Определение модуля упругости по изгибу бруса

Цель работы: Определение модуля упругости по изгибуи экспериментальная проверка закона Гука при деформации изгиба.

Оборудование: прибор прогиба с индикатором малых перемещений, микрометр, штангенциркуль, миллиметровая линейка, набор гирь, весы.

Теория работы и описание установки

Прибор прогиба (рис. 1) представляет собой раму, на которой одним концом закреплен упругий брус переменного сечения. К брусу на расстоянии l подвешена на опорной призме платформа, на которую

Рис. 1

постепенно нагружаются грузы. Конец бруса при этом прогнется, в результате чего верхние слои бруса растянутся, нижние – сожмутся, а некоторый средний слой, который называют нейтральным слоем, сохранит длину и только претерпит искривление. Индикатор может показывать прогиб бруса в любой его точке на расстоянии x от места закрепления.

Определим деформацию стержня под действием момента силы, приложенного к его концу. При расчете используем гипотезу Бернулли о том, что при изгибе бруса все поперечные сечения стержня остаются плоскими. В результате этого предположения можно считать, что в каждом малом элементе бруса происходит только деформация сжатия или растяжения, подчиняющаяся закону Гука:

s = Ee, (1)
где s – механическое напряжение, Е – модуль Юнга, e – относи-тельная деформация.

Выделим в брусе малый элемент dx, находящийся на рассто-янии х от точки O (рис. 2а). На него будет действовать изгибающий момент

M = mg(l – x), (2)
где m – масса грузов. Относительная деформация слоя С, находя-щегося на расстоянии h от нейтрального слоя N (рис.2б), будет равна:

e = =, (3)
где R – радиус кривизны бруса в точке, где находится рассматри-ваемый элемент dx.

Рассмотрим силы, действующие в поперечном сечении изогнутого бруса. На малый элемент сечения dS будет действовать сила dF (рис.3), момент которой относительно оси z будет равен:

dM = hdF = hsdS

где dS = dh dz – площадь элемента сечения.

Интегрируя по всему сечению, получим, что изгибающий момент сил, действующих на сечение, будет равен:

M = hsdS =; \s\do10(– c/2+ c/2; \s\do10(– b/2+ b/2hs dh dz (4)
В установке используется так называемая балка постоянного напряжения, форма которой показана на рис.4а.

Ее ширина b на расстоянии x от места закрепления бруса будет:

b = b₀, (5)
где b₀ – ширина бруса в месте закрепления, l – длина бруса.

Величина прогиба y является функцией расстояния x от точки O закрепления бруса до места прогиба (рис.4б). Из курса высшей математики известно, что кривизна графика зависимости y(x) в данной точке равна:

Учитывая малость прогиба, приближенно можно записать:

= y². (6)

Используя формулы (1), (3), (5), (6), находим интеграл по формуле (4), в результате чего находим:

M =. (7)
Выражения (2) и (7) дают уравнение прогиба бруса:

Решение данного уравнения при условии, что конец бруса закреплен жестко (граничные условия y₀= 0, j₀= 0), имеет вид:

y =.

Отсюда модуль Юнга при изгибе бруса равен:

E =, (8)
где m – масса грузов, подвешенных на подвеске, g – ускорение свободного падения, l – расстояние от левого закрепленного конца до подвески, b₀– ширина закрепленного конца бруса, c – высота бруса, y – прогиб бруса на расстоянии x от левого закрепленного конца бруса.

Порядок выполнения работы

1. Измерить микрометром толщину бруса c и штангенциркулем ширину закрепленного конца бруса b₀.

2. Установить опорную призму с подвесом на выбранном расстоянии l от закрепленного конца бруса до середины призмы. Измерить металлической линейкой это расстояние.

3. Установить индикатор малых перемещений на выбранном расстоянии x от закрепленного конца бруса. Измерить это расстояние миллиметровой линейкой. Наконечник индикатора должен упираться в брус при сжатой пружине стержня индикатора, т.е. имея возможность опуститься при прогибе бруса.

Записать результаты измерений в таблицу 1

4. Измерить 3-5 раз прогиб бруса y при последовательном нагружении его 5-ю грузами.

Для каждой серии измерений:

4.1. Вращением ободка индикатора установить ноль шкалы напротив стрелки

4.2. Помещая грузы на платформе один на другой, определить по индикатору прогибы бруса при каждом нагружении.

Для каждого сеанса измерений:

1) поместить груз сверху, располагая его выступом вверх прорезью в противоположную сторону от прорези нижележащего груза;

2) определить показания индикатора y по красной шкале;

3) записать полученное значение y в таблицу 1, заполнение ведется по столбцам.

4.3. Снять помещенные грузы.

5. Определить средние значения y.

6. Определить значения силы F = mg.

7. Определить значения модуля Юнгапо формуле (8).

Результаты вычислений занести в таблицу 2.

Таблица 1
c, ∙ 10^{-3 м}	b₀, ∙ 10^{-3 м}	l, м	x, м

Таблица 2
m, кг	y, ∙ 10^-⁵ м	F, Н	E, ГПа
				ср

8. Построить график зависимости прогиба бруса y от нагрузки F и проверить выполнение закона Гука при данных нагрузках.

9. Для наибольшего прогиба y найти погрешность E.

Вычисления

E₁ = = E₂ = E₃ =

E₄ = E₅ =

1 2 34