Если шаг по оси DT устремить к нулю, все прямоугольники превратятся в вертикальные линии, а верхние концы этих линий сформируют плавную колоколообразную линию. После построения гистограммы на ней проводится плавная кривая, огибающая вершины прямоугольников, как показано на рисунке.

Аналитически появление случайных ошибок описывается законом нормального распределения Гаусса:

, (4)

где f(Dx_i) – плотность вероятности появления ошибки Dх_i, рассчитываемая по формуле:

(5)

Если по оси Y откладывать не значения DN, а выражение , то получим кривую, которая называется графиком распределения Гаусса. На рисунке 2 показаны графики распределения Гаусса с разной дисперсией.

Рис.2

Анализируя функцию распределения Гаусса и гистограмму на рисунках 1, 2 можно установить основные закономерности распределения случайных погрешностей в зависимости от их величины:

1. При большом числе измерений случайные ошибки принимают непрерывный ряд значений. Это подтверждает сплошная линия на рис.1.

2. Ошибки одинаковые по величине, но разного знака встречаются одинаково часто. Из гистограммы рис.1 видно, количество ошибок в интервале от 0, 005 до 0, 015 на положительной ветви оси DТ равно количеству ошибок в таком же интервале на отрицательной ветви оси DТ.

3. Частота появления ошибок уменьшается с увеличением их величины. Из гистограммы рис.1 видно, высота прямоугольников убывает вдоль оси DТ как в положительную, так и в отрицательную сторону.

Функция распределения случайных погрешностей Гаусса (6) позволяет установить физический смысл понятия «доверительная вероятность» или «надежность».

Если в соответствии с данными рис.1 доверительный интервал выберем от –0, 02 до 0, 02, то доверительная вероятность вычисляется путем интегрирования функции (4) в пределах выбранного интервала погрешностей:

. (6)

Тогда ответ можно будет представить в виде:

Т_ист= ±0, 02 с надежностью a = Р.

Если интервал взять «шире» от –0, 05 до 0, 05, то доверительная вероятность, посчитанная по формуле (6), возрастет. Это и понятно: чем шире доверительный интервал, тем вероятнее истинное значение периода колебаний попадет в этот интервал. Если интеграл (6) посчитать в пределах от –µ до +µ, то получим цифру 1. Это означает, истинное значение периода колебаний абсолютно достоверно попадет в интервал от –µ до +µ. Равенство интеграла (6) единице называется условием нормировки вероятностей.

Функция распределения Гаусса в виде, представленном формулой (4) применима на бесконечно малом интервале dT. В этой работе интервалы DT нельзя считать бесконечно малыми, поэтому следует вести речь о дискретных значениях функции распределения Гаусса определенных для границ рассматриваемых интервалов.

Приравняем выражения (4) и (5):

Выразим DN и перейдем к дискретным значениям:

, (7)

где Dх – величина интервала, DT – граница интервала.

Систематические погрешности смещают гистограмму вправо или влево по оси DТ, не искажая характер распределения случайных погрешностей.

Описание установки

Установка включает в себя модель математического маятника 1 и электронный блок 2 для измерений периода колебаний (рис.3). Электронный блок измеряет число периодов (индикатор 3) и время колебаний (индикатор 4). На блоке имеются кнопки управления: «СБРОС»(5) – очищает индикаторы от предыдущих показаний; «ПУСК»(6) – запускает счетчик времени; «СТОП»(7) – останавливает счет времени на заданном числе периодов.

Рис.3 Внешний вид установки

Математический маятник представляет собой тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити при условии, что размеры тела много меньше длины нити. Период такого маятника определяется формулой:

, (8)

где L – длина математического маятника.

Таблица 2

№	t_i, с	T_i, с	DT_i, с	DT_i², с²


…

Таблица 3.

, с	DT₁=r, с	DT₂=s, с	DT₃=h, с	e₁, %	e₂, %	e₃, %

Контрольные вопросы.

1. Способы оценки абсолютной погрешности.

2. Дать определения систематических и случайных ошибок.

3. Сформулировать основные закономерности распределения случайных погрешностей.

4. Записать закон распределения Гаусса и вывести из него формулу для дискретного распределения (7).

5. Дать определение математического маятника. Написать формулу определения его периода колебаний.

Лабораторная работа 1.7.

Физический маятник.

Цель работы: Изучение свободных колебаний физического маятника и определение ускорения свободного падения для данной широты местности с помощью физического маятника.

Введение

Физическим маятником называется любое твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести относительно горизонтальной оси, не проходящей через центр его масс (рис.1).

Рис.1

Равнодействующая сил тяжести _т и реакции опоры , приложенных к центру масс С, есть отклоняющая сила , направленная к положению равновесия и равная:

Знак ” – “ означает, что сила направлена в сторону противоположную отклонению от положения равновесия.

