Теорема о равноправности строк и столбцов матрицы определителя.

Следствия из этой теоремы.

Теорема о равноправности строк и столбцов матрицы определителя.

Теорема : Определитель порожденный матрицей не изменится если в ней поменять местами строки со столбцами.

Теорема о перестановке 2х строк матрицы определителя. Определитель с двумя одинаковыми строками.

Теорема : Если в матрице определителя поменять местами 2 строки, то определитель изменит знак на противоположный.

Следствие : Определитель с двумя одинаковыми строками равен 0. и D=0.(ч.т.д.)

Теорема об умножении некоторой строки матрицы определителя на одно и то же число. Определитель с двумя пропорциональными строками.

Теорема : Если все члены некоторой строки матрицы определителя умножить на некоторое число с, то порожденный ею определитель умножится на это число.(Общий множитель элементов некоторой строки матрицы можно вынести за знак определителя).

Доказательство : Если определитель D представить по определению как алгебраическую сумму всевозможных произведений, то каждый член определителя в качестве множителя будет содержать число С. Вынесем С за скобку. Алгебраическая сумма, которая будет находиться в скобках, равна определителю матрицы А.(ч.т.д.)

Следствие : Определитель с двумя пропорциональными строками равен 0.

Операция транспонирования матрицы и её свойства.

Определение : Матрица А’ получающаяся из матрицы А путем замены строк столбцами называется транспонированной по отношению к матрице А.

Справедливы следующие правила транспонирования матриц:

1) (α А+α В)’=α A’ + α B’

2) (AB)’=B’A’

Идея доказательства показать что матрицы (AB)’ и B’A’ имеют одинаковую размерность и у них равны соответствующие элементы.

Определение : Если А – произвольная квадратная матрица и A=A’ (-A=A’), то матрица А называется симметрической или кососимметрической

№4----------------------------------------------------------------------------

Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.

Определение : Квадратная матрица А называется обратимой если существует такая квадратная матрица Х что АХ=ХА=Е. (1)

Каждая матрица Х удовлетворяющая равенству (1) называется обратной матрице А или обращением матрицы А. Обратная матрица к матрице А обозначается А^-1

А А^-1= А^-1А=Е Отсюда следует что для матрицы А^-1обратной будет (А^-1)^-1=А

Теорема : У каждой обратимой матрицы существует единственное обращение.

Доказательство : Предположим что у матрицы А существует наряду с Х еще одна обратная матрица У, т.е. АУ=Е. Тогда

(ХА)У=ЕУ=У ┐

Х(АУ)=ХЕ=Х ┘ Следовательно Х=У. Т.е. у матрицы А существует единственное обращение.(ч.т.д.)

№5----------------------------------------------------------------------------

Определение обратной матрицы. Доказать что (АВС)^-1=С^-1В^-1А^-1.

Определение : Квадратная матрица А называется обратимой если существует такая квадратная матрица Х что АХ=ХА=Е. (1)

А А^-1= А^-1А=Е Отсюда следует что для матрицы А^-1обратной будет
(А^-1)^-1=А (3)

Теорема : Если квадратные матрицы А, В, С одного и того же порядка обратимы, то их произведение тоже обратимо и (АВС)^-1=С^-1В^-1А^-1.

Доказательство : А(В(СС^-1)В^-1)А^-1=Е и С^-1(В^-1(А^-1А)В)С=Е (ч.т.д.)

Для любого натурального m по определению А^m=А*А*…*А – m-раз.

По определению А⁰=Е.

Определение : Для каждой обратимой матрицы А, А^-2=А^-1*А^-1;
А^-3= А^-1*А^-1*А^-1(4)

Из (3) и (4) следует что для каждой обратимой матрицы А и любых целых чисел р и q имеют место обычные правила действия со степенями:

А^рА^q =А^р+ ^q

(АВ)^р=А^рВ^р если АВ=ВА

(А^р)^q=А^р*^q

№6----------------------------------------------------------------------------

Матрица, обратная к данной матрице. Доказать что в результате транспонирования обратимой матрицы получается снова обратимая матрица и (A’)^-1=(A^-1)’.

А А^-1= А^-1А=Е Отсюда следует что для матрицы А^-1обратной будет
(А^-1)^-1=А

Теорема : В результате транспонирования обратимой матрицы А получается снова обратимая матрица и (A’)^-1=(A^-1)’.

Доказательство : Применим правила транспонирования к соотношению
АХ=ХА=Е:

(АХ)’=(ХА)’=Е’

А’Х’=Х’А’=Е

Из определения обратной матрицы следует что (A’)^-1= Х’=(A^-1)’(ч.т.д.)

№7----------------------------------------------------------------------------

Метод окаймляющих миноров.

