Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.



Теорема : Если каждый элемент некоторой строки матрицы определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей у которых все строки кроме данной прежние, а в данной строке в первом определителе стоят первые, а во втором – вторые слагаемые.(тоже верно и для столбцов).

Следствие1 : Если к элементам некоторой строки матрицы определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число С, то порожденный этой матрицей определитель не изменится.

Определение : Говорят, что одна из строк матрицы является линейной комбинацией остальных её строк, если она получается путем почленного сложения остальных её строк, умноженных на некоторое число.

Свойство : Если у матрицы одна из строк является линейной комбинацией остальных строк, то порожденный ею определитель равен 0.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.

Определение : Минором элемента ai, k определителя порядка n, называется определитель порядка n-1 матрица которого получается из матрицы данного

 

 

определителя вычеркиванием i-той строки и k-того столбца, на пересечении

которых расположен элемент ai, k. Минор ai, k обозначается Мi, k


Определение : Алгебраическим дополнением элемента ai, k называется его минор, умноженный на (-1)i+k. Обозначается Аi, k.Такимо бразом Аi, k=(-1)i+k Мi, k.

Теорема : Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) его матрицы на их алгебраические дополнения.

Доказательство : А) Докажем что произведение а1, 1А1, 1 входит в состав определителя.

А1, 1=(-1)1+1М1, 11, 1= определитель (n-1) порядка = сумме (n-1)! его членов. Таким образом а1, 1А1, 1 = сумме (n-1)! слагаемых. Надо доказать что каждое слагаемое этой суммы есть член первоначального определителя.

где S – число инверсий в перестановке α 2, α 3…α n чисел 2, 3… n.

Рассмотрим произведение а1, 1А1, 1 .

Знак этого члена в первоначальном определителе определяется типом перестановки 1, α 2, α 3…α n. Но число инверсий в этой перестановке совпадает с числом инверсий в перестановке α 2, α 3…α n. А поэтому а1, 1a2, α 2 a3, α 3…an, α n в первоначальном определителе будет иметь тот же знак (-1)S который оно имеет в сумме а1, 1А1, 1. Следовательно а1, 1А1, 1 является частью суммы дающей первоначальный определитель.

В) Покажем что произведение аi, kАi, k входит в состав определителя.

Рассмотрим первоначальный определитель D и преобразуя его матрицу так, чтобы элемент аi, k встал на первое место в первой строке: i-тую строку будем последовательно менять со строками i-1…1; после этого k-тый столбец будем последовательно менять местами со столбцами k-1…1. Получим определитель D’:

Пусть A’i, k – алгебраическое дополнение элемента аi, k в D’, М’i, k – минор элемента аi, k в D’.

A’i, k= М’i, k= Мi, k – минор элемента аi, k в D.

В силу А) аi, k A’i, k= аi, k Мi, k входит в D’. D’ получается из D (i-1)+(k-1)=i+k-2 транспозицией строк и столбцов. Поэтому D’=(-1)i+kD а значит в D входит и

С) Выделим в матрице определителя некоторую строку ai, 1 ai, 2…ai, n. Все произведения аi, 1Ai, 1, ai, 2Ai, 2…ai, nAi, n входят в D в силу второй части доказательства. Эти произведения попарно не содержат одинаковых членов определителя D, т.к. члены определителя, входящие в два разных произведения отличаются множителями i-той строки. Отсюда следует что сумма аi, 1Ai, 1+ ai, 2Ai, 2+…+ai, nAi, n тоже входит в состав определителя.

Последняя сумма состоит из n произведений, а каждое произведение есть сумма (n-1)! Слагаемых, каждое из которых является членом определителя. Значит сумма равна нашему определителю.(ч.т.д.)

Следствие1( о чужой строке): Сумма произведений чисел b1, b2…bn на алгебраические дополнения Ai, 1, Ai, 2…Ai, n элементов i-той строки определителя, равна определителю, матрица которого получается из матрицы данного определителя заменой i-той строки ( ai, 1 ai, 2…ai, n) строкой b1, b2…bn ( чужой строкой).

Следствие2(о чужих алгебраических дополнениях): Сумма произведений элементов некоторой строки матрицы определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (чужие алгебраические дополнения) равна 0.

№3----------------------------------------------------------------------------


Поделиться:



Популярное:

  1. А4. Какие правовые последствия из перечисленных наступают для лица, допустившего особо опасный рецидив?
  2. Административные правонарушения и их последствия
  3. Безработица и её формы. Причины и последствия.
  4. Безработица, ее типы и социально-экономические последствия
  5. Безработица: виды, причины, показатели, последствия и способы борьбы
  6. В которой происходит множество досадных мелочей с весьма далеко идущими последствиями
  7. В сумму со знаком плюс входят те составляющие токов подсхем, направление которых совпадает с выбранным направлением соответствующего тока исходной цепи.
  8. Вид управления оптимального по быстродействию, теорема об n-интервалах.
  9. Виды, продолжительность и уголовно-правовые последствия применения принудительных мер медицинского характера
  10. Влияние законодательства на отношения врачей — добровольное прерывание беременности и его демографические последствия
  11. Возбуждение гражданского дела: материально-правовые и процессуальные последствия.
  12. Вопрос 135. Порядок увольнения и производство расчета. Выходное пособие. Правовые последствия незаконного перевода и увольнения. Право работника на компенсацию морального вреда.


Последнее изменение этой страницы: 2016-08-31; Просмотров: 2234; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.015 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь