Взаимосвязь массы и энергии.

Энергия тела (без учета потенциальной энергии во внешнем силовом поле) связана с его массой

, (77)

- скорость света в вакууме.

Энергия покоя тела

- масса покоящегося тела.

Кинетическая энергия релятивистской частицы

8. Связь между энергией и импульсом частицы.

. (78)

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Тема «Кинематика»

Пример 1.Частица движется по окружности радиусом = 50 см так, что зависимость ее пути от времени имеет вид м. Определить скорость и ускорение частицы в момент =2 с. Найти угол между скоростью и ускорением частицы в заданный момент времени.

Дано: =0, 5 м, м, =2 с. Найти: , , .

Решение. Скорость представляет собой производную от пути по времени

м/c.

В момент =2 с,

м/c.

Тангенциальное ускорение

м/c², м/c².

Нормальное ускорение

м/c².

Полное ускорение м/c².

Скорость и направлены по касательной к окружности, - к ее центру (рис.10).

Рис.10.

; .

Ответ: м/c, м/c², .

Пример 2. Цилиндр радиусом катится без скольжения со скоростью (рис.11). Определить скорости точек А и В, а также радиусы кривизны их траекторий.

Дано: , . Найти: , , , .

Рис.11.

Решение.

1). Качение цилиндра можно представить как сумму двух движений: поступательного с постоянной скоростью (рис.12, ) и вращательного вокруг центра масс (рис.12, ).

Рис.12, . Рис.12, .

Т.к. скорость точки К касания цилиндра с землей равна нулю, то значит, при вращении точки обода цилиндра движутся также со скоростью . В результате сложения скоростей при поступательном и вращательном движениях находим скорости точек и

; .

Направления векторов и показаны на рисунке 13.

Рис.13.

2). Ускорение точек и обусловлено вращением цилиндра,

Векторы и направлены к центру цилиндра. Нормальное ускорение точки перпендикулярно скорости (рис.13),

Нормальное ускорение точки равно ее полному ускорению

Т.к. радиус кривизны траектории , то

Ответ: , . , .

Тема «Законы Ньютона»

Пример 3. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Пройденный телом путь меняется со временем по уравнению м. Определить коэффициент трения тела о плоскость.

Дано: м, . Найти: ..

Решение. Скорость тела равна

м/c.

Ускорение тела

м/c².

Рис.14.

При движении на тело действуют сила тяжести , сила трения , сила реакции опоры (рис.14).

Запишем 2-ой закон Ньютона в проекциях на оси x и y:

(x) , (1)

(y) . (2)

Из (1): ,

из (2): .

Т.к. , то коэффициент трения

Ответ: .

Пример 4. Сфера радиусом =1 м равномерно вращается вокруг вертикального диаметра с частотой 36 мин^-1. Внутри сферы находится шарик массой =50 г. Найти, на какой высоте, отсчитываемой от нижней точки сферы, шарик займет положение равновесия относительно сферы. Определить силу давления шарика на сферу в этом положении.

Дано: =1 м, =36 мин^-1=0, 6 с^-1, =0, 05 кг. Найти: , .

Решение: На шарик действуют сила тяжести и реакция опоры (рис.15).

Рис.15.

Т.к. вращение равномерное, то тангенциальное ускорение шарика

Полное ускорение шарика равно нормальному,

и направлено к центру его траектории. Т.к. радиус траектории , то

. (1)

Запишем 2-ой закон Ньютона для шарика в проекции на оси x и y

(x) , (2)

(y) . (3)

Отсюда и . Поделим два последних уравнения одно на другое,

Подставим из (1) выражение для ускорения

Отсюда .

Т.к. , то

м = см.

Из (3) найдем, что Н.

Сила давления шарика на сферу численно равна силе реакции опоры, Н.

Ответ: м; Н.

Тема «Импульс тела. Центр масс»

Пример 5. Шарик массой 50 г, движущийся со скоростью =2 м/с под углом к стенке, абсолютно упруго соударяется с ней. Продолжительность удара =0, 01 с. Определить среднюю силу, действующую на стенку во время удара.

Дано: =0, 05 кг, =2 м/c, , =0, 01 c. Найти: .

Решение. Изменение количества движения (импульса) шарика равно сумме импульсов действующих на него сил:

. (1)

Рис.16.

На шарик действуют сила тяжести и, во время удара, сила реакции стенки (рис.16).

Спроецируем уравнение (1) на ось x:

Отсюда

Н.

Т.к. сила, действующая на стенку, численно равна силе реакции опоры, то

10 Н.

Ответ: 10 Н.

Пример 6. Четыре точечные массы , , и находятся в вершинах квадрата со стороной (рис.17). Определить положение центра масс данной системы.

Дано: , , , , . Найти: -? -?

Рис.17.

Решение. Расположим начало координатных осей x и y в точке . Тогда координаты центра масс равны

Величина радиус-вектора центра масс

Ответ: , .

Тема «Динамика вращательного движения»

Пример 7. На барабан массой =3 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой =2 кг (рис.18). Найти ускорение груза и силу натяжения шнура, считая барабан однородным диском. Трением пренебречь.