Теорема : Пусть матрица А имеет отличный от 0 минор M_r r-го порядка, все миноры r+1 порядка содержат минор M_r(окаймляющий минор)=0, тогда ранг матрицы А=r.

Доказательство : Предположим что есть M_s s> r < > 0 s-столбцы образующий этот минор будут линейно не зависимы, т.к. все столбцы матрицы А образующие M_s являются линейной комбинацией r-столбцов на которых расположен минор M_r, то представив каждый столбец M_s в виде линейной комбинации столбцов на которых расположен минор M_r. И представив M_s в виде суммы определителей увидим, что каждый определитель этой суммы имеет пропорциональные столбцы, а значит M_s=0. Таким образом M_s=0 получили противоречие, значит наивысший порядок отличный от 0 M_r= M_r r, т.е. r(A)=r. ч.т.д.

Правило вычисления ранга матрицы : Ищем минор первого или сразу второго порядка ≠ 0 затем вычисляем окаймляющие его миноры следующего порядка до тех пор пока не найдем среди них отличный от 0. Если уже найден минор отличный от нуля то вычисляем окаймляющие его миноры. Если все они равны 0 или таких миноров не существует(число строк и столбцов матрицы А равно r) то ранг матрицы равен r. Если среди миноров r+1 порядка есть отличный минор от 0 то продолжаем этот процесс.

Метод элементарных преобразований. (Метод Гаусса)

Определение : Назовем прямоугольную матрицу ступенчатой если каждая её строка имеет не нулевой элемент и первый не нулевой элемент каждой строки начинается со 2-й расположенной правее 1 и 0 элемент предыдущей строки. В частности квадратная ступенчатая матрица называется треугольной. Из этого определения следует: число строк ступенчатой матрицы не превосходит числа её столбцов.

Элементарные преобразования строк матрицы:

1)перестановка 2-х строк матрицы

2)умножение любой строки матрицы на число < > 0.

3)прибавление к элементам любой строки матрицы соответствующих элементов другой строки умноженных на одно и то же число

Теорема : Всякую не нулевую матрицу А можно привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк и отбрасыванием нулевых строк

№13 ------------------------------------------------------------

Основная теорема о величинах векторов на оси. Проекция вектора на ось. Величина проекции вектора на ось. Проекция (величина проекции) суммы векторов. Проекция (величина проекции) произведения вектора на число. Проекция (величина проекции) линейной комбинации векторов.

Определение : Будем называть координатной осью прямую l на которой с помощью единичного вектора e заданы начало отсчета, направление, единица длины.

Определение : Углом между а и осью l называется угол между этим вектором и вектором задающим направление оси.

Определение : Пусть вектор лежит на оси l. Величиной вектора а, расположенного на оси l будем называть длину этого вектора если ê а÷ и ось l а l и -ê а÷ если а¯ l. Обозначение .

Основная теорема о величинах векторов на оси: Для любых 3-х точек А, В, C оси l имеет место следующее соотношение между величинами векторов или что все равно

Доказательство : Если все три точки А, В, С различны то их взаимное расположение может быть таким как показано на рисунке.

В случае 1 равенство (1) утверждает, что длина отрезка равна сумме длин его частей следовательно оно справедливо.

В случае 2

Все остальные случаи рассматриваются аналогично.

Пусть теперь А и В совпадают, в этом случае утверждение теоремы очевидно. (теорема доказана).

Пусть е некоторая прямая и плоскость П не параллельна прямой е. Через произвольную точку А проведем плоскость П’ параллельную П. Плоскость . Точка А’ называется проекцией точки А на прямую е взятой параллельно плоскости П. Если П перпендикулярна е то проекция называется прямоугольной(ортогональной), в этом случае А’ – основание перпендикуляра опущенного из точки А. Возьмем произвольный вектор . Проецируя точки А и В на е получим вектор который называется . Пусть е – координатная ось - масштабный вектор этой оси. Тогда наряду с проекцией вектор на ось е, взятой параллельно П можно говорить о величине этой проекции которую будем обозначать .

Теорема: Величина прямоугольной проекции вектора на ось е равна произведению длины этого вектора на . Т.е. .

Проекция вектора на ось е в плоскости. Пусть ось е лежит в плоскости α и е₁ прямая не параллельная е, лежащая в этой плоскости. Через произвольную точку А проведем прямую параллельную е₁. Тогда точка А’ называется проекцией точки А взятой параллельно е₁. Понятие проекции и величины проекции вектора на ось вводятся аналогично.

Понятие проекции точки и вектора на плоскости. Точка А’ – проекция точки А на плоскости П, взятой параллельно прямой е. Если е перпендикулярна - П проекция перпендикулярна П, то проекция называется ортогональной (прямоугольной). Аналогично предыдущим пунктам вводится понятие вектора на плоскости.

Проекция суммы векторов . Пусть на ось е проецируются вектора и . Проецирование производится параллельно плоскости П или прямой е₁, если , и е находятся в одной плоскости.

Легко доказать (смотри рисунок) что . Из основной теоремы о величинах векторов на оси следует, что величина . С помощью метода математической индукции равенства (2) И (3) можно распространить на случай произвольного числа слагаемых:

Проекция произведения вектора на число: Покажем, что имеют места равенства:

Доказательство : При α =0 равенство очевидно. Пусть α отлично от 0. Если рассмотреть подобные треугольники то равенство становится очевидным. Формулы (4)-(7) позволяют записать: Т.е. линейная комбинация векторов на ось е есть линейная комбинация проекций этих векторов. Тоже самое относится к величинам проекций.

№24---------------------------------------------------------------------------

Доказать, что в о.д.с.к. на плоскости(в пространстве) каждая прямая линия(плоскость) может быть задана линейным уравнением; обратно: каждое линейное уравнение в о.д.с.к. на плоскости(в пространстве) определяет прямую линию(плоскость).

Уравнения первой степени или линейные уравнения связывающие координаты точки в пространстве имеют вид . Аналогично на плоскости .

Теорема1 : В общей ДСК в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением (1). Обратно каждое линейное уравнение (1) в ОДСК определяет плоскость.

Теорема2 : В ОДСК на плоскости каждая прямая линия может быть задана уравнением(2). Обратно каждое линейное уравнение (2) в ОДСК на плоскости определяет прямую линию.

Доказательство : Обе теоремы доказываются одинаково. Докажем теорему 1. Пусть задана некоторая плоскость. Систему координат выберем так: точка О и два базисных вектора поместим в плоскость, а вектор выполним произвольно. В такой СК наша плоскость будет иметь линейное уравнение Z=0. В силу теоремы об инвариантности наша плоскость будет иметь линейное уравнение и в любой другой ДСК.

Обратно пусть мы имеем ОДСК и линейное уравнение(1). Докажем что это линейное уравнение определяет плоскость. Перейдем к другой ДСК. Для определенности пусть С≠ 0. Сделаем замену переменных: . Покажем что эта система равенств определяет переход к новой системе координат( выражает связь между старыми и новыми координатами точки). .

Переход к новой СК:

Новое начало СК в старой системе . Уравнение плоскости будет иметь уравнение(т.е. уравнение (1) переходит в новой СК в уравнение) Z’=0. Значит и уравнение(1) определяет плоскость. (ч.т.д.)

Уравнение (1) и (2) называются общими уравнениями плоскости и прямой на плоскости соответственно.

№32---------дописать-----------------------------------------------------

Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов А, В, С (А, В) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).

Для этого перехода мы должны знать начальную точку и направляющие вектора. Пусть найдем начальную точку. Пусть . Для прямой начальная точка находится аналогично. Найдем теперь направляющие векторы. Пусть - уравнение прямой на плоскости и - начальная точка(*). . . Уравнение (*) равносильно уравнению (**). Если обозначить буквой М точку с координатами то вектор параллелен прямой тогда и только тогда когда точка М принадлежит прямой, т.е. когда верно равенство (**). Отсюда следует утверждение: Каждый ненулевой вектор с координатами (α ₁, α ₂) удовлетворяет условию: может быть принят за направляющий вектор прямой которая имеет своим уравнением уравнение в ОДСК. В частности вектор с координатами (-В, А) можно взять в качестве направляющего вектора прямой. Аналогично доказывается утверждение: Любых два неколлинеарных вектора координаты которых удовлетворяют условию могут быть приняты за направляющие векторы в плоскости, имеющую своим уравнением в ОДСК.

Геометрический смысл коэффициентов А, В, С(А, В) в общем уравнении плоскости (прямой на плоскости) в прямоугольной ДСК: Обозначим через - вектор с координатами (А, В). Левая часть уравнения (**) является скалярным произведением векторов и только в ПДСК. Поэтому из уравнения (**) следует что вектор с координатами (А, В) перпендикулярен вектору , если точка М принадлежит прямой. Таким образом вектор (А, В) перпендикулярен прямой, которая задается общим уравнением (*) в ПДСК и называется нормальным вектором прямой.

Аналогично вектор (А, В, С) является ортогональным плоскости которая задается общим уравнением в ПДСК и называется нормальным вектором в плоскости.

№34---------------------------------------------------------------------------

Следствия из этой теоремы.

Теорема о равноправности строк и столбцов матрицы определителя.

Теорема : Определитель порожденный матрицей не изменится если в ней поменять местами строки со столбцами.

Предыдущая12 3 4 5 6 7 8 Следующая