Вращающий момент этой силы относительно оси вращения О равен:

, (1)

где а – расстояние от оси вращения до центра масс тела.

По второму закону Ньютона для вращательного движения момент силы равен:

М = I·ε,

где I – момент инерции маятника относительно оси вращения О, а ε – угловое ускорение.

Подставив это выражение для момента вращающей силы в формулу (1) получим:

eI = –mgasinj.

Для малых углов отклонения значение синуса угла можно принять равным радианной мере этого угла, тогда:

eI= –mgaj. (2)

По определению:

Подставив это выражение в формулу (2), получим:

или

Введем обозначение

(3)

получим однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка

частное решение которого, полученное методом подстановки, имеет вид:

j=Acoswt, (4)

где

(5)

называется циклической частотой колебаний.

Сопоставляя (3) и (5) получаем:

(6)

В итоге из соотношений (4) и (6) следует, что движение физического маятника под действием силы тяжести представляет собой гармоническое колебание с периодом, прямо пропорциональным корню из момента инерции маятника и обратно пропорционально корню из произведения его массы на расстояние от оси вращения до центра масс.

Математическим маятником называется тело массой m, подвешенное на нерастяжимой нити длиной L, при условии, что размеры тела много меньше длины нити, и совершающее колебания относительно точки подвеса под действием силы тяжести.

Движение физического и математического маятников описывается одной и той же функцией (4), но период математического маятника определяется соотношением:

Изменяя длину математического маятника, можно добиться равенства периодов колебаний Т_ф=Т_м. Это возможно при условии:

. (7)

Длину математического маятника L, когда периоды физического и математического маятников совпадают, называют приведенной длиной физического маятника L_пр.

Так как физический маятник является телом, у которого ось вращения не совпадает с центром масс, то его момент инерции определяется теоремой Штейнера:

Момент инерции тела I относительно произвольной оси, не проходящей через его центр масс, равен сумме момента инерции тела I₀относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями:

I=I₀+ma².

С учетом теоремы Штейнера формула (6) для периода колебаний физического маятника примет вид:

(8)

Графически эта зависимость выглядит следующим образом:

Рис. 2

Из графика следует, что один и тот же период Т₀ получается при двух значениях а₁ и а₂, как двух корнях квадратного уравнения. Значения а₁ и а₂ позволяют определить приведенную длину L_пр физического маятника следующим образом.

Согласно определению из формулы (8) следует, что приведенная длина физического маятника равна:

Откуда получается квадратное уравнение вида:

a²–L_прa+ .

Выражения для обоих корней этого уравнения имеют вид:

Складывая эти формулы, получаем:

L_пр=a₁+a₂.

С учетом этого соотношения формула (6) получается в виде:

(9)

Описание установки.

Установка включает в себя модель физического маятника закрепленного на электронном блоке (рис. 3).

Рис.3

Исследуемый физический маятник представляет собой однородный металлический стержень 1, на котором крепится груз 2. Маятник подвешивают на опорную призму, находящуюся в упорной пластинке 3 стойки 4 на расстоянии а от центра масс С. Электронный блок служит для измерения периодов колебаний (индикатор “ПЕРИОД” 5) и времени колебаний (индикатор “ВРЕМЯ” 6). Следует иметь в виду, что действительное число периодов на единицу меньше, чем число показаний индикатора числа периодов. Кнопкой “Сброс” 7 индикаторы очищаются от предыдущих показаний. Кнопкой “Пуск” 7 запускаются счетчики времени и числа периодов колебаний, а кнопкой “Стоп” 7 останавливается счет времени на заданном числе периодов колебаний. С противоположной стороны к упорной пластине 3 прикреплен математический маятник с меняющейся длиной подвеса. Эта длина меняется при помощи винта 8 на упорной пластине 3. Синхронизируя колебания маятников, определяют момент инерции физического маятника.

Изменяя расстояние а от точки подвеса О до центра масс С, строят график зависимости Т=Т(а) (рис.2). Проводя на графике прямую, параллельную оси абсцисс и пересекающую построенную кривую в двух точках, находят в выбранном масштабе значения Т, а₁, а₂ и L_пр. Из формулы (8) находят ускорение свободного падения, зная период колебаний маятника Т и его приведенную длину L_пр.

. (10)

Таблица 1

№	а, м	Dа, м	L, м	DL, м	m, кг	Dm, кг	I, кг× м²	DI, кг× м²

Упражнение 2.

1. Закрепить маятник на расстоянии одного шага от центра масс (шаг задается преподавателем), отклонить его на угол не более 5⁰ и, оперируя кнопками “Сброс”, “Пуск” и “Стоп”, измерить время 10 колебаний маятника.

2. Результаты измерений занести в таблицу 2.

3. Изменяя расстояние а от точки подвеса О до центра масс С маятника с заданным шагом, повторить измерения п.1–3.

Таблица 2

№	а, м	t, с	Т, с


…

Обработка результатов измерений.

Упражнение 1.

1. Из формулы (7) вывести момент инерции физического маятника и рассчитать его.

2. Рассчитать доверительный интервал и относительную ошибку момента инерции физического маятника: при выполнении условия ε _мах›› ε _а, ε _L, ε _m, где ε _мах= , как прямых измерений; при не выполнении – как косвенных. Результаты записать в таблицу 1.

Упражнение 2.

1. Построить график зависимости Т=Т(а).

2. Провести три прямые, параллельные оси абсцисс, пересекающие график в двух точках, и определить Т, а₁, а₂ и L_пр для каждой прямой.

3. По формуле (10) определить ускорение свободного падения.

4. Рассчитать доверительный интервал и относительную ошибку ускорения свободного падения: при выполнении условия ε _мах››ε _T, ε _L, ε _π, где ε _мах= , как прямых измерений; при не выполнении – как косвенных.

5. Сравнить полученное значение ускорения свободного падения с теоретическим значением и сделать соответствующие выводы.

Таблица 3

Контрольные вопросы.

1. Дать определение физического и математического маятников.

2. Вывести дифференциальное уравнение движения физического маятника, привести его решение и дать анализ этого решения.

3. Сформулировать теорему Штейнера.

4. Ввести понятие приведенной длины физического маятника L_пр.

5. Вывести уравнение зависимости периода колебаний физического маятника от расстояния между осью вращения и центром масс и дать анализ полученного уравнения.

6. Вывести зависимость приведенной длины L_пр физического маятника от расстояния между осью вращения и центом масс.

7. Вывести формулу для определения ускорения свободного падения.

Лабораторная работа № 1.8.

Маятник Максвелла

Цель работы: Определение момента инерции маятника Максвелла.

Введение.

Рис.1 Маятник Максвелла

Диск 1, закрепленный посредине стержня 2, подвешенного на бифилярном подвесе 3 (Рис. 1) и способный совершать колебания в вертикальной плоскости называют маятником Максвелла.

В предлагаемой лабораторной работе имеется возможность закреплять на диске сменные кольца, изменяя массу М маятника Максвелла. В процессе наматывания нитей на стержень маятник поднимается на высоту h, приобретая потенциальную энергию E_п=Mgh. Нити равномерно наматываются на стержень 2, после чего маятник отпускают. Под действием силы тяжести он опускается, совершая вращательное движение относительно оси стержня 2. В процессе опускания потенциальная энергия маятника переходит в кинетическую энергию поступательного движения маятника вниз и в кинетическую энергию вращения относительно оси стержня. По закону сохранения энергии имеем:

(1)

где: – скорость поступательного движения центра масс маятника, – угловая скорость вращения маятника, I – момент инерции маятника.

Рассмотрим движение маятника. Это движение с ускорением. Исходя из второго закона Ньютона получаем, что ускорение а поступательного движения центра масс постоянно, так как на тело действуют постоянные силы: сила тяжести и сила натяжения нити. За время равное Т центр тяжести сместится вниз на расстояние h равное длине окружности 2pR_с. Исходя из законов равноускоренного движения получаем:

или , (2)

где: R_c – радиус стержня.

Откуда следует, что скорость поступательного движения центра масс можно определить по формуле:

. (3)

Теперь рассмотрим точку лежащую на образующей круглого стержня. За время Т она делает полный оборот вокруг своей оси, то есть поворачивается на угол 2p. Исходя из законов равноускоренного движения для вращательного движения получаем формулы аналогичные формулам (2):

или . (4)

Известно, что линейная и угловая скорости связаны между собой соотношением:

Выразим угловую скорость и подставим это выражение в уравнение (4):

Откуда линейная скорость равна:

. (5)

Сравнивая формулы (3) и (5) получаем, что линейная скорость вращательного движения образующей круглого стержня равна скорости поступательного движения центра масс. Угловую скорость можно определить по соотношению:

. (6)

Из формулы (1) с учетом соотношения (6) выражение для момента инерции маятника получается в виде:

. (7)

Исходя из законов равноускоренного движения:

. (8)

С другой стороны это ускорение можно определить как:

, (9)

где: t – время падения маятника с высоты h.

С учетом (8) и (9) формула (7) принимает вид:

. (10)

Таким образом, измерив массу маятника М, радиус стержня R_c и время t падения маятника с высоты h, по формуле (10) можно экспериментально определить момент инерции маятника Максвелла.

По свойству аддитивности момент инерции маятника I равен сумме моментов инерции диска I_д, стержня I_с и сменных колец I_к:

I= I_с + I_д + I_к. (11)

Так как маятник состоит из тел правильной формы, моменты инерции которых известны, формулу (11) можно представить в виде:

, (12)

где: m_с, m_д, и m_к – массы стержня, диска и сменного кольца соответственно, R_с, R_д, и R_к соответствующие радиусы.

12 3	Поделиться: