Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой

Пример. Даны прямые и . Требуется найти угол между ними.

►

Обозначения и их смысл смотри на рисунке.

Следствие 1 (условие совпадения прямых). Две прямые и совпадают тогда и только тогда, когда и .

Следствие 2 (условие параллельности прямых). Две прямые и параллельны тогда и только тогда, когда и .

Следствие 3 (условие перпендикулярности прямых). Две прямые и перпендикулярны тогда и только тогда, когда .

Действительно, прямые перпендикулярны не существует . ◄

Пусть прямые и заданы общими уравнениями

Заметим, что если две прямые заданы своими общими уравнениями и , то могут представиться три случая:

1) – прямые имеют одну общую точку;

2) – прямые параллельны;

3) – прямые совпадают.

Пример. Найти точку равновесия, если функции спроса и предложения заданы следующими соотношениями: и

► Из условия равновесия спроса и предложения получаем , откуда следует , и, таким образом, цена равновесия составляет . На плоскости графики функций спроса и предложения – прямые; цена равновесия – абсцисса точки пересечения графиков функций спроса и предложения. ◄

Типовой пример ( расстояние от точки до прямой на плоскости).

Если задана точка , то расстояние до прямой определяется как

► Пусть точка – основание перпендикуляра, опущенного из точки на заданную прямую. Тогда расстояние между точками и :

(1)

Координаты и могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

.◄

Расстояние от точки до прямой на плоскости (второй способ)

Пусть дана прямая : , где – ее нормальный вектор, и пусть точка , т. е. . Требуется определить расстояние от точки до прямой .

Пусть — ортогональная проекция точки на прямую . Тогда

Очевидно, = { , }. Отсюда

или .

Напомним, что ( , ) = , где — угол между векторами и ; здесь

Отсюда

( , ) = и |( , )| = .

Следовательно,

= = =

= .

Таким образом, расстояние от точки до прямой находится по формуле

= = .

Найдем теперь расстояние от начала координат до прямой :

= .

Типовой пример. Найти расстояние от точки до прямой .

► Расстояние от точки до прямой равно:

.◄

Типовой пример. Даны вершины треугольника . Найти: 1) длину стороны ; 2) уравнение высоты и ее длину; 3) уравнение медианы, проведенной из вершины ; 4) написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно стороне .

► 1) Расстояние между точками и определяется по формуле

.(1)

Подставим в формулу (1) координаты точек А и В, получим

2) Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид

(2)

Подставив в формулу (2) координаты точек и , получим уравнение прямой :

Для нахождения углового коэффициента прямой разрешим полученное уравнение относительно : .

Отсюда . Т.к. высота перпендикулярна , то угловой коэффициент будет равен , .

Искомая высота проходит через точку . Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку, с заданным угловым коэффициентом:

. (3)

Имеем ( )

Для нахождения длины определим координаты точки , решив систему уравнений ( ) и ( ):

откуда , т.е. .

Подставив в формулу (1) координаты точек и , находим

3) Обозначим основание искомой медианы через . По определению, медиана делит сторону пополам. Координаты точки найдем по формуле

(4)

Чтобы записать уравнение медианы , воспользуемся формулой (2): , , , ( )

4) Обозначим искомую прямую . Угловой коэффициент , т.к. и параллельны, то искомая прямая проходит через точку . Воспользуемся уравнением (3):

, , ( ) ◄

Типовой пример. Даны вершины треугольника , , . Найти точку пересечения высоты , опущенной из вершины , и медианы , проведенной из вершины , а также острый угол, заключенный между ними

► Используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, найдем сначала уравнение стороны треугольника . Получим:

или

Угловой коэффициент этой прямой равен . Так как высота , ее угловой коэффициент можно найти по формуле . Поскольку нам известна точка , то уравнение высоты находим так: . Получаем: или .