Дано: =3 кг, =2 кг,

барабан – диск. Найти: , .

Решение. На груз действуют

сила тяжести и сила

натяжения шнура (рис.19).

Т.к. груз совершает

поступательное движение,

запишем для него 2-ой закон Ньютона Рис.18

в проекции на ось y, направленную

вертикально вниз, Рис.18.

. (1)

На барабан действуют сила натяжения , сила тяжести и реакция опоры (рис.20).

Рис.19. Рис.20.

Т.к. барабан вращается, воспользуемся основным законом динамики вращательного движения и запишем его относительно оси вращения, проходящей через точку :

, (2)

- радиус барабана. Моменты сил и относительно точки равны нулю.

Т. к. барабан – однородный диск, его момент инерции

Угловое ускорение барабана . Подставив и в уравнение (2), получаем

. (3)

Отсюда . (4)

Подставим в (1):

Тогда .

Отсюда ускорение

м/с².

Сила натяжения шнура из уравнения (4):

Н.

Ответ: м/c², Н.

Пример 8. Лестница массой =16 кг приставлена к вертикальной стене под углом 20^° к ее поверхности. На лестнице на расстоянии ее длины, от нижнего конца, стоит человек массой =75 кг. Каким должен быть коэффициент трения между основанием лестницы и поверхностью пола, чтобы лестница не соскользнула? Трением между лестницей и стенкой пренебречь.

Дано: =16 кг, =75 кг, =20°, . Найти: .

Рис.21.

Решение. Обозначим - длина лестницы. На лестницу с человеком действуют сила тяжести лестницы , человека , сила трения и реакции опор и (рис.21).

Т.к. система находится в равновесии, то сумма действующих на нее сил и моментов сил должна быть равна нулю.

Запишем условие равенства нулю суммы сил в проекции на ось y:

Отсюда .

Запишем условие равенства нулю моментов сил, относительно точки :

Сокращая на и учитывая, что , получаем

Отсюда = =

Ответ: .

Тема «Работа. Механическая энергия»

Пример 9. Тонкий стержень длиной =0, 8 м может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей его верхний конец. Стержень отклонили на угол =60 ^° и отпустили (рис.22). Определить угловую скорость стержня, линейную скорость его нижнего конца и скорость центра масс в момент прохождения стержнем положения равновесия.

Рис.22.

Дано: =0, 8 м, =60 ^°. Найти: , , .

Решение.

Изменение кинетической энергии стержня равно работе сил, приложенных к нему:

(1)

(теорема о кинетической энергии).

В начальный момент стержень неподвижен, =0.

В момент прохождения положения равновесия ,

- момент инерции однородного стержня относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса . Тогда

. (2)

На стержень действуют сила тяжести и реакция опоры . Сила не совершает работы, т.к. точка ее приложения неподвижна. Работа силы тяжести

Т.к. , то

. (3)

Подставляя в (1) уравнения (2) и (3), получаем

Отсюда .

Скорость точки , м/с.

Ответ: м/с, м/с.

Пример 10. Шар, движущийся со скоростью =4 м/с, закатывается на наклонную плоскость, составляющую угол = 30^° с горизонтом (рис.23). Какое расстояние пройдет шар по наклонной плоскости за счет его кинетической энергии? Трением пренебречь.

Дано: =4 м/с, = 30^°. Найти: .

Решение. Применим теорему о кинетической энергии:

. (1)

В конце движения шар останавливается, поэтому .

Начальная кинетическая энергия шара

, (2)

т.к. движение шара складывается из поступательного и вращательного. В формуле (2) - скорость центра масс шара (рис.23).

Момент инерции шара , его угловая скорость .

Рис.23.

Тогда (3)

Сила реакции опоры работы не совершает. Работа силы тяжести

. (4)

Подставляя выражения для и в (1), получаем

Отсюда м.

Ответ: м.

Тема «Уравнения гидродинамики»

Пример 11. Вода из трубы диаметром =5 см, расположенная на глубине 1 м, поступает в здание под давлением 3 атм со скоростью 0, 5 м/с. На верхнем этаже на высоте 10 м труба сужается до диаметра =2, 5 см. Вычислить скорость течения и давление в трубе на верхнем этаже (вязкостью воды пренебречь).

1 атм=101, 3∙ 10³ Па.

Дано: =5 см=5∙ 10^{-2 м, =2, 5 см=2, 5∙ 10-2 м, =3 атм=303, 9∙ 103} Па, =1 м, м/с, =10 м. Найти: , .

Решение. Из уравнения неразрывности вычислим скорость движения воды в узком сечении трубы

Т.к. площади сечений и , то

м/с.

Уравнение Бернулли

= .

Отсюда

Подставим числовые данные, учитывая, что плотность воды кг/м³,

Па.

Ответ: м/с, =204∙ 10³ Па.

Пример 12. Для измерения скорости протекания газа используют трубку Вентури (трубку с сужением, в которую врезан жидкостный манометр, рис.24).

Определить скорость движения газа в широкой части трубки, если известны плотность газа и плотность жидкости, площади и сечений трубки, разность уровней жидкости в манометре.