Вид управления оптимального по быстродействию, теорема об n-интервалах.

Системы управления называют оптимальными по быстродействию, если они обеспечивают минимум времени переходного процесса с учетом ограничений, наложенных на координаты управления и выхода. Эти системы являются частным случаем оптимальных систем.

Задача создания оптимальных по быстродействию систем возникает при разработке следящих систем, автоматических компенсаторов, систем управления приводами прокатных станов, ракетами, подъемными устройствами и систем автоматизации технологических процессов, а также ряда энергетических установок и других технических устройств.

При решении задачи синтеза оптимальной по быстродействию системы возможны два подхода. Синтез без непосредственного использования координат вектора состояния Х (разомкнутая система), либо с использованием координат вектора состояния Х (замкнутая система). В связи с этим рассматриваемые данного класса системы делятся на два типа: а) оптимальные по быстродействию разомкнутые системы; б) оптимальные по быстродействию замкнутые системы. Оба типа этих систем могут быть как одномерные, так и многомерные.

Синтез оптимальных по быстродействию систем производят методами теории оптимального управления. При этом основным методом является принцип максимума.

Принцип максимума в задаче о максимальном быстродействии. Объект управления описывается системой (1)

На управление наложены ограничения: (2)

Требуется найти допустимое управление , которое за минимально возможное время Т переводит объект из заданного начального состояния в конечное состояние Х(Т)=ХТ.

Оптимизируемый функционал, в задача максимального быстродействия имеет вид (3), т.е. при оптимизации системы управления по быстродействию в интегральном функционале берется .

Поэтому функция Гамильтона в этом случае (4)

Так как , максимум Н реализуется одновременно с максимумом функции

(5)

Согласно основной теореме принципа максимума в задаче, в которой T не фиксировано, должно выполняться условие (6)

Таким образом, для оптимальности по быстродействию необходимо:

1) существование ненулевой, непрерывной векторной функции составляющие которой удовлетворяют системе

(7)

2) чтобы функция при каждом значении достигала максимума по ;

3) чтобы при выполнялось соотношение (6).

Теорема об " n" интервалах. Определение оптимального по быстродействию управления по исходным уравнениям системы существенно упрощается, если известно число интервалов постоянства управляющего воздействия или его переключении в процессе движения из в . Установлено, что число интервалов управления для линейных систем всегда конечно и зависит от корней характеристического уравнения, описывающего объект управления, от вида допустимой области управления и области допустимых состояний, от начальных и конечных условий и .

При отсутствии ограничений на фазовые координаты связь между числом интервалов постоянства управляющих воздействий и корнями характеристического уравнения объекта управления устанавливает теорема об " n" интервалах, доказанная А.А. Фельдбаумом.

Пусть математическая модель одномерного линейного объекта задана уравнениями состояния

;

- скалярное управление

Составим функцию Гамильтона для неклассической вариационной задачи оптимального по быстродействию управления ( здесь не учитывается, поскольку ).

Так как от управления зависит только последнее слагаемое, то функция Гамильтона имеет максимум, когда

откуда следует закон оптимального по быстродействию управления

(8)

При этом принимает два значения

и меняет знак столько раз, сколько кривая пересекает ось времени.

Для нахождения вспомогательной переменной составим сопряженные уравнения Гамильтона

(9)

Приведем систему уравнений (9) к одному уравнению. Для этого вычтем из первого уравнения все остальные, продифференцировав предварительно второе уравнение один раз и умножив на и т. д. До последнего, которое дифференцируем раз и умножаем . В результате этого после группирования получим

(10)

Предположим, что собственные числа матрицы А являются различными вещественными, тогда корни уравнения 10) также будут вещественными различными числами Р,. В этом случае

(11)

Функция определяемая суммой экспонент с вещественными показателями степени, изменяет знак не более раз, поэтому управление (9) имеет не более интервалов постоянных значений . Таким образом доказана теорема об " " интервалах.

Если объект управления описывается линейным дифференциальным уравнением - го порядка с постоянными коэффициентами и корни его характеристического уравнения различные, отрицательные или нулевые, то для оптимального по быстродействию управления необходимо и достаточно не более интервалов максимального значения управления , а знаки на интервалах должны чередоваться раз.

В тех случаях, когда среди корней характеристического уравнения имеется комплексные корни, число интервалов может быть сколь угодно большим. Оно зависит от и , от величины . Однако способа, который позволял бы предварительно оценить количество интервалов не существует.

Если ограничено не только управление (9), а ещё и промежуточные переменные объекта, то число интервалов управления будет больше и равно

(12)

где n - порядок уравнений объекта, связывающих с

е... - порядок уравнений, связывающих с другими ограниченными по величине переменными.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Different Kinds of Money. Различные виды денег
2. I. Доходы и расходы по обычным видам деятельности
3. I. Понятие органа государственного управления (исполнительной власти)
4. I.12. Факторы жизни растений, возможность управления ими с помощью агротех. приёмов.
5. II. Нахождение частного решения НЛДУ по виду правой части.
6. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСОВ КУРСА ПО ТЕМАМ И ВИДАМ РАБОТ
7. II. ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ И ВИДЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ.
8. III. 35. Виды тех. карт и методика расчёта затрат на возделывание с/х культур.
9. III. 41. Стратегия и функции управления.
10. III. 43. Методы управления с/х производством.
11. III. Торжественный прием патриарха Макария царем. – Свидание его с патриархом Никоном.
12. III/18. Понятие и виды издержек производства.