Геометрическая интерпретация комплексного числа на комплексной плоскости.

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число A+B· i можно рассматривать как пару действительных чисел(A; B). Поэтому естественно комплексное число изображать точками плоскости. В прямоугольной системе координат комплексное число Z=A+B· i изображается точкой плоскости с координатами (A; B), и эта точка обозначается той же буквой Z. Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Оно дает возможность интерпретировать комплексные числа как точки плоскости на которой выбрана система координат. Такая координатная плоскость называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, т.к. на ней расположены точки соответствующие действительным числам. Ось ординат называется мнимой осью – на ней лежат точки, соответствующие мнимым комплексным числам.

Модуль и аргумент комплексного числа.

Модулем комплексного числа z=a+bi=(a, b) называют длину радиус-вектора, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен:

Аргументом отличного от нуля комплексного числа z называют направленный угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором, изображающим данное комплексное число.

Обозначается: arg z=arg(a+bi)=φ

cosφ =a/r → a=r*cosφ; sinφ =b/r → b=r*sinφ

Свойства модуля и аргумента комплексных чисел:

z₁=r(cosφ +isinφ ); arg z₁=φ; |z₁|=r; z₁≠ 0

z₂=ρ (cosψ +isinψ ); arg z₂=ψ; |z₂|=ρ; z₂≠ 0

Модуль произведения двух комплексных чисел z₁и z₂ равен произведению модулей сомножителей.

Аргумент произведения двух комплексных чисел z₁и z₂равен сумме аргументов сомножителей.

z₁*z₂=r(cosφ +isinφ )*ρ (cosψ +isinψ )=r*ρ [cosφ cosψ +icosφ sinψ +isinφ cosψ +i²sinφ cosψ ]=r*ρ [(cosφ cosψ -sinφ sinψ )+(cosφ sinψ +sinφ cosψ )i]=r*ρ [cos(φ +ψ )+isin(φ +ψ )]

|z₁*z₂|=r*ρ =|z₁|*|z₂|

Arg(z₁*z₂)=φ +ψ =argz₁+argz₂

Модуль частного двух комплексных чисел z₁и z₂ равен частному от деления |z₁| и |z₂|

Аргумент частного двух комплексных чисел z₁и z₂равен разности аргумента делимого и делителя.

z₁/z₂=r(cosφ +isinφ )/ρ (cosψ +isinψ )=r(cosφ +isinφ )(cosψ -isinψ )/ρ (cosψ +isinψ )(cosψ -isinψ ) =r(cosφ cosψ +isinφ cosψ -icosφ sinψ -i²sinφ sinψ )/ρ [cos²ψ -(isinψ )²] =r[(cosφ cosψ +sinφ sinψ )+(sinφ cosψ -cosφ sinψ )i]/ρ [cos²ψ +sin²ψ ]=r\ρ *[cos(φ -ψ )+isin(φ -ψ )]

|z₁|/|z₂|=r/ρ; arg |z₁|/|z₂|=φ -ψ =argz₁-argz₂

Теорема об аргументе: argz=arg(a+bi)={arccos a/r, при b≥ 0; 2π -arccos a/r, при b< 0}

Тригонометрическая форма записи комплексного числа.Формула Муавра.

Для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.

z = a + bi = r(cos φ + i sin φ )

Формула Муавра формула для нахождения n-й степени комплексного числа z, представленного в тригонометрической форме z = r(cosφ + isinφ );

Извлечение корня из комплексного числа.

Для любого ненулевого комплексного числа z=r(cosφ +isinφ ) и любого n∈ N существует только n комплексных чисел n-степень каждого из которых равна z. Этими числами является: β _s= 0≤ S≤ n-1

Согласно теореме об извлечении корня из комплексного числа (β ₀)ⁿ=z

Понятие многочлена. Наибольший общий делитель.

Многочлен — это сумма одночленов.

Многочленом степени n(n=1.2…) от одного переменного над множеством действительных либо комплексных чисел называют любое отображение f заданного правилом: f: |R→ |R (|R-множество действительных чисел).α в соответствии a₀+a₁α +a₂α ²…a_nα ⁿ где a₀a₁..a_n-действительные числа, a_n≠ 0. F(α )= a₀+a₁α +a₂α ²…a_nα ⁿ

Многочленом степени нуль называют отображение действующее по правилам: α в соответствии a₀(a₀≠ 0); f(x)= a₀≠ 0

Нулевым многочленом над множеством чисел называется отображение действий по правилу α в соответствии 0.

Многочлен степени нуль и нулевой многочлен называют постоянными многочленами на множеством действительных и комплексных чисел.

Для того чтобы 2многочлена P и Q были равны(как отображения) необходимо и достаточно чтобы коэффициенты при одинаковых степенях совпадали.

Многочлен R(x) называется общим делителем для многочленов P(x) и Q(x), если он служит делителем для каждого из этих многочленов.

Наибольшим общим делителем многочленов P(x) и Q(x) называется такой многочлен D(x), который является их общим делителем и вместе с тем сам делится на любой общий делитель этих многочленов.

12	Поделиться: