Скалярное произведение векторов: определение и основные свойства, доказать одно из них. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается или . (1)

Если хотя бы один из векторов – нулевой вектор, то скалярное произведение равно 0.

Через m и n обозначим оси, определяемые единичными векторами и .

Вместо (1) мы можем написать

 

Понятие скалярного произведения имеет свой источник в физике. Например если -сила, точка приложения которой перемещается из начала вектора в конец, то работа при этом совершаемая равна .

Свойства скалярного произведения:

1) (2) – коммутативность.

2) (3)

(3’)

Доказательство: (3) – доказано.

3)Дистрибутивность

Доказательство:

Из первых трех свойств вытекает, что скалярное произведение двух линейных комбинаций векторов можно производить почленно. Отметим некоторые геометрические свойства скалярного произведения:

4)Для того, чтобы , необходимо и достаточно чтобы хотя бы один из векторов равнялся 0 или .

 

5)

Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов:

Пусть в пространстве задана ДПСК. Составим таблицу скалярных произведений базисных векторов.

Пусть

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух ненулевых векторов:

Если и вектор составляет с осями координат углы тогда ( называются направляющими вектора )

 

Если то

.

Пусть задана координата двух точек и тогда

.

№27---------------------------------------------------------------------------

Векторное произведение векторов: определение и основные свойства. Выражение векторного произведения через

Координаты перемножаемых векторов.

Определение : Векторным произведением векторов и называется вектор обозначаемый который удовлетворяет трем следующим условиям: 1.

2. Вектор перпендикулярен векторам и .

3. Тройка векторов , , является правой.

Рассмотрим основные свойства векторного произведения : 1) является необходимым и достаточным условием линейной зависимости( коллинеарности) векторов и .

2) Если не параллелен то площади параллелограмма построенного на векторах и , точка О – произвольная. Это утверждение следует из условия 1 векторного произведения векторов и известной теоремы из школьной геометрии: площадь треугольника

 

 

 

3)

Доказательство:

4)

Доказательство: Докажем равенство (а). При α =0 или параллельном утверждение очевидно. Пусть α ≠ 0 и не параллельно .

Правая часть:

Левая часть: 1. α > 0

2. α < 0

Векторы в обеих частях коллинеарны так как и тот и другой перпендикулярны векторам и , осталось доказать что эти векторы соноправленны. Если α > 0 то эти векторы направлены также как и . Если α < 0, то каждый из этих векторов направлен противоположно вектору (ч.т.д.)

Равенство (б) следует из (а) и свойства (3):

5) Дистрибутивность:

Доказательство: Докажем равенство (а’). Пусть единичный вектор(орт ). . Сначала докажем равенство .

От точки О отложим векторы и . Через точку О проведем плоскость перпендикулярную . Повернем по часовой стрелке на 90 градусов если смотреть с конца вектора . . - правая тройка. . Значит . Докажем равенство(*). Повернем треугольник OA’B’ на угол 90 градусов если смотреть с конца вектора .

(*) доказана. Теперь обе части равенства (*) умножим на : (ч.т.д.)

Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов. Если задано разложение векторов и по векторам базиса ^, то мы можем записать на основании свойств 4 и 5:

В ортонормированном базисе : . (+ если тройка векторов правая, - если левая)

Для определенности будем считать, что базис всегда правый. Таким образом, получим следующее утверждение: В ортонормированном базисе векторное произведение векторов выражается через координаты сомножителей следующей формулой: .

Чтобы запомнить эту формулу достаточно заметить, что если разложить определитель по элементам первой строки, то мы получим правую часть(**) .

Таким образом произведение не обладает свойством, когда один множитель за скобочкой.

Замечание : Векторное произведение не обладает свойством ассоциативности. Например:

№28---------------------------------------------------------------------------

Предыдущая12345678Следующая

Поделиться:

Популярное:

1. E) Физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи и определяющая ее инерционные и гравитационные свойства.
2. I. 49. Основные принципы разработки системы применения удобрений.
3. I. Иммунология. Определение, задачи, методы. История развитии иммунологии.
4. I. Интегральное исчисление функции одной переменной
5. I. Основные подходы к определению и изучению культуры.
6. I. Основные физические явления и процессы в электрических аппаратах
7. I. Основные черты и особенности западноевропейской культуры XIX века
8. I. Основные черты и особенности западноевропейской культуры XIX века.
9. I. Пунктуация при однородных членах предложения
10. I. Путивль.-Торжественная встреча патриарха.-Подношения.-Греческие монахи.
11. I. ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕКУЩЕГО СОСТОЯНИЯ, ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ СФЕРЫ КУЛЬТУРЫ И ИСКУССТВА
12. II. 36. Основные задачи семеноводства.