Найдем теперь уравнение медианы . Координаты точки (середины отрезка ) находим по формулам:

. Имеем: . Используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, получим уравнение медианы :

или

Координаты точки пересечения высоты и медианы находим теперь как решение системы уравнений

Имеем: . Наконец, используя формулу , находим острый угол между и :

◄

Пример. Определить линейную зависимость между полными издержками производства предприятия, изготавливающего однородную продукцию, и объемом производства, если:

постоянные издержки (например, затраты на содержание административных зданий, их отопление и т.д.), не зависящие от объема продукции, составляют (денежных единиц);

переменные издержки (например, материальные затраты) пропорциональны с коэффициентом объему изготавливаемой продукции. Записать эту функцию для (млн.руб.) и (млн.руб. на одну единицу продукции).

► В данном случае между полными издержками некоторого производства и количеством произведенной продукции имеет место линейная зависимость вида: , где – удельные переменные издержки (издержки на одну условную единицу продукции), а – постоянные издержки производства. В случае (млн. руб.) и (млн. на одну условную единицу продукции) имеем уравнение .◄

Пример. Весь объем основных фондов предприятия в 1991 году вырос на 6% по сравнению с объемом 1990 года. Начиная с 1992 года, в течение последующих пяти лет прирост основных фондов составлял 7% ежегодно. Записать формулу роста основных фондов в течение пятилетки.

► Пусть – время в годах, – соответствующий объем основных фондов в процентах. Значение объема основных фондов = 106% соответствует моменту = 1 (1991-му – первому году пятилетки). Ежегодный прирост составляет 7%. К моменту времени этот прирост будет равен , а с другой стороны эта величина равна разности . Следовательно, имеем формулу: или . Здесь принимает значения: 1, 2, 3, 4, 5. График функции на отрезке [1, 5] изображен на рис.◄

134

y - 106

106

0 1 2 3 4 5

1991 1992 1993 1994 1995 x

Пример. Полные издержки по производству 5 условных единиц продукции составляют 5, 5 млн. рублей, а по производству 10 усл. ед. – 9 млн. рублей. Найти функцию издержек производства, считая ее линейной. Определить издержки по производству 7 условных единиц продукции.

► По условию задачи можно считать, что даны две точки (5; 5, 5) и (10; 9) искомой прямой. Используя заданное уравнение, получим: , или , или . Следовательно, искомая линейная функция издержек имеет вид: . Подставив в найденную формулу значение , подсчитаем издержки: (млн. руб.) по производству 7 условных единиц продукции.◄

Пример. Полные издержки по производству х единиц продукции на двух предприятиях (см. примеры 1 и 3) выражаются соответственно формулами: : и : , где (усл. ед.) – объем продукции, а (млн. руб.) – соответствующие полные издержки. Требуется выяснить, начиная с какого объема продукции более экономичным становится второе предприятие.

► Построим прямые и .

l₁

у A l₂

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 х

Найдем координаты точки их пересечения, решив следующую систему уравнений:

Следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты и . Это значит, что при объеме продукции усл. ед. полные издержки по производству этого объема на обоих предприятиях одинаковы и составляют 9 млн. руб.

Из чертежа видно, что при объеме усл. ед. более экономичным (издержки меньше) становится второе предприятие. Это можно установить и без помощи графика (аналитически). Действительно, если обозначить и , то Û Û Û .◄

Пример. Между пунктами и проложен прямолинейно провод телефонной связи. Необходимо подключить к этому проводу пункт по кратчайшему расстоянию. Найти точку подключения и длину необходимого для этого провода. На плане местности размеры даны в километрах.

► Кратчайшим расстоянием от пункта до прямой является длина перпендикуляра , опущенного на из точки . Следовательно, необходимо найти уравнение прямой , перпендикулярной и установить длину искомого отрезка.

Так как угловой коэффициент прямой , то угловой коэффициент прямой . Имеем .

Найдем координаты точки :

2) обозначим через расстояние от точки до прямой , тогда: (км). Следовательно, точка подключения к телефонному проводу будет иметь координаты (3, 5; 5, 5) на плане местности, а длина требующегося провода составит 4, 7 км. ◄

Плоскость

1. Общее уравнение плоскости. Пусть заданы: система координат , плоскость , точка и вектор . Произвольная точка принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда векторы и будут перпендикулярны, т.е. . Координаты векторов: , . Следовательно,

(1) – уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярной данному вектору, где – текущие координаты; - координаты точки ; – координаты вектора . Преобразуем уравнение (1).